Теория автоматического управления. Нелинейные системы
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский национальный исследовательский политехнический университет»
Е.М. Васильев, В.Г. Коломыцев
ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
Допущено Учебно-методическим объединением по профессионально-педагогическому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших
учебных заведений, обучающихся по специальности 050501.19 – Профессиональное обучение (электроэнергетика, электротехника и электротехнологии)
Издательство Пермского национального исследовательского
политехнического университета
2011
elib.pstu.ru
УДК 62-52 В19
Рецензенты:
д-р техн. наук, профессор Н.В. Шулаков (Пермский национальный исследовательский политехнический университет);
канд. техн. наук, доцент В.Н. Зуев (ЗАО «Предприятие В-1336»)
Васильев, Е.М.
В19 Теория автоматического управления. Нелинейные системы: учеб. пособие / Е.М. Васильев, В.Г. Коломыцев. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2011. – 115 с.
ISBN 978-5-398-00562-2
Приведены особенности статических характеристик нелинейных систем автоматического управления. Излагаются приближенные и точные методы исследования автоколебательных режимов. В доступной форме приводятся методы анализа устойчивости положения равновесия и процессов в нелинейных системах на основе теорем А.М. Ляпунова. Рассмотрены методы анализа качества процессов и некоторые инженерные методы синтеза корректирующих устройств в нелинейных системах. Пособие содержит большое число примеров исследования нелинейных систем.
Предназначено для студентов, изучающих дисциплину «Теория автоматического управления».
ISBN 978-5-398-00562-2 |
© ПНИПУ, 2011 |
2 |
|
elib.pstu.ru
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Введение.......................................................................................... |
6 |
1. Статика нелинейных систем управления.................................. |
9 |
1.1. Характеристики нелинейных звеньев................................ |
9 |
1.2. Типовые нелинейности....................................................... |
10 |
1.3. Определение статических характеристик систем |
|
с типовой структурой................................................................. |
14 |
1.3.1. Эквивалентные статические характеристики |
|
последовательно соединенных звеньев ............................. |
14 |
1.3.2. Статические характеристики |
|
параллельно соединенных звеньев..................................... |
15 |
1.3.3. Эквивалентные статические характеристики |
|
систем с обратной связью.................................................... |
16 |
1.4. Преобразование нелинейных структурных схем.............. |
19 |
1.5. Структурное преобразование |
|
нелинейной САУ к типовой....................................................... |
21 |
2. Метод фазовых траекторий........................................................ |
23 |
2.1. Основные понятия о методе ............................................... |
23 |
2.2. Свойства фазовой плоскости.............................................. |
25 |
2.3. Фазовые портреты линейных систем 2-го порядка .......... |
26 |
2.4. Особенности нелинейных систем ...................................... |
32 |
2.5. Исследование динамики нелинейных систем................... |
33 |
2.5.1. Многолистная фазовая плоскость............................. |
33 |
2.5.2. Исследование релейной системы управления |
|
объектом с W(p) = k/p2 ........................................................ |
38 |
2.5.3. Исследование релейной системы управления |
|
объектом с W(p) = k/p(Tp + 1) ............................................. |
41 |
2.6. Построение фазовых траекторий ....................................... |
45 |
2.7. Построение кривой переходного процесса |
|
по фазовой траектории............................................................... |
46 |
3. Метод гармонической линеаризации........................................ |
50 |
|
3 |
elib.pstu.ru
3.1. Общая характеристика |
|
метода гармонической линеаризации....................................... |
50 |
3.2. Комплексный коэффициент |
|
усиления (передачи) нелинейного элемента............................ |
51 |
3.3. Вычисление комплексных |
|
передаточных коэффициентов нелинейных элементов.......... |
54 |
3.4. Определение параметров автоколебаний |
|
в системе с одним нелинейным элементом.............................. |
59 |
3.5. Частотные методы исследования автоколебаний............. |
65 |
3.5.1. Определение наличия |
|
и устойчивости автоколебаний |
|
(по методу Л.С.Гольдфарба) ............................................... |
65 |
3.5.2. Анализ автоколебательных режимов |
|
по методу А.А. Вавилова..................................................... |
67 |
3.6. Применение метода гармонической линеаризации |
|
для систем с несколькими нелинейностями............................. |
69 |
4. Устойчивость нелинейных систем............................................ |
71 |
4.1. Понятие устойчивости нелинейных систем...................... |
71 |
4.1.1. Анализ стационарных движений.............................. |
72 |
4.2. Методы определения |
|
устойчивости положения равновесия....................................... |
75 |
4.2.1. Линеаризация нелинейных систем, описываемых |
|
дифференциальными уравнениями n-го порядка.............. |
76 |
4.2.2. Линеаризация нелинейных систем, описываемых |
|
дифференциальными уравнениями в форме Коши........... |
78 |
4.3. Теорема Ляпунова (второй метод) |
|
об устойчивости нелинейных систем....................................... |
81 |
4.4. Абсолютная устойчивость нелинейных систем................ |
88 |
4.5. Абсолютная устойчивость процессов................................ |
92 |
5. Оценка качества процессов в нелинейных системах............... |
94 |
5.1. Оценка качества переходных процессов |
|
по показателю колебательности................................................ |
95 |
5.2. Оценка качества процессов |
|
с помощью критерия абсолютной устойчивости..................... |
100 |
4 |
|
elib.pstu.ru
6. Некоторые вопросы синтеза нелинейных систем.................... |
103 |
6.1. Синтез линейных корректирующих устройств |
|
по критерию абсолютной устойчивости................................. |
104 |
6.2. Синтез линейных корректирующих устройств |
|
по показателю колебательности процессов ........................... |
105 |
6.3. Коррекция характеристик нелинейных элементов......... |
110 |
Список рекомендуемой литературы ............................................. |
114 |
5
elib.pstu.ru
ВВЕДЕНИЕ
Физические законы движения окружающего нас мира таковы, что все объекты управления нелинейны. Одни нелинейности не включены в систему преднамеренно, а оказываются следствием несовершенства физических элементов или зависят от свойств материалов и называются сопутствующими (насыщение, сухое трение, гистерезис и др.). Другие нелинейности, называемые структурными, вводятся в систему преднамеренно для получения требуемых характеристик системы.
Все системы, считающиеся линейными, являются таковыми лишь в определённых диапазонах сигналов и всегда могут стать нелинейными. Если нелинейности в системах выражены слабо, то их поведение незначительно отличается от поведения линейной системы. В таких случаях для исследовании систем управления (с несущественными нелинейностями) придерживаются классической концепции Вышнеградского-Максвелла, в соответствии с которой исследование систем управления проводится методами линейной теории путём перехода к приближённым линейным моделям. Это в значительной степени предопределило и выбор алгоритмов функционирования управляющих устройств (регуляторов, блоков компенсации, командных блоков) в классе линейных алгоритмов.
Такое описание процессов в системах управления применимо далеко не ко всем системам. Существует множество систем, процессы в которых принципиально не могут быть описаны линейными дифференциальными уравнениями, и при их исследовании необходимо пользоваться нелинейными дифференциальными уравнениями.
Точную модель реальной системы создать невозможно. Обычно увеличение точности модели связано с увеличением её порядка. Однако наступает момент, когда увеличение порядка не вносит существенного улучшения в модель системы. Кроме того, некоторые реальные системы изначально являются существенно нелинейными.
6
elib.pstu.ru
Если нелинейность является существенной, то получение линейной модели становится затруднительной, а сама модель утрачивает ряд важных свойств оригинала. Поэтому в тех случаях, когда линеаризованная модель даёт очень плохую аппроксимацию характеристик реальной системы, при анализе системы необходимо использовать её нелинейную модель и специальные методики расчёта.
Для исследования нелинейных систем не существует единых методов анализа и синтеза, так как нет единого метода решения нелинейных дифференциальных уравнений. Разработаны лишь частные методы исследования нелинейных систем, каждый из которых не может быть применён к любой из нелинейных систем. Наиболее важными и распространёнными методами исследования систем с существенными нелинейностями являются методы фазовых траекторий, гармонического баланса, абсолютной устойчивости, второй метод Ляпунова и имитационного компьютерного моделирования. Выбор метода определяется классом решаемой задачи и целями исследования. Достоверность результатов анализа зависит от точности математических моделей систем.
При переходе от линейных систем к нелинейным системам возникает вопрос, какие принципиально новые виды движений по сравнению с линейными системами возможны в нелинейных системах.
В линейной системе практически возможны два типа движений, которые целиком определяются расположением корней ее характеристического уравнения (система устойчива или неустойчива). Никакие другие виды движений согласно линейной модели не могут возникнуть.
Практика применения систем авторегулирования еще в конце XIX века показала, что во многих системах авторегулирования имеют место принципиально иные явления, то есть описание с помощью линейной модели для них неприменимо. На первое место по распространенности и важности среди этих явлений необходимо выделить то, что при начальных отклонениях, для каждой системы превышающих свой определенный уровень, возникают колебания определенной амплитуды и частоты, называемые автоколебаниями.
7
elib.pstu.ru
Следует отметить опасную особенность нелинейных систем, когда она устойчиво работает до тех пор, пока отклонения ее координат (или возмущающие воздействия) не превысят определенного порога. Как только они превышают этот порог (для каждой систе-
мы свой), возникают расходящиеся процессы.
Внелинейных системах различают устойчивость движения
иустойчивость системы. В отличие от линейных нелинейные системы могут быть устойчивы в одних режимах работы и неустойчивы в других. Различают устойчивость в малом, большом, целом.
Кроме оценки устойчивости в нелинейных системах необходимо найти условия, при которых имеют место автоколебания, каковы условия их возникновения.
С методической точки зрения особое значение имеют системы второго порядка. Для изучения этих систем найдены простые и на-
глядные методы, которые помогают понять сложные процессы
внелинейных системах высокого порядка.
Впособии рассмотрены два подхода к исследованию динамики нелинейных САУ:
–метод фазового пространства (метод пространства состояния), который позволяет провести полное исследование системы, но он достаточно сложен;
–частотные методы исследования динамики нелинейных САУ, отличающиеся простотой и наглядностью, но позволяющие провести лишь частичный анализ.
Рассмотрены вопросы исследования устойчивости состояния равновесия и процессов, качества процессов и некоторые основные методы синтеза нелинейных систем.
8
elib.pstu.ru
1. СТАТИКА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
1.1. Характеристики нелинейных звеньев
Различают статические и динамические нелинейности. Первые описываются нелинейными алгебраическими уравнениями, а вторые представляются в виде нелинейных дифференциальных уравнений.
В нелинейных системах встречаются статические нелинейности самого различного вида. Каждую нелинейность будем характеризовать соответствующей функцией z = z(x). При этом будем считать, что имеет место одномерная нелинейность, т.е переменная z представляет собой функцию только одной переменной. В случае, если имеет место многомерная нелинейность, т.е. z является функцией нескольких переменных, их сводят к одномерным.
Зависимости между постоянными значениями входных и выходных сигналов нелинейных элементов могут быть заданы аналитически, графически или таблично.
На структурных схемах нелинейных систем одномерные безынерционные нелинейные элементы обозначаются в виде, представленном на рис. 1.1.
Рис. 1.1. Одномерный элемент нелинейной системы
Нелинейности подразделяют на линеаризуемые (несущественные) и нелинеаризуемые (существенные).
Признаки нелинейности статических характеристик элементов:
– Симметричность. Если выполняется условие z(x) = z(–x), характеристику называют четно-симметричной, если z(x) = –z(–x)
– нечетно-симметричной, если не выполняется ни одно условие – характеристику относят к несимметричной, которая может быть
9
elib.pstu.ru
приведена изменением структурной схемы к симметричной (например, перемещением начала координат, введением дополнительных слагаемых на входе или выходе звена (рис. 1.2).
–Гладкость. Если в любой точке характеристики z(x) существует производная dz/dx, она относится к гладким; если производная
влюбой точке имеет разрыв (излом характеристики), она является ломаной; характеристика, состоящая из отрезков прямых, называ-
ется кусочно-линейной.
–Однозначность. Характеристику, у которой каждому значению x соответствует одно определенное значение z, называют однозначной, если несколько значений z – неоднозначной (обычно их называют гистерезисными).
Рис. 1.2. Пример приведения несимметричной статической характеристики
кнечетно-симметричной
–Непрерывность. Если функция z(x) не имеет разрывов, то характеристику называют непрерывной, при наличии разрывов –
разрывной.
Нелинейные элементы, удовлетворяющие перечисленным условиям, относят к типовым нелинейностям. Звенья, имеющие более сложный характер зависимости z(x), в том числе искусственно создаваемые нелинейности, удовлетворяющие определенным задаваемым требованиям, относятся к особым видам нелинейностей.
1.2.Типовые нелинейности
Условия преобразования сигналов безынерционными нелинейными элементами зависят от уровней сигналов и не зависят от их частоты.
10
elib.pstu.ru