Интеллектуальные технологии обоснования инновационных решений
..pdf
XС = 2
XС =1,9
XС =1,8
XС =1,7
XС =1,6
XС =1,5
XС =1,4
XС =1,3
XС =1,2
XС =1,1 |
|
|
|
|
|
XС =1 |
0,5(1,5) |
0(1) |
|||
1(2) |
|||||
|
2 |
|
X2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
XС = 2
1(2)
0,5(1,5)
1 X1
Рис. 2.22. Изопрайсы XС функции свертки f3 переменных X1 и X 2
Подобласть определения вида (14)
По схеме (см. рис. 2.12, д) выражение (2.44) с учетом выражения (2.39) примет вид
X =1/ max ((1−µ1 ),(1−µ2 ))+
+ 2 / max (min ((1−µ1 ),µ2 ),min (µ1,(1−µ2 )),min (µ1,µ2 )).(2.135)
141
Благодаря симметричности области определения АBEF |
||||||
относительно оси AF (рис. 2.23) для анализа изопрайс функ- |
||||||
ции свертки |
f4 в ней целесообразно выделить четыре подоб- |
|||||
ласти: |
|
|
|
GO ( 2 = 0,5) |
|
|
– область АВО, разделяемая прямой |
на |
|||||
подобласти AGO и GBO; |
|
|
|
|
||
– область OBF, |
разделяемая прямой ОD ( 1 = 0,5) |
на |
||||
подобласти BDО и DFO. |
|
|
|
|
||
А f4 =1 |
G |
|
|
f4 =2 В |
|
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
0,4 |
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
О |
|
D |
|
0,6 |
|
|
|
|
|
|
0,8 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 F |
|
Е |
0,2 |
0,4 Н |
0,6 |
0,8 |
|
|
|
f4 =2 |
|
|
|
f4 =2 |
|
Рис. 2.23. Проекции линий изопрайс f4 на область определения
На первом этапе анализа проведем исследование «каркаса» геометрической фигуры (см. рис. 2.23) – носителя изопрайс, считая линии BF и EF простыми, соединяющими вершины одного уровня, т.е. AF, BE, OH, OC.
142
Линия AF характеризуется отношением |
|
||||
µ1 = µ2 = µ. |
|
(2.136) |
|||
Тогда для µ < 0,5 |
|
|
|
|
|
X =1/(1−µ) + 2/ max(µ,µ,µ) =1/(1−µ) + 2/ µ, |
(2.137) |
||||
а для µ > 0,5 |
|
|
|
|
|
X =1/(1−µ) + 2/ max((1−µ),(1−µ),µ) =1/(1−µ) + 2/ µ, |
(2.138) |
||||
что говорит о пропорциональной зависимости XС (µ). |
|
||||
Линия ВЕ характеризуется отношением |
|
||||
µ1 =1−µ2 , µ2 =1−µ, |
(2.139) |
||||
откуда для µ1 [0,5 ,1], µ2 [0, 0.5] (ОЕ) – |
|
||||
X =1/ (1−µ1 ) + 2 / max ((1−µ1 ),µ1,µ2 ) = |
(2.140) |
||||
=1/ (1−µ1 ) + 2 / µ1, |
|||||
|
|||||
что повторяет промежуточный результат, |
|
||||
а для µ1 [0, 0.5], µ2 [0.5, 1] |
|
||||
X =1/ (1−µ2 ) + 2/ µ2. |
(2.141) |
||||
Линия ОН характеризуется отношениями: |
|
||||
µ1 [0.5, 1], |
(2.142) |
||||
µ2 = 0,5 =1−µ2 , |
(2.143) |
||||
откуда следует значение свертки f4 |
|
||||
X =1/ (1−µ1 ) + 2/ 0,5 |
(2.144) |
||||
и уравнение проекций изопрайс – |
|
||||
|
= |
2 −µ1 |
(2.145) |
||
XС |
|
, |
|||
1,5 −µ1 |
|||||
|
|
|
|
143 |
|
или |
|
|
µ1 |
=1,5XС −2 . |
(2.146) |
|
XС −1 |
|
Линия ОС характеризуется отношениями: |
|
|
µ1 = 0.5 =1−µ1 |
(2.147) |
|
µ2 [0, 0.5], |
(2.148) |
|
откуда |
|
|
X =1/ 0,5 + 2 / 0,5. |
(2.149) |
|
Из выражения (2.149) следует горизонтальность изо- |
||
прайсы и становится понятной геометрическая интерпрета- |
||
ция подобласти определения функции свертки |
f4 (рис. 2.24). |
|
XС =2 |
XС =2 |
|
|
|
XС =1,8 |
|
|
XС =1,6 |
|
|
XС =1,4 |
XС =2 |
|
XС =1,2 |
|
XС =1,0 |
|
XС =1,9 |
|
|
XС =1,7 |
|
11(2) |
|
|
|
XС =1,5 |
|
|
XС =1,3 |
|
|
0,5(1/5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
X1 |
|
XС =1,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1(2) |
0,5(1,5) |
0(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
X2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.24. Изопрайсы XС |
функции свертки |
f4 |
|||
|
переменных X1 и X 2 |
|
|
||
144
Подобласть определения вида (15)
По схеме (см. рис. 2.12, е) выражение (2.44) с учетом выражения (2.40) примет вид
X =1/ min ((1−µ1 ),(1−µ2 ))+
+ 2/ max (min (1−µ1 ),µ2 ),min (µ1,(1−µ2 ))+ (2.150) + 3/ min (µ1,µ2 ).
Исследуем «каркас» функции свертки f5 с целью уста-
новления проекций изопрайс этой функции согласно области определения (рис. 2.25).
f5 =1 |
G |
f |
5 |
= 2 |
B |
А |
|
|
0,2
0,4 |
|
|
|
|
|
С |
|
|
O |
|
Д |
0,6 |
|
|
|
|
|
0,8 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Е |
0,2 |
0,4 |
И 0,6 |
0,8 |
F |
f5 = 2 |
|
2 |
|||
|
|
|
|
f5 = 3 |
Рис. 2.25. Проекции линий изопрайс f5 на область определения
Изопрайсы XС свертки f5 ( X1 , X2 ) представлены на рис. 2.26.
145
|
XС =3 |
|
XС = 2,8 |
|
XС = 2,6 |
|
XС = 2,4 |
|
XС = 2,2 |
|
XС = 2,0 |
|
XС =1,8 |
|
XС =1,6 |
|
XС =1,4 |
XС = 2 |
XС =1,2 |
XС =1,0
|
|
|
|
|
|
0,5(1,5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
С |
=1 |
|
|
|
0(1) XС =1 |
|
|
|
1(2) |
0,5(1,5) |
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
X2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.26. Изопрайсы XС свертки f5 двух переменных |
||||||||
|
|
|
|
|
X1 и X 2 |
|
|
|
Линия |
AF, |
для |
которой |
справедливо |
отношение |
|||
1 = 2 = , |
имеет упрощенное описание для случая ≤ 0,5: |
|||||||
146
X =1/(1−µ) + 2/ µ+3/ µ, |
(2.151) |
|||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
XС = 1+4µ, XС [1, 2] |
(2.152) |
|||||
|
1+µ |
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
µ = |
XС −1 |
, |
|
(2.153) |
|
|
|
4 − XС |
|
|||
а для случая µ ≥ 0,5 |
|
|
|
|
|
|
X =1/(1−µ) + 2/(1−µ) +3/ µ, |
(2.154) |
|||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
XС |
= |
|
, |
|
(2.155) |
|
2 −µ |
|||||
|
µ = |
2XС −3. |
(2.156) |
|||
|
|
|
XС |
|
||
Линия ЕВ, для которой соотношение условий меняется: |
||||||
µ1 =1−µ2 , µ2 =1−µ1, имеет описание для случая |
µ1 < µ2 |
|||||
(линия ОВ): |
|
|
|
|
|
|
X =1/ (1−µ2 ) + 2/ µ2 +3/ (1−µ2 ), |
(2.157) |
|||||
|
XC = 2. |
(2.158) |
||||
Линия OG характеризуется отношениями: |
|
|||||
|
µ = 0,5, |
µ1 [0, 0.5]. |
(2.159) |
|||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
X |
=1/ 0,5 + 2/ 0,5 +3/ µ1, |
(2.160) |
||||
XС |
= 1,5 +3µ1 , XС [1.5, 2], |
(2.161) |
||||
|
1+µ1 |
|
|
|
|
|
|
µ1 = |
XС −1,5 |
. |
(2.162) |
||
|
|
3 − XС |
|
|||
|
|
|
|
|
|
147 |
Для случая µ2 [0.5, 1], µ1 = 0,5 (линия ОД): |
|
|
X =1/ (1−µ2 ) + 2/ 0,5 +3/ 0,5, |
(2.163) |
|
XС = |
3,5 −µ2 , XС [2, 2.5], |
(2.164) |
|
2 −µ2 |
|
|
µ2 = 2XС −3,5. |
(2.165) |
|
XС −1 |
|
В заключение исследования функции свертки нечетких переменных построим процедуру вычисления значений этой функции для более общего случая, предусматривающего допустимость наполнения матрицы свертки нечеткими данными искомой функции в узлах, соответствующих целочисленным сочетаниям аргументов.
С целью уменьшения громоздкости вывода введем следующие формализмы.
Произвольные значения нечетких аргументов в дефази-
фицированной |
форме обозначим |
как |
X1 = A1, |
B1, X2 = |
|
= A2 , |
B2 , где |
A1, A2 [1, 4] – |
целые |
части |
значений, |
а B1, |
B2 (0, 1) |
– дробные части. Тогда нечеткие аргументы |
|||
свертки в фазифицированной форме с учетом принятой модели нечеткого числа примут вид:
X1 = A1 / (1− B1 ) +( A1 +1)/ B1,
X2 = A2 / (1− B2 ) +( A2 +1)/ B2.
Аналогичным образом представим нечеткие значения свертки в узлах матрицы в дефазифицированной и фазифицированной формах, соответственно:
X11 = X11 ( A1, A2 ) = A11, B11 ,
X11 = A11 / (1− B11 ) +( A11 +1)/ B11,
148
X12 = X12 (A1, ( A2 +1)) = A12 , B12 ,
X12 = A12 / (1− B12 ) +( A12 +1)/ B12 ,
X21 = X21 (( A1 +1), A2 ) = A21, B21,
X21 = A21 / (1− B21 ) +( A21 +1)/ B21,
X22 = X22 (( A1 +1), ( A2 +1)) = A22 , B22 ,
X22 = A22 / (1− B22 ) +( A22 +1)/ B22.
В соответствии с выражением (1.2) поэтапно строим процедуру свертки, опуская лишь заключительную функцию sup , аргументы которой выясняются при контекстных об-
стоятельствах:
X = X11 / min ((1− B1 ), (1− B2 ))+
+X12 / min ((1− B1 ), B2 )+ X21 / min (B1, (1− B2 ))+
+X22 / min (B1, B2 ) =
=A11 / min ((1− B11 ), (1− B1 ), (1− B2 ))+
+ ( A11 +1)/ min (B11, (1− B1 ), (1− B2 ))+ |
|
+A12 / min ((1− B12 ), (1− B1 ), B2 )+ |
(2.166) |
+ ( A12 +1)/ min (B12 , (1− B1 ), B2 )+ + A21 / min ((1− B21 ), B1, (1− B2 ))+ + ( A21 +1)/ min (B21, B1, (1− B2 ))+ +A22 / min ((1− B22 ), B1, B2 )+
+ ( A22 +1)/ min (B22 , B1, B2 ).
Полученное выражение дефазифицируется обычным образом. Его справедливость подтверждена совпадением топологий матрицы, полученной в ходе вычисления транзитивного замыкания, и выявленной при этом матрицы, но уже в со-
149
ответствии с новой процедурой, обслуживающей свертки с нечетким наполнением (рис. 2.27, 2.28). Некоторые расхождения обусловлены погрешностью вычислений транзитивного замыкания, зависящей от шага дискретности используемого в нем табличного метода.
Рис. 2.27. Топология матрицы транзитивного замыкания с нечетким наполнением
Рис. 2.28. Топология матрицы (см. рис. 2.30), вычисленная по выражению (2.182)
150