Теплопередача учебное пособие

слой заторможенной жидкости, в пределах которой скорость изменяется от нуля на поверхности тела до скорости невозмущенного потока вдали от тела. Этот слой заторможенной жидкости получил название гидродинамического пограничного слоя. Под толщиной слоя δ подразумевается такое расстояние от поверхности тела, на котором скорость будет отличной от v0 на опреде-

ленную заранее заданную малую величину, например на 1 %.

Таким образом, поток жидкости, проходящий вблизи поверхности пластины, условно можно разделить на пограничный слой и на внешний поток. В пограничном слое силы инерции соизмеримы с силами вязкого трения, а во внешнем потоке преобладают силы инерции.

Тепловой пограничный слой.

По аналогии введено понятие теплового пограничного слоя. Тепловой пограничный слой – это слой жидкости у стенки, в пределах которого температура изменяется от значения, равного температуре стенки, до значения, равного температуре жидкости вдали от тела (рис. 2.4).

Таким образом, все изменения температуры жидкости сосредоточиваются в сравнительнотонком слое, непосредственно прилегающем кповерхности тела.

101

2.4. ПОДОБИЕ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА

2.4.1. Приведение математической формулировки краевой задачи к записи в безразмерном виде

Рассмотрим продольное обтекание плоской поверхности твердого тела размером l0 безграничным потоком жидкости, температура и скорость которого вдали от тела постоянны и равны соответственно t0 , v0 (рис. 2.5) [1]. Температура поверхности тела равна tc . Будем считать, что tc > t0 , физиче-

ские параметры жидкости постоянны (учтем только подъемную силу, возникающую в результате зависимости плотности от температуры).

Диссипативный источник тепла не учитывается. Процесс стационарный.

Рис. 2.5. К постановке краевой задачи конвективного теплообмена

102

Расположим оси координат так, как показано на рис. 2.5. Будем считать, что вектор ускорения свободного падения совпадает с направлением оси 0x , в связи с этим компоненты

gx = g , g y = gz = 0 .

Размер тела по направлению оси 0z намного больше l0 . Введем переменную ϑ = t − t0 , где t – температура жидко-

сти; t0 = const – температура невозмущенного потока жидкости. При этом dt = dϑ .

Впотоке жидкости учтем подъемную силу ρgβϑ , считая

еесоизмеримой с силой вязкого трения.

Вданной постановке поля скоростей и температур можно описать дифференциальными уравнениями в приближении пограничного слоя:

В уравнениях и условиях однозначности можно различить три вида величин:

103

Постоянные величины, содержащиеся в дифференциальных уравнениях (2.31)–(2.33), сгруппированы в безразмерные комплексы, число которых меньше числа размерных величин.

Граничные условия в безразмерном виде:

Несмотря на то, что величины v0 , ϑ 0 , l0 и др., входящие в размерные граничные условия, могут иметь различные числовые значения, каждая из безразмерных величин Θ 0 , Θ c и др. имеет в рассматриваемом случае вполне конкретное значение.

105

Коэффициент теплоотдачи по известному распределению температуры определяется из уравнения теплоотдачи (2.30), которое для рассматриваемой задачи примет вид

Уравнение теплоотдачи в безразмерном виде:

2.4.2. Числа подобия и уравнения подобия

Помимо безразмерных зависимых переменных Θ , Vx , Vy

и безразмерных координат в дифференциальные уравнения входят также безразмерные комплексы, называемые числами подобия [1]:

называется числом Нуссельта или безразмерным коэффициентом теплоотдачи. Число Нуссельта характеризует теплообмен между поверхностью твердого тела и подвижной окружающей средой. Одной из основных задач конвективного теплообмена является нахождение числа Nu, и затем коэффициента теплоотдачи α . Число Bi в задачах теплопроводности рассчитывается по формуле, схожей с формулой (2.34) для числа Nu. При этом

106

между этими безразмерными комплексами имеются принципиальные отличия. В формуле для числа Bi присутствует коэффициент теплопроводности λ твердого тела, и коэффициент теплоотдачи α является наперед заданной величиной, а в формуле для числа Nu – коэффициент теплопроводности λ жидкости, и коэффициент теплоотдачи α – искомая величина.

Второй безразмерный комплекс

называется числом Рейнольдса, которое характеризует отношение сил инерции к силам вязкого трения. Число Рейнольдса определяет характер как изотермического, так и неизотермического процессов течения подвижных сред.

Безразмерный комплекс

называется числом Пекле. После его преобразования можно получить

здесь выражение в числителе отвечает за конвективный перенос тепла, а в знаменателе – за перенос тепла за счет процессов теплопроводности.

Четвертый безразмерный комплекс

называется числом Грасгофа. Оно характеризует подъемную силу, возникающую в жидкости вследствие разности плотностей нагретых и холодных областей подвижной среды.

107

После подстановки чисел подобия в безразмерные дифференциальные уравнения, получим:

Уравнение (2.33) остается неизменным.

Безразмерные величины Θ , Vx , Vy , X , Y , Nu, Re, Pe, Gr можно разделить на три группы:

1)независимые переменные – это безразмерные координаты X и Y ;

2)зависимые переменные – это Θ , Vx , Vy , Nu;

3)постоянные величины – это Re , Pe , Gr ; они заданы краевыми условиями.

В результате имеем:

Уравнения(2.41)–(2.44) носят названияуравнений подобия.

Если учесть градиент давления ρ1 ∂∂ Рх в уравнении дви-

жения, при переходе к записи в безразмерном виде можно по-

Величина

называется числом Эйлера. Оно характеризует отношение сил давления к силам инерции.

Если в числе Pe числитель и знаменатель умножить на коэффициент кинематической вязкости, то можно получить следующее соотношение:

Число Рr – это теплофизическая характеристика теплоносителя.

Для неметаллических капельных жидкостей Рr > 1 ; для неметаллических капельных жидкостей при больших температурах и газов Рr ≈ 1; дляжидких металлов Рr << 1 .

Числа подобия, составленные из наперед заданных параметров (постоянных) математического описания процесса, называют критериями подобия.

2.4.3. Моделирование процессов конвективного теплообмена и построение эмпирических критериальных уравнений

Изучение моделирования процесса в объекте заменяется исследованием этого процесса на модели [1].

Исследование процесса на модели осуществляется так, чтобы результаты его изучения можно было перенести на объект.

109

Моделирование включает в себя две задачи:

1)в модели необходимо осуществить процесс, подобный процессу, происходящему в объекте;

2)выполнить на модели все требуемые измерения и наблюдения.

Условия подобия физических процессов:

1. Подобные процессы должны быть качественно одинаковыми, т.е. они должны иметь одинаковую физическую природу и описываться одинаковыми по форме записи дифференциальными уравнениями.

2. Условия однозначности подобных процессов должны быть одинаковыми во всем, кроме числовых значений размерных постоянных, содержащихся в этих условиях.

3. Одноименные определяющие безразмерные переменные подобныхпроцессовдолжныиметьодинаковыечисловыезначения.

Сформулированные условия являются определением подобия физических процессов.

Подобные процессы можно рассматривать как один и тот же процесс, но взятый в различном масштабе, причем масштабы размерных величин могут быть неодинаковыми.

Знание математического описания является необходимой предпосылкой теории подобия.

Получение эмпирических формул. Прежде чем обрабаты-

вать опытные данные в числах подобия, нужно установить, от каких чисел зависит определенное значение. Это можно получить из системы дифференциальных уравнений, описывающих процесс [1].

Пусть было получено, что Nu = f (Re) .

По данным измерения подсчитывается значение Re и соответствующие значения Nu . Зависимость между числами подобия обычно представляется в виде степенных функций, например Nu = cRеn , где c, n являются постоянными безразмерными числами (рис. 2.6).

110