Механика композитных материалов N1 2006
..pdfРис. 1. Схема ступенчатой колонны.
Хорошо известно, что трещина может вызвать заметную локальную подат ливость, обусловливающую преждевременную потерю устойчивости эле ментов конструкций при сжимающих нагрузках [5—7, 9— 15]. Локальная гибкость (податливость) треснутой балки, обусловленная концентрацией энергии деформирования в окрестности вершины трещины, изучена в [18], где этот эффект описан с помощью суммарного параметра — коэффициента интенсивности напряжений К. Этот метод широко используют при иссле довании напряженного состояния тел с трещинами. Большое количество результатов для простых образцов разной формы, нагруженных разными нагрузками, сведено в таблицу в [19].
Позднее локальную гибкость балок описали посредством пружины с за данной жесткостью К т [11— 13, 20]. В соответствующей модели колонны эту пружину размещали в том же самом поперечном сечении, где возникала трещина. Эту концепцию широко используют при анализе треснутых кон струкционных элементов при статическом или динамическом нагружениях [14, 20—22].
В [11— 13] ввели матрицу 5 х 5 с элементами
(8)
где
d U T
(9)
В (8) и (9) величина U т— плотность энергии деформирования, обусловлен ная трещиной; Р • и — обобщенные силы и перемещения соответственно; нагрузки Pj включают осевую силу и два момента.
В [11— 13] показано, что при продольном изгибе колонны основной на грузкой является изгибающий момент М х, соответствующий элементу с55 матрицы податливости. Для упрощения задачи так же, как и в [7, 14, 15], не будем учитывать другие элементы матрицы податливости. Поскольку боль ше нет необходимости в нижних индексах, далее опустим индексы 55 и бу дем рассматривать величину С в качестве податливости, обусловленной на личием трещины. Очевидно, что величина С зависит от размеров трещины.
Пусть А =сЬ — площадь поверхности трещины. Тогда скорость высво бождения энергии определяем [19] как
(10)
где Р — обобщенная сила (также может быть изгибающим моментом); С =С(А) — локальная податливость, обусловленная трещиной. Скорость высвобождения энергии G и коэффициент интенсивности напряжений К связаны соотношением [19]
(П)
где Е' =Е в случае плоского напряженного состояния, а Е ' =е /( 1 - V 2 ) в
случае плоской деформации. Отметим, что уравнение (11) справедливо для трещин I рода (с деформацией нормального разрыва). Для трещин II и III рода получены аналогичные результаты.
При чистом изгибе моментом М коэффициент интенсивности напряже ний можно определить [19] как
( 12)
где с — длина трещины I рода, а а =6м/(ЬИ2). Функцию F в (12) можно
оценить экспериментально.
Много внимания уделено теоретическому и экспериментальному опре делению функции F для образцов разного типа [19]. Результаты экспери ментов, проведенных в [8,23], могут быть интерполированы [20, 24] как
F(s) = 1,93 - 3,07s + 14,53s2 - 25,1 Is3 + 25,8s4,
где s = c/h.
Из (10)—(12) следует
dC |
12к |
|
„2, ч |
— |
= ------ T s 'F W |
||
ds |
E'bh |
2 |
(13) |
Очевидно, что податливость, обусловленная трещиной, равна нулю при ну левой длине трещины. Интегрирование (13) дает
С = 72я |
f(s), |
E'bh2 |
(14) |
где
/( s ) = 1,862s2 -3,95s3 + 16,375s4 -37,226s5 +76,81s6 - 126,9s7 +
+ 172,5s8 - 143,97s9 + 66,56s10 |
(15) |
Предположим, как в [14, 15, 20—22], что жесткость пружины — обратная величина податливости колонны в этой точке. Таким образом, К т =1/С и согласно уравнению (14)
К |
Ы |
|
|
6*А/(1 - v 2)’ |
(16) |
где I - b h 2/ \ 2 — момент инерции поперечного сечения с трещиной. Для
трещины безразмерной длины Sj, расположенной в д: - aj, уравнение (16) примет вид
E JJj
*77 =
6 n h j f j ( l - V 2)
где j = 1 , n n f j = f (S j ); h = h j , I - I j . Таким образом, поперечные сече ния х =аj, поврежденные трещинами, имеют дополнительные вращения при продольном изгибе колонны. Углы вращения можно определить из со отношений
K TJ-[v'(aj)] = -M(aj), |
(17) |
сводящихся согласно (7), (17) к
[v\aj)] =K - lE j I j V \ a j +0)
(18)
для каждого j = 1 , п.
Далее квадратные скобки обозначают конечные скачки соответствую
щих величин, например, |
|
[v'(aj)] =v \ a j + 0 ) - v '(a у -0). |
(19) |
4. Определение критической нагрузки
Используя хорошо известные уравнения равновесия элемента колонны [25] и уравнения состояния (7), получим уравнения
(Ejljv")" +Pv" =0,
справедливые для х е (a j ,a J+l), j = 0,..., п. Введя величину
|
|
|
|
|
|
|
|
Р12 |
|
|
|
|
|
|
|
можно записать (20) в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
vIV |
|
v" =0 |
|
|
|
|||||
д л я х е 5 у-,у = 0 ,..., п. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Общее решение (21) имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
v =А |
J |
, |
cos А, |
J |
! |
-+В j sinА . |
J |
, |
! |
- + С |
, |
- |
+D , |
||
|
|
|
|
J |
|
|
J |
|
I |
J |
|||||
(20)
(21)
(22)
для х е S j. Граничные условия для колонны запишем как
v(0)=0, v'(()) = О |
(23) |
на защемленном конце и
v"(0 =0, v |
v '(0 |
I2 |
(24) |
на сжатом конце.
В силу того что функции v(x), М(х) и М'(х) должны быть непрерывны ми при х =а j, a w'(aj +0) и v \ a j -0 ) должны удовлетворять требованиям (18) и (19), условия непрерывности и скачков можно представить как
v(aj - 0 ) =v(aj +0), |
|
|
||
v'(a j —0) = v \ a j |
+0)-(m.h j f jv"{a j |
+ 0 )(l-v 2), |
(25) |
|
|
|
|
|
|
v " ( a j - 0 ) _ v "(a j |
Щ |
v > y - 0 ) _ v * (a y +0)l |
|
|
|
|
l 2 |
l 2 |
|
|
|
Kj ~1 |
KJ |
|
где у = 1,..., n.
Удовлетворяя граничные и промежуточные условия (23)—(25), получим систему Ап+4 однородных линейных алгебраических уравнений с неиз вестными A j, В j, С j и D j. Для нахождения нетривиального решения ее определитель должен быть равен нулю. Получаемое уравнение не зависит от постоянных A j, В j, С j и D j и поэтому может быть использовано для определения критической нагрузки. Однако в общем случае таким спосо бом трудно отыскать критическую нагрузку.
5. Одноступенчатая колонна
Рассмотрим частный случай многоступенчатой колонны, когда п = 1 и у =0,1 в (22).Однако у = 1 в (25) и разумно обозначить а \ = а. Из условий (23) и (24) следует, что
D Q - - A Q, С 0 — В 0Х0, С ] - 0, j —--^11cot Л.j
и перемещение v можно записать в виде
v -Ас cosA,n ---- 1 + £ 0fsinX0 у “ ^о у
(26)
для х G (0, а) и
А |
■ |
V = — |
-— sin X |
sinX. j
1 |
х'' |
+D 1 |
- - |
||
|
/ |
(27) |
для* е(а,/).
Подстановка (26) и (27) в (25) приводит к системе линейных уравнений с
неизвестными AQ, BQ, |
/(sinX j), |
Определитель этой системы равен |
|||
cosA,0a - l |
sinA.0a -A .0a |
-sinA .](l-a) |
-1 |
||
sinA.0a |
- COSA-QCI+I |
X, |
к jX': |
0 |
|
— -cosA ,j(l-a)H ------ -sinA .j(l-a) |
|||||
A = |
-sinA.0a |
XQ |
X0/ |
0 |
|
-cosA.0a |
|
sinA ,j(l-a) |
|||
sinA.0a |
-cosA.0<x |
|
cosA .](l-a) |
0 |
|
|
|
|
A-o |
(28) |
|
|
|
|
|
|
|
В (28) a = а/1и |
|
|
|
|
|
|
|
k\ =6jihlf ^ ( s ) ( \ - v 2). |
(29) |
||
Из условия Д =0 следует, что |
|
|
|
||
sinA.0asin A .j(l-a) |
sinA,0ct |
T-i-cosA,0a |
к{Х2 |
|
|
cotA,j(l-a)H ------ L =0. |
|
||||
|
|
|
T-o |
7.0/ |
(30) |
|
|
|
|
|
|
Уравнение (30) позволяет найти критическую нагрузку потери устойчи вости при заданных геометрических параметрах Ъ, I, AQ, AJ, а и свойствах материала.
Поскольку нас интересуют нетривиальные решения, величины sin X0a и sin X j(1 - а) должны быть отличны от нуля. Подстановка (29) в (30) дает
|
|
|
ft^ A -o a -v 2) |
г A |
|
||
sinA-oct |
cosA.0a cotA ,j(l-a) + |
Ь 0 |
= 0, |
||||
Ly3 |
VE 1) |
||||||
|
|
|
|
||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
а \ |
L |
Хх -7-0 |
Е о |
|
|
|
|
Г |
3 / 2 ’ |
|
||||
|
|
|
|
Е \У |
|
|
|
и функцию / j |
определяет уравнение (15). |
|
|
|
|
||
0,1
0,3
0,5
0,7
0,9
У_
0 |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
1,0 |
Рис. 2. Зависимости критической нагрузки |
от параметров а |
(а, в) и у (б, г). |
|
||
Цифры у кривых — значения s. |
|
|
|
|
|
6. Численные результаты
На рис. 2 представлены зависимости критических нагрузок Я.0 от отно шений а, //и hx/ h0 при E0 =Eh l/h0 = 8 и разных значениях длины трещины s =CJ /AJ . Результаты получены для одноступенчатых колонн с трещиной в углу входящей части ступени.
Видно, что критическая нагрузка X0 увеличивается с ростом значений а и Aj. Если 5 = 0 и /] = 0, то значение критической нагрузки совпадает с тако вым для колонны без трещин. При стремлении а и у к единице оно стремит ся К 1,57. Этот результат совпадает с точным значением для консоли [25].
Результаты, представленные на рис. 2— а и в, получены в предположе нии, что А| = 0,ЗА0 и /ij = 0,5/ig соответственно. Верхние кривые на рисунках соответствуют колонне без трещин при 5=0. Немного странно, что неболь шие трещины мало ослабляют конструкционную устойчивость колонны. Действительно, кривые, соответствующие5=0,1и5 = 0,2, незначительно от личаются от таковых для балки без трещин (5 = 0). Единственное исключе ние — Кривые на рис. 2—в, где различие более заметно в окрестности а = = 0,9. В этой области расхождение, вероятно, обусловлено изменением зна-
MECHANICs OF COMPOSITE MATERIALS.— 2006,— Vol. 42, No. 1. |
97 |
ка кривизны при переходе от кривой, рассчитанной при s —0,3, к таковой при s = 0,1.
Из данных рис. 2— а видно резкое увеличение критической нагрузки по тери устойчивости при стремлении а к единице или, другими словами, ког да местоположение ступеньки стремится к свободному концу колонны. Та кое поведение критической нагрузки характерно для ступенчатых колонн с тонкой верхней частью. Как видно из данных рис. 2—в, для колонн с hx =0$h0 такой эффект менее заметен. Данные рис. 2— а показывают, что критическая нагрузка потери устойчивости достаточна мала, если ступень ка расположена вблизи заделанного конца колонны. Кроме того, для всех длин трещин при А,0 < 0,5 справедливо неравенство я ] < 0,4/. Из данных рис. 2— в видно, что критическая нагрузка значительно выше при малых значе ниях а . Гибкость балки в окрестности ее свободного конца сильно влияет на значение критической нагрузки ступенчатых балок, когда ступенька распо ложена вдали от свободного конца, а значение Aj фиксировано.
Результаты, представленные на рис. 2— б и г, получены для балок с фик сированным местоположением ступеньки я j = 0 3 / и я j = 0 3 / соответствен но. Сравнивая данные рис. 2— б и г, можно заключить, что соотношение между Xо и у для разных длин трещин нечувствительно к значению а в диа пазоне умеренных значений а.
Заключение
Разработан аналитический метод для определения критических нагрузок для ступенчатых композитных балок-колонн, ослабленных трещинами, рас положенными у входящих углов. Для описания влияния трещин на критичес кую нагрузку использована модель изгибаемой пружины. Согласно этому подходу в матрице локальной податливости учитывают только элемент С 55 [19, 20], тогда как остальные элементы мало существенны. Предложенный метод основан на концепции открытых трещин. Смыкающиеся трещины, имеющие другое поведение при изгибе противоположного направления, в настоящей работе не рассматривали. Роль смыкающихся трещин более важ на в динамике конструкций, чем в задачах устойчивости колонн. Выполнен ные расчеты показывают, что хотя трещины уменьшают критическую на грузку колонн, влияние трещин малой длины не очень значительно.
Благодарность. Работа выполнена при поддержке Estonian Science Foundation, грант № 5693. Авторы благодарны г-же Tiina Kraav за отладку вычислительной программы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Lellep J. and Sakkov Е. Optimization of cylindrical shells of fiber-reinforced composite materials // J. Mech. Compos. Mater. — 1996. — Vol. 32, No. 1. — P. 48— 52.
2. Lellep J. and Sakkov E. Optimum design of a reinforced beam under dynamic loading // J. Mech. Compos. Mater. — 1993. — Vol. 29, No. 6. — P. 596— 600.
3. Vinson J. The Behavior of Shells Composed o f Isotropic and Composite
Materials. — Kluwer, 1993.
4. Abrate S. Optimal design of laminated plates and shells // Composite Struct. —
1994. — Vol. 29. — P. 269— 286.
5. Liebowitz H. and Claus W. D. Failure of notched columns // Eng. Fracture Mech. —
1968. — No. 1. — P. 379— 383.
6. Liebowitz H., Vanderveldt H., and Harris D. W. Carrying capacity of notched columns // Int. J. Solids Struct. — 1967. — No. 3. — P. 489— 500.
7. Okamura H., Liu H. W Chu Chorng-Shin, and Liebowitz H. A cracked column under compression // Eng. Fracture Mech. — 1969. — No. 1. — P. 547— 564.
8. Gross B. and SrawleyJ. E. Stress intensity factors for single-edge notch specimens on bending or combined bending and tension by boundary collocation of a stress function // NASA Techn. Note D-2603, 1965.
9. Nikpour K. Buckling of cracked composite columns // Int. J. Solids Struct. —
1990. — Vol. 26. — P. 1371— 1386.
10. Nikpour K. and Dimarogonas A. Local compliance of composite cracked bodies //
Composites Sci. and Technology. — 1988. — Vol. 38. — P. 209— 223.
11. Anifantis N. and Dimarogonas A. Stability of columns with a single crack subjected to follower and vertical loads // Int. J. Solids Struct. — 1983. — Vol. 19. —
P.281— 291.
12.Anifantis N and Dimarogonas A. Imperfection post-buckling analysis of cracked
columns // Eng. Fracture Mech. — 1983. — Vol. 18. — P. 693— 702.
13. Anifantis N and Dimarogonas A. Post buckling behavior of transversely cracked colum ns/ / Comp. Struct.— 1984. — Vol. 18. — P. 351— 356.
14. Li Q. S. Buckling analysis of multi-step non-uniform beams // Adv. Struct. Eng. —
2000. — No. 3. — P. 139— 144.
15. Li Q. S. Buckling of multi-step non-uniform beams with elastically restrained boundary conditions // J. Constructional Steel Res. — 2001. — Vol. 57. — P. 753— 777.
16.Reddy J. N. Mechanics of Laminated Composite Plates. — CRC Press, 1997.
17.Herakovich С. T. Mechanics of Fibrous Composites. — N.Y.: John Wiley, 1998.
18.Irwin G. R. Fracture mechanics // Structural Mechanics / Eds by J. N. Goodier and
N.J. Hoff. — Oxford: Pergamon Press, 1960.
19.Tada H., Paris P. C., and Irwin G. R. Stress Analysis of Cracks Handbook. —
N.Y: ASME, 2000.
20. Dimarogonas A. D. andPaipetis S. A. Analytical Methods in Rotor Dynamics. —
London: Applied Science Publishers, 1983.
21. Liang R. Y., HuJ., and ChoyF. Theoretical study of crack-induced eigenfrequency changes on beam structures // J. Eng. Mech. Proc. ASCE. — 1992. — Vol. 118. —
P.384—^396.
22.Rizos P. E., Aspragathos N., and Dimarogonas A. D. Identification of crack
location and magnitude in a cantilever beam from the vibration modes // J. Sound Vibr. — 1990. Vol. 138. — P. 381— 388.
23. Brown F. W. and Srawley. Plane strain crack toughness testing of high strength metallic materials // ASTM. — 1966. — STP 410, P. 1— 65.
24. Dimarogonas A. Vibration o f cracked structures: a state-of-the-art review // Eng.
Fracture Mech. — 1996. — Vol. 55. — P. 831— 857.
25. Iyengar N. G. R. Structural Stability of Columns and Plates. — Ellis Horwood,
1988.
Поступила в редакцию 15.11.2004 Окончательный вариант поступил 12.01.2006 Received Nov. 15, 2004 (Jan. 12, 2006)