Теплопередача учебное пособие

Требуется найти стационарное распределение температуры в массиве при заданных температурах на поверхностях труб tтр и на плоской поверхности массива tF .

Для решения задачи применим рассмотренные выше метод источников и принцип наложения.

Предполагая внутри труб наличие стационарных тепловых источников производительностью ql + , поместим симметрично плоской поверхности F тепловые стоки такой же производительности ql − .

В соответствии с выражением (1.77) для произвольной точки P на поверхности трубы (см. рис. 1.13) можно написать уравнения для перепадов температур относительно всех независимо действующих пар источников и стоков:

где r1′ , r1′′ , r2′ , r2′′ , r3′ , r3′′ – расстояния от рассматриваемой точки

трубы P до источников и стоков.

Результирующее выражение для перепада температур от всех источников и стоков получим путем суммирования уравнений системы (1.96):

в массиве:

51

При достаточно больших отношениях h и s прибли- d d

женно можно принять изотермическую линию теплового потока от источника в виде окружности, совпадающей с окружностью трубы. Находя по известным h и s отношение расстояний до каждой пары источников и стоков, получим следующую формулу для определения термического сопротивления массива:

Первый множитель произведения под знаком логарифма

4 h соответствует термическому сопротивлению массива при d

наличии в нем одной трубы; второй множитель соответствует повышению термического сопротивления массива от присутствия симметрично расположенных двух других труб.

Термическое сопротивление массива увеличивается с глубиной заложения труб hd и уменьшается с увеличением расстояния между трубами sd .

Удельная мощность тепловыделения определится по фор-

муле

Температурное поле для трех труб в массиве определяется по формуле

52

Теплопередачу трех труб в массиве можно приближенно определить и в том случае, если задается температура окружающей среды t0 и известен коэффициент теплоотдачи на поверхно-

сти αF . Для этого используется тот же подход, что был предложен в предыдущем подразделе.

1.4.11. Теплопроводность тел с внутренним источником тепла

Впредыдущих задачах теплопроводности внутренние источники теплоты отсутствовали. Наличие внутренних источников теплоты определяется процессами, происходящими внутри исследуемого объекта, например: при протекании тока по проводящей среде, имеющей конечное сопротивление, выделяется джоулево тепло; выделение теплоты в металлических оболочках кабелей из-за воздействия электромагнитных волн; выделение тепла в электрической изоляции за счет диэлектрических потерь и т.д.

Взависимости от задачи внутренние источники теплоты могут быть точечными, линейными, поверхностными и объемными. Ниже рассмотрим задачи, в которых внутренний источник теплоты равномерно распределен по всему объему, величина которого задана и определяется мощностью внутреннего ис-

точника теплоты qV , Вт/м3.

53

Дифференциальное уравнение стационарной теплопроводности с внутренним источником теплоты имеет вид

Теплопроводность однородного цилиндрического стерж-

ня. Рассмотрим задачу стационарной теплопроводности однородного цилиндрического стержня бесконечной длины с внутренним источником теплоты(рис. 1.14) [1, 2].

На поверхности тела задано граничное условие третьего рода: температура окружающей среды tж ; коэффициент теплоотдачи α. Задана мощность внутреннего источника теплоты qV . При

данных условиях температура поверхности тела постоянна, поэтому градиенты температур по продольной и окружной координатам равны нулю, а изменение температуры будет происходить только по радиусу. Уравнение теплопроводности имеет вид

Необходимо найти распределение температуры по радиусу и тепловой поток на поверхности цилиндра, а также значение температур на оси t0 и на поверхности tс .

54

После преобразования и повторного интегрирования выражения (1.104) запишем

где C1 и C2 – постоянные интегрирования.

При r = 0 получаем, что C1 = 0 . При r = r0 , с учетом того, что C1 = 0 , получим

Подставив последнее выражение в граничное условие на поверхности цилиндра, получим

откуда

С другой стороны, температуру tс определяем по форму-

ле (1.105):

Количество тепловой энергии, которую отдает поверхность цилиндра длиной l в окружающее пространство, определяем по формуле

56

Рассмотрим граничные условия первого рода, т.е. на поверхности цилиндра задана температура tс. Эти условия соответствуют частному случаю граничного условия третьего рода,

Теплопроводность цилиндрической стенки. Рассмотрим задачу стационарной теплопроводности однородной цилиндрической стенки (трубки) бесконечной длины с равномерно распреде-

Постоянные интегрирования C1 и C2 в уравнении (1.117)

определяются граничными условиями. Рассмотрим случай, когда теплоотдающей поверхностью является только наружная поверхность, на которой задано граничное условие третьего рода, а на внутренней поверхности цилиндрической стенки задано адиабатическое условие:

58

При равенстве левых частей в уравнениях (а) и (б), при-

После подстановки постоянных интегрирования C1 и C2

в уравнение (1.117) запишем уравнение для распределения температуры:

Температуру на внешней поверхности определяем из выражения

Плотность теплового потока на внешней поверхности цилиндрической стенки

Температура на внутренней поверхности трубы может быть вычислена с помощью выражения (1.118) при условии, что r = r1 :

Рассмотрим частный случай, когда на внешней поверхности трубы задано граничное условие первого рода, т.е. задана температура t2 :

59

Перепад температур на внутренней и внешней поверхностях трубы определяем по формуле

1.5. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Выше были рассмотрены условия распространения теплоты при стационарном режиме, когда температурное поле во времени не менялось, оставаясь постоянным. Если же температурное поле меняется во времени, т.е. является функцией времени, то протекающие в таких условиях тепловые процессы называются нестационарными.

Скорость теплового процесса при нестационарном режиме определяется коэффициентом температуропроводности а = λсρ ,

который здесь имеет такое же важное значение, как и коэффициент теплопроводности при стационарном режиме.

Решить задачу нестационарной теплопроводности– значит найти зависимости температуры и количества переданной теплоты от времени для любой точки тела. Такие зависимости могут быть получены путем решения дифференциального уравнения теплопроводности. Цель аналитического описания– получение общего решения задачи. Такие решения получаются достаточно сложными, даже для телпростой формы: пластины, цилиндраи шара.

При решении конкретных технических задач практически применимым является метод конечных разностей. Этот метод

60