Интеллектуальные технологии обоснования инновационных решений
..pdf
а) f0 : ( f (1,1) =1, |
f (1,2) = 1, |
f (2,1) = 1, |
f (2,2) = 1), |
(2.35) |
б) f1 : ( f (1,1) = 1, |
f (1,2) = 1, |
f (2,1) = 1, |
f (2,2) = 2), |
(2.36) |
в) f2 : ( f (1,1) = 1, |
f (1,2) = 2, |
f (2,1) = 1, |
f (2,2) = 2), |
(2.37) |
г) f3 : ( f (1,1) = 1, |
f (1,2) = 1, |
f (2,1) = 2, |
f (2,2) = 2), |
(2.38) |
д) f4 : ( f (1,1) =1, |
f (1,2) = 2, |
f (2,1) = 2, |
f (2,2) = 2), |
(2.39) |
е) f5 : ( f (1,1) =1, |
f (1,2) = 2, |
f (2,1) = 2, |
f (2,2) = 3). |
(2.40) |
|
"0" |
|
"1" |
|
"2" |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
1 |
2 |
1 |
2 |
|
а |
|
б |
|
в |
|
"3" |
|
"4" |
|
"5" |
1 |
1 |
1 |
2 |
1 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
3 |
|
г |
|
д |
|
е |
Рис. 2.8. Множество допустимых вариантов области определения функции свертки в первой подобласти
121
Таблица 2.1
Допустимые наборы области определения стандартной функции свертки
Варианты |
f (1,1) |
f (1,2) |
f (2,1) |
f (2,2) |
|
|
|
|
|
а |
1 |
1 |
1 |
1 |
б |
1 |
1 |
1 |
2 |
в |
1 |
2 |
1 |
2 |
г |
1 |
1 |
2 |
2 |
д |
1 |
2 |
2 |
2 |
е |
1 |
2 |
2 |
3 |
Определим вид функции свертки в перечисленных подобластях определения (2.35)–(2.40). В качестве методики вычисления функции свертки нечетких переменных X1, X2
примем известный принцип обобщения на процедуру агрегирования, использованный Д.А. Новиковым в выражении
µX (x) = |
sup |
min{µX1 (x1),µX2 (x2 )}. (2.41) |
|
{(x1 ,x 2 )/ f (x1 ,x2 )=x} |
|
В общем виде методика определения вида функции свертки в заданной подобласти выглядит следующим образом.
Переменные в нечетком виде можно обозначить как
X1 =1/ (1−µ1 ) + 2/ µ1, |
(2.42) |
X2 =1/ (1−µ2 ) + 2/ µ2 , |
(2.43) |
В общем случае согласно (2.41) |
|
X = f (X1, X2 ) = f (1,1) / min ((1−µ1 ),(1−µ2 ))+ |
|
+ f (1,2) / min ((1−µ1 ),µ2 )+ f (2,1) / min (µ1,(1−µ2 ))+ |
(2.44) |
+ f (2,2) / min (µ1,µ2 ). |
|
122
Для получения уравнения линии одинаковых значений функции свертки, которую назовем изопрайсой (от слова «прайс» – цена), зафиксируем ее произвольное значение
|
ˆ |
ˆ |
|
|
(2.45) |
|
X = XC . |
|
|
||
В качестве иллюстрации приведём уравнение изопрайсы |
|||||
для конкретного выражения типа (2.44): |
|
|
|||
1−µ1 + 2µ2 |
ˆ |
ˆ |
|
|
|
1−µ1 +µ2 = |
XC , 1 ≤ |
XC |
≤ 3/ 2, |
|
|
1−µ1 + 2µ2 = (1−µ1 ) XC +µ2 XC , |
|
||||
|
ˆ |
|
ˆ |
|
(2.46) |
(1−µ1 )(1− XC ) +µ2 (2 |
− XC ) = 0 . |
||||
Откуда |
|
|
|
|
|
µ2 = |
(1−µ1 )(XC |
−1) |
|
|
|
|
2 − XC |
|
, |
(2.47) |
|
1 ≤ XC ≤ 3/ 2, 0 ≤ µ1 ≤ 0,5, 0 ≤ µ2 ≤ 0,5, |
|
||||
µ2 = ( |
ˆ |
|
|
( |
ˆ |
|
XC −1 |
|
XC −1 |
||||
ˆ |
) |
−µ1 |
ˆ |
), |
||
|
2 − XC |
|
|
2 − XC |
|
|
что приводит к уравнению изопрайс в следующем виде:
ˆ |
+µ2 ), |
µ1 + 2µ2 = XC (µ1 |
откуда получаем выражение
ˆ −
µ2 = µ1 X−C ˆ 1 . 2 XC
(2.48)
(2.49)
(2.50)
Пусть функция свертки X = f ( X1, X2 ) дискретных пе-
ременных X1 и X2 задана в традиционном матричном виде
(рис. 2.9, 2.10):
123
X = |
|
|
|
xij |
|
|
|
,i, j |
1,hmax |
, |
(2.51) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где 1,hmax – универсальная целочисленная шкала переменных,
X1 = i, X2 = j, |
(2.52) |
||
X = f ( X1, X2 ) |
|
, |
(2.53) |
1,hmax |
|||
обычно являющаяся неотъемлемым атрибутом механизмов комплексного оценивания.
X1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
X11 |
X12 |
… |
X1i |
… |
X1hmax |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
X21 |
X22 |
… |
X2i |
… |
X2hmax |
|
|
|
|
|
|
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
|
|
|
|
|
|
i |
Xi1 |
Xi2 |
… |
Xij |
… |
Xihmax |
|
|
|
|
|
|
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
|
|
|
|
|
|
hmax |
Xhmax1 |
Xhmax 2 |
… |
Xhmax j |
… |
Xhmaxhmax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.9. Функция (матрица) свертки двух переменных в общем виде со шкалой 1, hmax
X1 = i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
X11 |
X12 |
X13 |
X14 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
X21 |
X22 |
X23 |
X24 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
X31 |
X32 |
X33 |
X34 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
X41 |
X42 |
X43 |
X44 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
X2 = j |
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.10. Матрица свертки двух переменных с наиболее распространенной шкалой hmax = 4
124
Процедуры нахождения минимальных (максимальных) значений функций принадлежности в данном выражении благодаря различным их сочетаниям разбивают подобласти определения функции свертки на более мелкие области с помощью границ:
1) µ1 =µ2 , что эквивалентно отношению 1−µ1 =1−µ2 ; эта линия (рис. 2.11, а) разбивает подобласть на два участка в соответствии с условиями: µ1 < µ2 и µ2 < µ1;
2) µ1 =1−µ2 , что эквивалентно отношению µ2 =1−µ1; эта линия (рис. 2.11, б) разбивает подобласть на два участка в соответствии с условиями: µ1 <1−µ2 и 1−µ2 <µ1.
Подведя итоги этой работе, можно выделить следующие характерные участки в подобласти определения функции свертки (рис. 2.11, в):
– линия (1,1), (2,2) равных значений функций принадлежности обоих нечетких аргументов
(µ1 = µ2 )& (1−µ1 =1−µ2 ); |
(2.54) |
– линия (1,2), (2,1) равных значений функции принадлежности одного нечеткого аргумента к дополнению функции принадлежности другого
(µ1 =1−µ2 )& (µ2 =1−µ1 ); |
(2.55) |
– область (1,1), 0, (1,2) |
|
(µ2 < µ1 )& (µ1 <1−µ2 ); |
(2.56) |
– область (1,1), 0, (2,1) |
|
(µ1 < µ2 )& (µ1 <1−µ2 ); |
(2.57) |
– область (1,2), 0, (2,2) |
|
(µ2 < µ1 )& (1−µ2 <µ1 ); |
(2.58) |
|
125 |
|
– область (2,1), 0, (2,2) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
(µ1 < µ2 )& (1−µ2 < µ1 ). |
(2.59) |
|||||||||
|
Принятую методику проиллюстрируем на тривиальном |
|||||||||||||
примере (2.35). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
(1.1) |
(2.1) |
|
(1.1) |
|
(2.1) |
||||||||
1−µ1 |
=1−µ2 |
|
µ1 |
<µ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
µ1 =µ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
µ1 <1−µ2 |
|||||
|
|
|
µ2 <µ1 |
|
|
µ1 |
=µ2 |
µ1 |
|
|
|
1−µ2 <µ1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
µ1 |
|
|
|
|
|
|
|
µ2 =1−µ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
µ2 (2.2) |
|
|
|
|
µ2 (2.2) |
||||||
|
(1.2) |
|
(1.2) |
|
||||||||||
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
(1.1) |
|
|
|
(2.1) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1−µ1 =1−µ2 |
|
|
|
µ1 < µ2, |
|
|
|
|
µ1 =1−µ2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
µ1 <1−µ2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
µ2 |
< µ1, |
0 |
µ1 < µ2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
µ1 |
<1−µ2 |
1−µ2 <µ1 |
|
|
|||||
|
|
|
µ2 =1−µ1 |
|
|
|
|
µ2 < µ1, |
|
|
|
|
µ1 = µ2 |
|
|
|
|
|
µ1 |
|
|
|
1−µ2 <µ1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
µ2 (2.2) |
|
|
||||
|
|
|
|
(1.2) |
|
|
|
|
|
|||||
в
Рис. 2.11. Разбиение подобласти определения функции свертки на области вариантов отношений между функциями принадлежности
µ1 и µ2
Подобласти определения вида (10)
По схеме рис. 2.12, а выражение (2.44) с учетом выражения (2.35) примет вид
X =1/ max (min ((1−µ1 ),(1−µ2 )),
(2.60)
min ((1−µ1 ),µ2 ),min (µ1,(1−µ2 )),min (µ1,µ2 )).
126
X1
|
|
|
1/ (1−µ1 ) |
fo (1,1) =1 |
fo (1, 2) =1 |
2 / µ1 |
fo (2,1) =1 |
fo (2, 2) =1 |
|
|
|
|
1/ (1−µ2 ) |
2 / µ2 |
X1 |
а |
|
|
|
|
1/ (1−µ1 ) |
f1(1,1) =1 |
f1(1, 2) =1 |
2 / µ1 |
f1(2,1) =1 |
f1(2, 2) = 2 |
|
|
|
|
1/ (1−µ2 ) |
2 / µ2 |
X1 |
б |
|
|
|
|
1/ (1−µ1 ) |
f2 (1,1) =1 |
f2 (1, 2) = 2 |
2 / µ1 |
f2 (2,1) =1 |
f2 (2, 2) = 2 |
|
|
|
|
1/ (1−µ2 ) |
2 / µ2 |
X1 |
в |
|
|
|
|
1/ (1−µ1 ) |
f3 (1,1) =1 |
f3 (1, 2) = 2 |
2 / µ1 |
f3 (2,1) = 2 |
f3 (2, 2) = 2 |
|
|
|
|
1/ (1−µ2 ) |
2 / µ2 |
X1 |
г |
|
|
|
|
1/ (1−µ1 ) |
f4 (1,1) =1 |
f4 (1, 2) = 2 |
2 / µ1 |
f4 (2,1) = 2 |
f4 (2, 2) = 2 |
|
|
|
|
1/ (1−µ2 ) |
2 / µ2 |
X1 |
д |
|
|
|
|
1/ (1−µ1 ) |
f5 (1,1) =1 |
f5 (1, 2) = 2 |
2 / µ1 |
f5 (2,1) = 2 |
f5 (2, 2) = 3 |
|
|
|
|
2 / (1−µ2 ) |
2 / µ2 |
е
Рис. 2.12. Описание типов подобластей определения функции свертки
X 2
X 2
X 2
X 2
X 2
X 2
127
а) Участок (2.54) преобразует выражение (2.60): |
|
|
|||||
X =1/ max ((1−µ1 ),(1−µ1 ),µ1µ1 ) =1/ max ((1−µ1 ),µ1 ), (2.61) |
|||||||
где целесообразнее выделить два отрезка: |
|
|
|
||||
(1.1) 0, где µ1 = µ2 <1−µ1, т.е. µ1 [0,1/ 2). В этом слу- |
|||||||
чае (рис. 2.13) |
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
X =1/ (1−µ1 ), µX =1−µ1; |
|
(2.62) |
||
1 |
|
|
0 (2.2), где µ1 = µ2 ≥1−µ1, т.е. |
||||
|
|
|
|||||
|
|
|
µ1 [1/ 2,1]. |
В этом |
случае |
(см. |
|
|
|
рис. 2.13) |
|
|
|
|
|
1/2 |
1 1 |
|
X |
=1/ µ1, µX |
= µ1. |
(2.63) |
|
|
|
Очевидно, что для этого уча- |
|||||
Рис. 2.13. Функция при- |
|
||||||
стка |
|
|
|
|
|||
надлежности X ( 1 ) на |
|
|
ЦТ(X ) =1. |
|
(2.64) |
||
участках (1.1) (2.2) и (1.2) |
|
б) Участок (2.55) преобразует |
|||||
(2.1) области определения |
|
||||||
выражение (2.60): |
|
|
|
||||
|
X =1/ max (min (µ2 ,µ1 ),µ2 ,µ1 ), |
|
|
(2.65) |
|||
где целесообразнее выделить два отрезка: |
|
|
|
||||
(1,2) 0, |
где µ1 >µ2 , |
µ1 (1/ 2,1], |
µ2 [0,1/ 2]. |
В этом |
|||
случае |
X =1/ µ1 =1/ (1−µ2 ), µX =µ1 =1−µ2 ; |
|
|
|
|||
|
|
|
(2.66) |
||||
0 (2,1), |
где µ1 < µ2 , |
|
µ1 (1/ 2,0], |
µ2 [1/ 2,1]. |
В |
этом |
|
случае |
X =1/ µ2 =1/ (1−µ1 ), µX =µ2 =1−µ1, |
|
|
|
|||
|
|
|
(2.67) |
||||
т.е. функция принадлежности результата на этом участке по- |
|||||||
добласти определения по форме совпадает с предыдущим |
|||||||
участком (см. рис. 2.13). |
|
|
|
|
|
|
|
128 |
|
|
|
|
|
|
|
в) Участок (2.72) преобразует выражение (2.76):
X =1/ max ((1−µ1 ),µ1,µ2 ) =1/ max ((1−µ1 ),µ1 ) . (2.68)
Этот участок характеризуется постоянством ЦТ(X ) =1
и снижением функции принадлежности к центру до значения 0,5. Полученный результат легко обобщается на оставшиеся участки в силу их симметричности.
Таким образом, исследование подобласти определения функции свертки «тривиального» типа привело к ожидаемому результату:
ЦТ(X ) =1 = const, |
(2.69) |
т.е. тождественно для значения функции на всей подобласти определения, и к не столь ожидаемому ее свойству, как к явлению снижения доверия к этому значению по мере удаления от точек (узлов) интерполяции по методу дефадзификации функции нечетких переменных.
Подобласть определения вида (11).
По схеме (рис. 2.12, б) выражение (2.44) с учетом выражения (2.41) примет вид
X =1/ max |
( |
min |
(( |
) ( |
|
)) |
,min |
(( |
−µ1 |
) |
,µ2 |
) |
, |
|||||
|
1−µ1 |
, 1−µ2 |
|
1 |
|
|
||||||||||||
min |
( |
µ1 |
( |
))) |
+ 2/ min |
( |
µ1,µ2 |
) |
. |
|
|
|
(2.70) |
|||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
, 1−µ2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
а) Участок (2.54) преобразует выражение (2.44), полагая |
||||||||||||||||||
µ1 = µ2 = µ, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X =1/ max((1−µ),min ((1−µ1 ),µ)+ 2/ µ, |
|
(2.71) |
||||||||||||||||
где целесообразнее выделить два отрезка – |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
[(1,1),0], где µ <1−µ, µ [0,1/ 2). |
|
|
|
(2.72) |
|||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X =1/ max((1−µ),µ)) + 2/ µ =1/(1−µ) + 2/ µ, |
(2.73) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
129 |
ЦТ(X ) = 1−µ+ 2µ |
=1+µ; |
(2.74) |
|
|
1 |
|
|
[0, (2,2)], где µ ≥1−µ, µ [1/ 2,1). |
(2.75) |
||
Тогда |
|
|
|
X |
=1/(1−µ) + 2/ µ, |
(2.76) |
|
что касается выражениям (2.73), (2.74), см. рис. 2.14. |
|||
ЦТ(X ) |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
1/ 2 |
1 |
|
|
|
|
|
Рис. 2.14. Центр тяжести функции свертки |
|||
на участке главной диагонали (1,1) (2,2) |
|
||
б) участок (2.55) преобразует выражение (2.70): где целесообразнее выделить два отрезка –
(1,2) 0, где µ1 >µ2 , тогда
X |
=1/ µ1 + 2/ µ2 , µ1 (1/ 2,1], µ2 [0,1/ 2), |
(2.77) |
ЦТ(X ) = µ1 +2µ2 =1+µ2 / (µ1 +µ2 ) =1+µ2 , |
(2.78) |
|
|
µ1 +µ2 |
|
0 (2,1), гдеµ1 < µ2 , тогда |
|
|
X |
=1/ µ2 + 2/ µ1, µ1 [0,1/ 2], µ2 [1/ 2,1], |
(2.79) |
|
ЦТ(X ) = µ2 +2µ1 =1+µ1, |
(2.96) |
|
µ1 +µ2 |
|
130