Механика композитных материалов N1 2006

)2 d ( x ^ f

(2.7)

Учитывая (1.5), для нахождения величины первого приближения приме­ няем экспоненциальное преобразование Фурье к соотношениям (1.2), (2.5)—(2.7) по переменным х\, т. е.

где s — действительный параметр. Затем из (2.7), (2.8) функции Ф ^ " 1,1,

ф (к)т,\ н а х о д и м ка к

+00

ф (*К > = J [c W -'V ^ )c h (.4 iJ ) + C ^ ' 1(5)sh(sxfJ)]e- ^ ^ .

(2.9)

Подставив (2.9) в (2.6), а последнее — в (1.2), получим соответствующие выражения для искомых величин в форме интеграла Фурье (2.9). По обыч­ ной процедуре для определения неизвестных постоянных C ^ m’\s),

C ^ m'\s ) из (2.5) получим замкнутую систему линейных алгебраических

уравнений. При этом необходимо задавать конкретный вид функции / , вхо­ дящей в (2.5).

Напомним, что в результате решения рассмотренной задачи нужно опре­

(2. 10)

должая эту процедуру, можем найти величины последующих приближений (2.1) и напряжения, действующие на участках, где расположены трещины. Таким образом, решение на этапе I найдено.

Рассмотрим ход решения на этапе II. Напряженно-деформированное со­ стояние в материале (см. рис. 1) определяем в случае, когда внешнее усилие

трещины, на берегах которых действуют нормальные напряжения

0 (1)m’1(Xj^) в направлении оси Ох2. (Отличие изложенной задачи от род­

ственных, описанных, например, в [10— 12] и указанных в [13], помимо су­ щественно уточняющих факторов заключается в том, что в исследуемом случае силы, действующие на берегах трещин, определяются через параметры структуры композита.)

Срединную плоскость каждого т> ' -го слоя свяжем с соответствующей

декартовой системой координат О ^ х ^ х , полученной из системы коор­

динат Ox jx2 путем параллельного переноса вдоль оси Ох2 (см. рис. 2). Учи­

тывая периодичность структуры, выделим четыре полосы — 1^ , 1^2\ 2 ^ , 2( 2 ) _ и все процедуры решения проведем над ними. Кроме условий (2.5) (с

Используя представления Папковича— Нейбера (2.6), (2.7), функции

ф(*)|»,1>ф(*)«,1 ищемвввде

+00

Введя функцию

Q W = ^ - [ и ^ ‘ (хи + 0 ) - u ® l (xlt - 0 )] ,

(2.15)

Q W = G (i)g(i)'. Q 1(xl ) = - Q m i(xl ) = Q 0)2(xl )

и используя (2.13), (2.14), после проведения некоторых преобразовании с учетом последнего условия (2.13) получим сингулярное интегральное уравнение относительно Q \(x\)

(2.16)

х = х 1/1 1, а(л0=ст(1)2(х), М <1.

К этому уравнению добавим и условие однозначности перемещений точки берегов трещины:

Таким образом, определение величин первого приближения на этапе приводится к решению сингулярного интегрального уравнения ( . ), (2.17). Продолжив этот процесс, можно показать, что и нахождение величин последующих приближений приводится к решению такого же вида сингулярного интегрального уравнения [15].

3.В конкретных исследованиях уравнения (2.16), (2.17) решаются чис

ленно и при этом используется алгоритм Мультоппа Каландия [1 ]> осно

ванный на определенных формулах для интерполяционного полинома и квадратурных формул сингулярного интеграла. Применительно к рассмат риваемому случаю функцию Q\(x) ищем в виде

где q\{x) — ограниченная функция на [-1,1].

ленными нормальными усилиями в направлении армирования может при­ вести к разрушению композита в виде “размочаливания”

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Акбаров С. Д, Панахов П. Г., Сейфуллаев А. И. Об одной задаче механики раз­ рушения композитных материалов с искривленными структурами // Деп. в ВИНИТИ, Ж2986-В92. — 15.10.92. — 14 с.

2.Панахов 77. Г. К задачам трещин в композитных материалах с искривленными слоями // Деп. в ВИНИТИ, Ж3365-В92. — 25.11.92. — 35 с.

3.Akbarov S. D., Maksudov F. G., Panakhov P. G., and Seyfullayev A. 7. On the crack problems in composite materials with curved layers 11 Int. J. Engng Sci. — 1994. — Vol. 32, No. 6. — P. 1003—1016.

4.Кортен Б. А. Прочность армированных пластиков. — M.: Химия, 1967. — 165 с.

5.Гузь А. Н. Механика разрушения композитных материалов при сжатии. — Киев: Наук, думка, 1990. — 630 с.

6.Тарнопольский Ю. М., Розе А. В. Особенности расчета деталей из армирован­ ных пластиков. — Рига: Зинатне, 1969. — 274 с.

7.Акбаров С. Д. К механике разрушения композитных материалов //Докл. АН АзербССР. — 1989 — Т.45,№ 11. — С. 15—18.

8.Акбаров С. Д. К механике композитных материалов с локальными искривле­ ниями в структуре // Прикл. механика. — 1987. — Т. 23, N° 1. — С. 119—122.

9.Акбаров С. Д. Распределение самоуравновешенных напряжений в слоистом композитном материале с антифазно-локальными искривлениями в структуре // Прикл. механика. — 1988. — Т. 23, N° 6. — С. 31—36.

10.Юременко В. П. Плоская деформация композита с продольными трещина­ ми // Механика полимеров. — 1977. — № 3. — С. 538—540.

11.CinarА. and Erdogan F. The crack and wedging problem for an orthotropic strip 11 Int J. Fract. — 1983. — Vol. 23, No. 2. — P. 83—102.

12.Erdogan F. and Gupta G. The stress analysis of multi-layered composites with a flaw // Int. J. Solids and Struct. — 1971. — Vol. 7, No. 1. — P. 39—61.

13.Механика разрушения и прочность материалов. Т. 2: Справочное пособие. — Киев: Наук, думка, 1988. — 620 с.

14.Каландия А. И. Математические методы двумерной теории упругости. — М.: Наука, 1973. — 303 с.

15.Крылов В. И., Шульгина Л. Т. Справочная книга по численному интегрирова­ нию — М.: Наука, 1966. — 370 с.

Поступила в редакцию 21.11.2005 Received Nov. 21, 2005

Я. Леллеп, Э. Сакков

Институт прикладной математики Тартускогоуниверситета, Тарту, Эстония

устойчивостьступенчатыхкомпозитныхколонн1

J. Lellep and Е. Sakkov

BUCKLING OF STEPPED COMPOSITE COLUMNS

Keywords: elastic column, composite material, crack; buckling

The stability of elastic columns subjected to axial pressure is studied. An elastic multistepped column with rectangular cross sections are considered assuming that at the re-entrant corners of the column stable cracks are located. The influence of a crack on the loss of sta­ bility of the column is described by means of local flexibility and the function of compliance coupled with the stress intensity factor, which is known from the linear elastic fracture mechanics. A column with a single step is studied in more detail. The influence of crack location and length on the buckling load is assessed numerically.

Ключевые слова: колонна упругая, материал композитный, трещина, устойчивость

Изучена устойчивость упругих колонн, нагруженных осевой си­ лой. Многоступенчатая упругая колонна с прямоугольными по­ перечными сечениями рассмотрена в предположении наличия устойчивых трещин во входящих углах ступеней. Влияние тре­ щин на потерю устойчивости колонны описано посредством учета локальной гибкости и функции податливости, связанной с коэффициентом интенсивности напряжений, вводимым в линей­ ной механике разрушения. Детально изучена одноступенчатая колонна. Численно оценено влияние местоположения и длины трещины на критическую нагрузку потери устойчивости.

Введение

Анализ и оптимизация конструкций и конструкционных элементов — предмет теоретических и практических разработок [1—4], однако мало вни­ мания уделено конструкциям с трещинами, пустотами и другими дефекта­ ми.

1

Перевод с англ.

Исследованию устойчивости и разрушения колонн с трещинами поло­ жили начало работы [5,6]. В [5] с использованием коэффициента интенсив­ ности напряжений изучены колонны с надрезами, а в [7] — влияние приве­ денной жесткости на устойчивость гибкой колонны с единичной трещиной у кромки. В [7] для анализа эксцентрично сжатой колонны прямоугольного поперечного сечения использовали коэффициенты интенсивности напряжений, выведенные в [8] для осевой и изгибающей нагрузок.

В [9,10] указано, что решение, полученное в [7], справедливо только при малых значениях длины трещины. В [11— 13] для учета влияния трех сил и двух моментов на локальную податливость при наличии трещины введена матрица локальной гибкости (5 х 5). В [9, 10] матрица локальной податли­ вости изучена для композитных материалов и показано [10], что в них появ­ ляются связанные моды деформирования.

Недавно разработаны численные процедуры для определения критичес­ ких нагрузок для многоступенчатых балок методом конечных элементов [14, 15].

В настоящей работе сделана попытка определения точных критических нагрузок сжатых ступенчатых колонн из упругого композитного материала с трещинами, расположенными во входящих углах ступеней.

1. Постановка задачи

Рассмотрим ступенчатую балку-колонну, защемленную в корневом сече­ нии и сжатую вертикальной силой Р (рис. 1). Колонна имеет прямоугольные поперечные сечения с общей шириной b и толщинами h j прих е (а у , a j+\), где j = 0,..., п. В поперечных сечениях х = а у имеются односторонние тре­ щины длиной Су и шириной Ь, начинающиеся в углах соответствующих ступеней колонны. Таким образом,

h = hj, j = 0 ,..., п,

Для х е (a j , aj +i). Здесь а0 =0 и ап+1 = /, а параметры a j и hj заданы. Ищем критическую нагрузку такой колонны с трещинами, которые считаем устойчивыми при упругой потере устойчивости. При моделировании пове­ дения колонны повышенную податливость, обусловленную наличием тре­ щин, описывают без учета массы пружины, соединяющей части балки в окрестности сечениях - a j.

2. Моделирование материала и уравнения состояния

Рассмотрим слоистую пластину, состоящую из большого количества симметрично уложенных слоев из волокнисто-армированного композита. В слое все волокна помещены в матрицу, так что угол между ними и осью х ра­ вен 0 а , где а — количество слоев. Оси координат ориентированы таким об­ разом, что до деформации ось у совпадает с нормалями к слоям, а ось х — с

осью колонны (см. рис. 1). Матрицу и волокна считаем упругими. Пусть ко­ личество разных слоев равно N j ддях е S у, где S j ={а у , ду+1)иу'= 0,..., п.

Полагая, что справедливы основные гипотезы классической теории сло­ истых пластин, можно представить уравнения состояния в виде [3, 16, 17]

Здесь, кх, Ку, к*,, и М х, М у, М ^ — соответствующие кривизны и изгибаю­ щие моменты пластины. Отметим, что уравнения состояния (1) справедли­ вы, если не учитывают пьезоэлектрические и гидротермические эффекты.

Коэффициенты D*y в (1) обозначают элементы обратной матрицы D у :

для x e S fr, где к = 0,..., п. Здесь Qy — приведенные жесткости (после пре­

образования координат) для а-го слоя.

Используя преобразование координат (вращение вокруг оси z ), можно записать соотношения между Qy и Q у для плоской задачи [16]:

Q\\ = Q uc* + 2(6i2 +2Q6e)c2s2 +Q,22S^ ■>