Численные методы Часть 3

Подстановка формул (5.2) в выражение (5.3) позволяет получить дифференциальное уравнение относительно функции тока ц/,

(5.8)

Выполненные преобразования позволили тождественно удовлетворить уравнение несжимаемости (5.6) и исключить из уравнений Навье - Стокса давление Р Решение системы уравнений (5.7) и (5.8) позволяет найти распределения функций о и \|/,а использование соотношений (5.2) - определить компоненты vxи vy вектора скорости.

С другой стороны, дифференцирование уравнения (5.4) по переменной х, а уравнения (5.5) - по переменной у,

и сложение полученных выражений с учетом уравнения несжимаемости (5.6) приводит к соотношению

(5.9)

которое можно рассматривать как дифференциальное уравнение относительно давления Р в случае, если распределения компонентов vx и vy вектора скорости найдены из решения предыдущих уравнений. Преобразование уравнения несжимаемости (5.6)

позволяет преобразовать уравнение (5.9) к виду

а с учетом формул (5.2) записать это уравнение в форме

д2Р . д2Р „Э2ч/ д \

Для записи граничных условий для функции завихренности на твердой границе выбирается произвольная точка А. На расстоянии I от нее по нормали в глубь области Q выбирается точка В (рис. 5.1). Вблизи точки В функция тока у разлагается в ряд Тейлора,

i2 д \

-0{l2).

2 дп2

Поскольку, как показано ранее, ду/дп = vt, ду/д% = - уя и, согласно (5.8),

/2

Ч,=4«-Н+т дх- - с о

Отсюда следует формула Тома [16] для функции завихренности,

(5.11)

В частности, vn = 0 вдоль твердой границы, и формула (5.11) упрощается,

Соотношения метода взвешенных невязок

Решения дифференциальных уравнений (5.7) и (5.8) в пределах отдельного треугольного конечного элемента представляются в форме

г=».М

2> г(*Ы * .зО . r=i,j,k

где, как и ранее, пробные кусочно-линейные функции для р-го конечного элемента имеют вид

Фг(х ,у )= а г + М+УгТ> r = i,j,k,

уco (f) - узловые значения функций ц>„и о т, подлежащие определению.

На рис. 5.3 показана сетка конечных элементов, аппроксимирующая замкнутую полость, занятую жидкостью. Числами обозначены номера узлов (прямой шрифт) и треугольных элементов (курсив).

На рис. 5.4 представлены результаты вычисления функции тока ц/ на сетках с увеличивающимся числом конечных элементов (структура сетки показана на рис. 5.3), число Рейнольдса Re = 400, шаг интегрирования по времени At = 0,01. Результаты вычислительного эксперимента показывают, что уже при числе элементов, равном 512 и 2048, различие решений незначительно.

Рис. 5.4. Изолинии функции тока, полученные при расчетах на сетках с числом конечных элементов, равным 32 (а), 128 (б), 512 (в) и 2048 (г)