Промышленные роботы Ч. 2 учебное пособие

По результатам исследования были построены график зависимости деформации от возмущающей силы (рис. 4.30) и график зависимости деформации от натяжения зубчатого ремня (рис. 4.31).

На этих графиках видно, что с возрастанием возмущающей силы существенно увеличиваются деформации звеньев манипулятора, а следовательно, их жесткость уменьшается.

Таким образом, вычисляем жесткость звеньев манипулятора по формуле:

звеньев в начальный момент времени.

4.7. Математическая модель промышленного робота

Построение математической модели промышленного робота рассмотрим на примере робота типа PUMA-560 с минимальной конфигурацией (рис. 4.32).

Понятие «робот с минимальной конфигурацией» означает, что будут рассматриваться три первые звена робота, которые определяют положение схвата манипулятора в пространстве. Иначе говоря, не будут рассматриваться последние три ступени подвижности, которые определяют ориентацию схвата.

141

Для манипуляционного робота типа PUMA-560, все сочленения которого вращательные, параметры di и ai являются конструктивными параметрами

сочленений. Параметр qi (обощенные координаты) является переменной величиной.

Для получения однородной матрицы T04 , определяющей положение схвата манипулятора в пространстве, необходимо выполнить (в соответствии с форма-

В данной матрице нас интересует 4-й столбец, являющийся вектором положения схвата рассматриваемого манипулятора, координаты которого имеют вид:

выходных координат системы и в дальнейшем используется при линеаризации уравнений динамики манипулятора.

4.7.2.Математическая модель динамики ПР типа PUMA-560

вформе уравнения Лагранжа – Эйлера

Рассмотрим робот с n кинематическими парами, не имеющий избыточных степеней подвижности, у которого n-мерный вектор моментов t(t) в кинематических парах связан с n-мерным вектором Q(t) углов поворота в шарнирах нелинейным динамическим уравнением движения:

k 1 m 1

G(Q) – n-мерный вектор гравитационной нагрузки.

143

Уравнение (4.80) описывает динамику манипулятора в форме Лагранжа – Эйлера. Для приведения нелинейных дифференциальных уравнений (4.80) к специальному виду введем обозначение:

где Р – положение рабочей точки (точки Р) в пространстве; g – функция линеа-

Уравнение (4.83) в дальнейшем будет использовано при получении нелинейного уравнения специального вида.

Задача управления манипулятором заключается в создании такой системы управления, которая обеспечивает отслеживание вектором Q(t) углов поворота в шарнирах любой заданной (опорной) траектории Qr (t). Qr(t) – n-мерный век- тор-столбец произвольных функций времени. Целесообразно допустить, что эти функции имеют производные первого и второго порядков, т.е. требуемые угловая скорость r (t) и угловое ускорение r (t) существуют и доступны непосредственно, без необходимости операции дифференцирования Qr (t). Желательно также, чтобы система управления манипулятором обеспечивала отслеживание траектории независимо от массы груза m, т.е. чтобы динамические характеристики манипулятора были нечувствительны к величине полезной нагрузки.

4.7.3. Линеаризация математической модели динамики промышленного робота типа PUMA-560

Линеаризация математической модели динамики робота на основе разложения в ряд Тейлора. Аппроксимируем нелинейную математическую модель динамической системы (4.80) на временном интервале ti< t < ti + t путем разложения в ряд Тейлора в окрестности номинальной операционной (рабочей) точки Р линейной инвариантной по времени многомерной моделью

Aq(t) Bq(t) Cq(t) T (t), (4.84)

где q(t) и T(t) – отклонения векторов углов поворота и моментов в шарнирах от своих номинальных значений Q(ti) и t(ti) в рабочей точке P={t(ti),Q(t),Q(ti)},

144

Три матрицы А, В, С размерностью n n, входящие в линеаризованную модель (4.84), зависят от положения рабочей точки Р и могут быть получены из выражений:

где Н – сила Кориолиса.

Матрица А всегда симметричная, положительно определенная и, следовательно, не вырожденная. Уравнение (4.84) представляет собой систему связанных линейных, не зависящих от времени дифференциальных уравнений, описывающих динамику робота в приращениях при наличии возмущений в окрестности номинальной операционной точки Р.

Возможны два варианта представления линеаризованной модели робота (4.84), а именно: модель в пространстве состояния, т.е. во временной области, и модель в области комплексной переменной, т.е. в частотной области.

Для составления модели робота в пространстве состояний определяют

ность 2n 1, все векторы рассматриваются во временной области.

Модель робота в частотной области составляют с помощью преобразования Лапласа из уравнений (4.84), в результате чего получается:

где T(s) и q(s) – n-мерные векторы входа и выхода системы в частотной области; W (s) – передаточная функция; s – перемещение.

Приведение уравнений динамики робота в форме Лагранжа – Эйлера к специальному виду. Для получения нелинейного дифференциального уравнения специальноговидавведемследующиеобозначениядляобобщенныхкоординат:

xi qi , xn i qi ,

вектор (x1, x2, …, x2n) обозначается X, вектор (x1, x2, …, xn) обозначается X , векторы коэффициентов нелинейности обозначаются i . Уравнение (4.80) можно

представить в стандартной форме специального вида, если учесть ранее введенные обозначения:

145

Таким образом получено векторно-матричное уравнение (4.91), на основе которого будет осуществлена линеаризация динамической модели манипулятора с применением диффеоморфного преобразования координат и нелинейной обратной связи по состоянию.

Линеаризация математической модели динамики робота на основе диффеоморфного преобразования координат и нелинейной обратной связи по состоянию. Для линеаризации динамической модели промышленного робо-

и диффеоморфное преобразование T(x), такое, что после осуществления нелинейной обратной связи и диффеоморфного преобразования координат новая (преобразованная) система является линейной в Бруновской канонической форме с развязанным выходом.

В выражении (4.92) U(x) – вектор управляющих воздействий, приложенных к манипулятору робота; а(х) – векторная функция; b(х) – неособая матрица; V – вектор входных воздействий системы.

Нелинейная обратная связь может быть представлена в следующем виде:

146

Jh – матрица Якоби функции; Jh–1 – матрица, обратная матрице Якоби; dJh – матрица, определяемая согласно выражениям:

Частные производные hx и fx являются матрицами Якоби.

С использованием приведенной выше нелинейной обратной связи по состоянию и диффеоморфного преобразования динамическая модель манипулятора представляется в Бруновской канонической форме с декомпозицией по выходным переменным:

где z – вектор состояния в преобразованной системе координат размерностью 6 1; А – блочно-диагональная матрица размерностью 6 6, характеризующая декомпозицию состояний звеньев преобразованной модели робота; В – блочнодиагональная матрица размерностью 6 3, отражающая декомпозицию управ-

147

ляющих воздействий на звенья преобразованной модели робота; С – блочнодиагональная матрица размерностью 3 6, определяющая декомпозицию выходных координат шарниров преобразованной модели робота;

Данная линейная система с развязанным выходом показана схематически как блок BCLS (Бруновская каноническая линейная система) на рис. 4.33.

Рис. 4.33. Бруновская каноническая линейная система

Линеаризация, осуществляемая нелинейной обратной связью, является «внешней» линеаризацией в отличие от обычной «внутренней» (разложение в ряд Тейлора). Нелинейный характер исходной системы не меняется. Линеаризацию системы нелинейной обратной связью можно назвать точной линеариза-

148

цией в смысле управления. Точная общая линеаризация системы и развязка выхода, осуществленные нелинейной обратной связью по состоянию и диффеоморфным преобразованием координат, создают линейную систему. Полученная система является неустойчивой, так как каждая линейная подсистема имеет кратные нулевые полюса. Следовательно, необходимо провести стабилизацию полученной линейной системы.

В результате проведенной линеаризации динамической модели робота с помощью нелинейной обратной связи по состоянию и диффеоморфного преобразования координат получена линеаризованная математическая модель с декомпозицией состояния по сочленениям и с развязанным выходом манипулятора. На основе полученной математической модели можно синтезировать алгоритмы оптимального управления манипулятором робота хорошо разработанными линейными методами.

4.7.4. Синтез алгоритмов управления промышленным роботом типа PUMA-560 минимальной конфигурации

Синтез алгоритмов многомерной системы управления промышленным роботом – многомерного регулятора с комбинированным управлени-

ем. Синтез системы управления (рис. 4.34) движением в кинематических парах основан на концепции так называемых обратных систем.

Рассмотрим линейную, не зависящую от времени многомерную установку

где U и у – m-мерные векторы-столбцы входа и выхода; W(s) – ее передаточная функция в виде матрицы размерностью 4 4.

Обратным отображением (инверсией) объекта регулирования является ди-

на вход которой подается требуемый выходной сигнал yd (t) объекта, инверсный регулятор будет генерировать соответствующее управляющее воздействие, обеспечивая на выходе установки воспроизведение сигнала у(t), так как по определению произведение передаточной функции объекта W(S) и ее инверсии Q(S) есть единичная матрица In:

149

Данная концепция может быть использована для управления нелинейными объектами, в частности роботами. В случае небольших отклонений параметров объекта в окрестности рабочей точки Р нелинейная установка апроксимируется квазилинейной инвариантной по времени моделью Wi(s) на малом временном интервале ti > t > ti + t. В этом интервале времени инверсия Qi(s) используется в качестве регулятора прямого канала (ПК) управления для генерирования управляющего воздействия UПК(t). Затем коэффициенты усиления регулятора прямого канала управления обновляются (настраиваются) таким образом, чтобы компенсировать изменения во времени коэффициентов линеаризованной модели Wi(s), обусловленные изменениями положения рабочей точки Р. Когда регулятор прямого канала управления является точной инверсией объекта управления, ошибка отслеживания e(t) = yd(t)–y(t), представляющая собой разность между выходом системы (yd) и входом регулятора (у), будет равна нулю. Следовательно, представляется логичным рассматривать ошибку отслеживания е(t) как меру отклонения регулятора прямого канала управления от точной инверсии объекта. Эта информация используется для настройки параметров регулятора прямого канала управления, причем настройка ведется таким образом, чтобы поведение регулятора было точной инверсией поведения объекта управления, что обеспечивает качественное отслеживание заданной траектории yd(t).

Рис. 4.34. Структура системы управления

Кроме того, для повышения устойчивости замкнутой системы управления и улучшения качества переходных процессов используется регулятор Ki(s) цепи обратной связи (ОС), генерирующий для объекта управления управляющий сигнал UOC(t) в рабочей точке Р. Коэффициенты цепи обратной связи также постоянно настраиваются в соответствии с ошибкой е(t) для компенсации измене-

150