Теплопередача учебное пособие

ривается изучаемый процесс, с математической точки зрения являются величинами бесконечно малыми, а с физической точки зрения– величинами еще достаточно большими, чтобы в их пределах можно было игнорировать дискретным строением среды ирассматривать ее как сплошную. Полученная таким образом зависимость является общим дифференциальным уравнением рассматриваемого процесса.

Для облегчения вывода этого уравнения сделаем следующие допущения:

1)тело однородно и изотропно;

2)физические параметры постоянны;

3)деформация рассматриваемого объема, связанная с изменением температуры, является очень малой величиной по сравнению с самим объемом;

4)внутренние источники теплоты в теле распределены равномерно.

Воснову вывода дифференциального уравнения теплопроводности положен закон сохранения энергии, который в рассматриваемом случае может быть сформулирован следующим обра-

зом: количество теплоты dQ1 , введенное в элементарный объем dV извне за время dτ вследствие процессов теплопроводности, а также количество теплоты dQ2 , полученное от внутренних ис-

точников теплоты, равно изменению внутренней энергии вещества dQ, содержащегося в элементарном объеме за время dτ:

(рис. 1.3).

Количество теплоты, которое подводится к граням элементарного объема за время dτ в направлении осей 0x, 0 y, 0z,

обозначим соответственно 0 y, dQy , dQz .

11

y

Рис. 1.3. К выводу дифференциального уравнения теплопроводности

Количество теплоты, которое будет отводиться через противоположные грани в тех же направлениях, обозначим dQx+dx ,

dQy +dy , dQz +dz . Количество теплоты, подведенное к грани dy dz в направлении оси 0x за время dτ, составляет

dQx = qx dy dz dτ,

где qx – проекция плотности теплового потока на направление

нормали к указанной грани.

Количество теплоты, отведенное через противоположную грань элементарного параллелепипеда в направлении оси 0x, запишетсяввиде

dQx+dx = qx+dx dydzdτ.

Тогда

dQx1 = dQx − dQx+dx ,

12

При изохорном процессе вся теплота, подведенная к элементарному объему, уйдет на изменение внутренней энергии вещества, заключенного в этом объеме, т.е.

где c – удельная теплоемкость, Дж/ (кг °С); ρ – плотность ве-

щества, кг/м3.

Подставляя полученные выражения (в), (г) и (д) в уравнение (1.6), получаем

Выражение (1.7) является дифференциальным уравнением энергии для изохорного процесса переноса теплоты.

В твердых телах перенос теплоты осуществляется по закону Фурье (1.3):

q= −λ ∂ t n .

∂n

Проекции вектора плотности теплового потока на координатные оси 0x, 0 y, 0z определяются выражениями:

Подставляя полученные выражения проекций вектора плотноститепловогопотока в уравнение (1.7), получим

Выражение (1.8) называется дифференциальным уравнением теплопроводности. Оно устанавливает связь между времен-

14

ным и пространственными изменениями температуры в любой точке тела, в которых происходит процесс теплопроводности.

Если принять, что теплофизические характеристики постоянны, то

( qV = 0 ), тогдауравнение (1.10) принимает вид уравнения Фурье:

Уравнение теплопроводности для стационарного режима с внутренним источником тепла превращается в уравнение Пуассона:

При стационарной теплопроводности и отсутствии внутренних источников теплоты уравнение (1.9) примет вид уравнения Лапласа:

1.3. УСЛОВИЯ ОДНОЗНАЧНОСТИ ДЛЯ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Полученное дифференциальное уравнение теплопроводности описывает целый класс соответствующих явлений. Чтобы выделить конкретно рассматриваемый процесс и дать его полное математическое описание, к дифференциальному уравнению необходимо присоединить математическое описание всех частных особенностей рассматриваемого процесса.

Эти частные особенности, которые совместно с дифференциальным уравнением дают полное математическое описание конкретного процесса теплопроводности, называются условиями однозначности или краевыми условиями [1, 2].

Условия однозначности включают в себя:

1)геометрические условия, характеризующие форму и размеры тела, в котором протекает процесс;

2)физические условия, характеризующие физические свойства среды;

16

3)временные (начальные) условия, характеризующие распределение температуры в изучаемом теле в начальный момент времени;

4)граничные условия, характеризующие взаимодействие рассматриваемого тела с окружающей средой.

Существуют граничные условия первого, второго, третьего и четвертого рода.

Граничное условие первого рода. При этом задается рас-

пределение температуры на поверхности тела для каждого момента времени:

Граничное условие второго рода. При этом задается зна-

чение теплового потока для каждой точки поверхности тела и любого момента времени:

где qс – плотность теплового потока на поверхности тела. Простейший случай qс = const .

Граничное условие третьего рода. При этом задается температура окружающей среды tж и закон теплообмена меж-

ду поверхностью тела и окружающей средой. Для описания процесса теплообмена между поверхностью тела и средой используется закон Ньютона–Рихмана.

Согласно этому закону количество теплоты, отдаваемое единицей поверхности тела в единицу времени, пропорционально разности температур поверхности тела tс и окружаю-

щей среды tж ( tс > tж ):

17

где α – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом теплоотдачи, Вт/(м2·°C).

Коэффициент теплоотдачи характеризует интенсивность теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Численно он равен количеству теплоты, отдаваемому (или воспринимаемому) единицей поверхности в единицу времени при разности температур между поверхностью тела и окружающей средой, равной одному градусу.

Согласно закону сохранения энергии количество теплоты, которое отводится с единицы поверхности в единицу времени вследствие теплоотдачи, должно равняться теплоте, подводимой к единице поверхности в единицу времени вследствие теплопроводности из внутренних объемов тела, т.е.

где n – нормаль к поверхности тела; индекс «с» указывает на то, что температура и градиент относятся к поверхности тела

(при n = 0 ).

Окончательно граничное условие третьего рода можно записать в виде

Граничное условие четвертого рода. Это условие харак-

теризует условие теплообмена системы тел или тела с окружающей средой по закону теплопроводности.

В рассматриваемых условиях имеет место идеальный контакт (температуры соприкасающихся поверхностей одинаковы) и равенство тепловых потоков, проходящих через поверхность соприкосновения (рис. 1.4):

18

(t1 )c = (t2 )c .

В задачах с граничными условиями четвертого рода задается отношение тангенсов угла наклона касательных к температурным кривым в точке соприкосновения тел или тела и среды.

Дифференциальное уравнение теплопроводности совместно с условиями однозначности дает полную математическую формулировку конкретной тепловой задачи. Поставленная таким образом задача может быть решена аналитическим, численным или экспериментальным методами.

1.4. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬПРИСТАЦИОНАРНОМРЕЖИМЕ

При установившемся или стационарном тепловом режиме