Теплопередача учебное пособие

Еλ = dEλ . d

Закон изменения спектральной плотности потока излучения абсолютно черного тела в зависимости от длины волны и температуры называется законом Планка [1, 2]:

с1 и с2 – постоянные излучения, соответственно равные

3,74·10–16 Вт·м2 и 1,44·10–2 м·К.

На рис. 3.3 показаны зависимости спектральной плотности потокаизлучения отдлиныволныприразличных температурах.

Рис. 3.3. ГрафическоепредставлениезаконаПланка

122

симум Е0λ смещается в сторону более коротких волн. Пло-

щадь, ограниченная кривой T = const , осью абсцисс и ординатами λ и λ+ dλ (заштрихованная площадь), дает количество энергии dE0 , излучаемое участком длин волн dλ, следова-

тельно, dE0 = E0λdλ.

Полное количество лучистой энергии, излучаемое единицей поверхности абсолютно черного тела в единицу времени всеми длинами волн для заданной температуры, определяется

Для реальных тел изменение плотности потока излучения от длины волны и температуры может быть установлено только опытным путем. При этом, если спектр излучения реального тела

непрерывен и кривая Eλ = f (λ) подобна соответствующей кривой для абсолютно черного тела при той же температуре, т.е. если для

всехдлин волн Еλ = const , тотакое излучение называется серым.

Е0λ

3.3. ЗАКОН СТЕФАНА–БОЛЬЦМАНА

Закон Стефана–Больцмана устанавливает зависимость плотности потока интегрального излучения абсолютно черного тела по всем направлениям полусферического пространства от

123

температуры [1, 2]. В 1879 г. этот закон был установлен опытным путем Стефаном и два года спустя обоснован теоретически Больцманом.

Подставив выражение (3.2) в уравнение (3.4), запишем

00 λ5 (eλТ −1)

Врезультате интегрирования уравнения (а) получим

где σ0 – постояннаяСтефана–Больцмана, σ0 = 5,67 10−8 Вт/(м2·К4).

Уравнение (3.5) называется законом Стефана–Больцмана. Другая форма записи закона Стефана–Больцмана, наибо-

лее часто используемая в технических расчетах, имеет вид

где с0 – коэффициент излучения абсолютно черного тела,

с0 = σ0 108 = 5,67 Вт/(м2·К4).

Строго говоря, закон Стефана–Больцмана справедлив только для абсолютно черного тела. Однако, как показывают результаты экспериментальных работ, этот закон можно использовать и для реальных тел. В этом случае он принимает вид

Коэффициент с для различных тел может быть различным и изменяться в диапазоне от 0 до 5,67.

Если взять отношение плотности потока излучения реального тела к плотности потока излучения абсолютно черного тела при той же температуре, получим

124

125

ловая энергия, равная E. Падая на поверхность абсолютно черного тела, эта энергия полностью ею поглощается. С поверхно-

а оставшаяся часть в количестве (1 − A)E0 отражается, снова по-

падая на поверхность абсолютно черного тела, и полностью ею поглощается.

Таким образом, для левого тела приход энергии равен AE0 , а расход – E. Следовательно, результирующее излучение для левого тела определится по формуле

Ерез = Е − АЕ0 . (а)

Теплообмен излучением между этими телами будет иметь место и при равенстве температур T = T0 . В этом случае тела на-

ходятся в термодинамическом равновесии и Ерез = 0. В результате имеем

Полученное выражение будет справедливо для любых тел. Тогда можно записать:

Отсюда закон Кирхгофа можно сформулировать так: отношение собственного излучения к поглощательной способности при термодинамическом равновесии для всех тел одинаково и равно собственному излучению абсолютно черного тела при той же температуре.

Возможны и иные формы записи закона Кирхгофа. Подставляя уравнение (3.6) в выражение (3.8), получим

126

Из уравнений (3.6′), (б) и соотношения (в) можно получить

Отсюда следует, что при термодинамическом равновесии поглощательная способность тела равна степени черноты тела. В связи с тем, что поглощательная способность реальных тел всегда меньше 1, то из соотношения (3.8) следует, что собственное излучение этих тел всегда меньше собственного излучения абсолютно черного тела при той же температуре. Таким образом, абсолютно черное тело обладает максимальным излучением при любом значении температуры.

Из закона Кирхгофа также следует, что чем больше поглощательная способность A , тем больше величина собственного излучения E. Если A мала, то и его собственное излучение тела E мало. Поэтому тела, которые хорошо отражают лучистую энергию, сами излучают очень мало.

3.5. ЗАКОН ЛАМБЕРТА

Закон Стефана–Больцмана определяет количество энергии, излучаемое телом по всем направлениям полусферического пространства. Каждое направление определяется углом φ, ко-

торый оно образует с нормалью к поверхности. Изменение излучения по отдельным направлениям определяется законом Ламберта [1, 2].

127

Плотность потока излучения может изменяться по определенным направлениям излучения. Количество энергии, испускаемое в направлении l, определяемом углом φ с нормалью

к поверхности n (рис. 3.5), единицей элементарной площадки в единицу времени в пределах элементарного телесного угла dΩ , называется угловой плотностью излучения [1]. В соответствии с определением угловые плотности спектрального и интегрального излучений запишутся в следующем виде:

Телесный угол dΩ представляет собой угол, под которым из какой-либо точки элементарной площадки одного тела видима элементарная площадка другого тела.

Из уравнения (3.9), (3.10) можно получить:

Рис. 3.5. К выводу закона Ламберта. Излучение элемента dF в направлении элемента dF1

128

Интенсивностью излучения называется количество лучистой энергии, испускаемое в направлении l в единицу времени элементарной площадкой в пределах единичного элементарного телесного угла, отнесенное к проекции этой площадки на плоскость, ортогональную к направлению излучения [1]:

здесь Iλ и I – интенсивности (яркости) спектрального и инте-

грального излучений.

Закон косинусов Ламберта. По закону Ламберта поток излучения абсолютно черного тела в данном направлении пропорционален потоку излучения в направлении нормали к поверхности и косинусу угла между ними [1].

Закон Ламберта определяется выражением

где Iφ – угловая плотность потока излучения в направлении l

(см. рис. 3.5); In – угловая плотность потока излучения в на-

правлении нормали к поверхности.

Сопоставляя выражения (3.14) и (3.17), можно записать