Промышленные роботы Ч. 2 учебное пособие

n

Fs rs

0,

(4.43)

s 1

где П – приращение потенциальной энергии,

q

q

q ;

q

1

q

2

q

3

rs приращение перемещений,

1

2

3

r

rs

q

rs

q

rs

q .

q

q

s

1

2

q

3

1

2

3

Приравнивая к нулю коэффициенты при независимых вариациях q1 , q2

и q3 , получаем три уравнения:

n

rs

Fs

Q1* ,

q1

q1

s 1

n

rs

Fs

Q2*,

(4.44)

q2

q2

s 1

n

rs

Fs

Q3*,

q3

q3

s 1

где Q* , Q*

и Q* обобщенные силы для системы сил F ,

F ,…, F , уравнове-

1 2

3

1

2

n

q1 , q2 и q3

в положении равновесия:

*

,

C11q1 C12q2 C13q3 Q1

C21q1

C22q2

C23q3

Q2* ,

(4.45)

C q

C q

C q

Q*

,

31

1

32

2

33

3

3

причем C12

C21 , C23 C32 и C13

C31 .

*

*

*

q1 11Q1

12Q2 13Q3 ,

q2

21Q1* 22Q2* 23Q3* ,

(4.46)

q

Q*

32

Q*

Q* ,

3

31

1

2

33

3

C

22

C C2

C C

C C

33

;

C C

23

C C

23

;

33

23 ;

13 32

12

12

13

11

12

13

21

C C C C

22

C C C2

23

C C

21

C C

23

23

31

21

33

;

11 33

13 ;

13

11

;

(4.47)

31

C C C C

;

32

C C C C

32

;

33

C C

C2

;

21

32

31

22

12 31

11

11

22

12

1

.

C C

C C C C C C

22

C C C2 C2

C

33

C

22

C2

11

22

33

21

32

13

31

12

11

23

12

13

манипулятора) совпадает с точкой приложения сосредоточенной массы m.

Сила Q* действует на все звенья манипулятора, следовательно:

Q* Q* Q* Q*.

(4.49)

1

2

3

*

,

C11q1 0 q2 0 q3 Q

0 q1

C22q2 0 q3 Q* ,

(4.50)

0

q 0 q C q Q*.

1

2

33

3

Такимобразом, C12 C21 C23

C32 C13

C31 0. Используя(4.47), находим:

1

;

0;

0;

11

C11

12

13

21

0;

22

1

;

23

0;

(4.51)

C22

31

0;

32

0;

33

1

.

C33

Коэффициенты 11 , 22

и 33 определяют податливость звеньев манипу-

лятора по координатам q1 , q2

и q3 соответственно. Выражая податливость зве-

ньев через их жесткость, запишем:

1

;

1

;

1

,

(4.52)

22

33

11

C1

C2

C3

где C1 , C2 и C3 – жесткостизвеньевпокоординатам q1 , q2 и q3

соответственно.

Подставляя (4.52), (4.49) и (4.48) в формулы (4.46), получим:

q

1

mq q ,

1

C1

q

1

mq q ,

(4.53)

2

C2

q

1

mq q .

3

C3

q q1 q2

q3

,

(4.54)

q q1 q2 q3.

нечном итоге определить положение

массы m, координаты

которой

q q1 q2 q3 , достаточно сложить уравнения в системе (4.53):

q C1 C2

C3

mq q

(4.55)

C C

C

3

1

2

или

q

1

mq q ,

(4.56)

C

цесс в системе:

m q

q q 0.

(4.57)

C

C

Уравнение (4.57) легко решается классическим способом при следующих

начальных условиях:

q0 0, q0 v0 ,

(4.58)

нение второго порядка. Будем искать частное решение уравнения:

q(t) C*ek1x

C*ek2x ,

(4.59)

1

2

где

C*

и C* произвольные постоянные,

которые могут быть определены из

1

2

начальных условий при t = 0; k1

и k2 корни характеристического уравнения

m k2

k 1 0 .

(4.60)

C

C

Решение уравнения (4.60) будет иметь вид

2

m

4

C

C

k

C

.

(4.61)

2 m

1,2

C

Определим произвольные постоянные C*

и C* , решая систему уравнений:

1

2

q(0)

C1* C2* ,

(4.62)

q(0) k1C1* k2C2*.

Решение системы (4.62) будет иметь вид

*

q(0) k2q(0)

C1

,

k1 k2

(4.63)

C*

y(0) C*;

2

1

2

4

m

где

реальная часть;

C

C

мнимая часть.

2m

m

2 C

Тогда разделяя реальную и мнимую части в (4.65), получим:

2

m

2

m

4

C

4

C

C

t

C

t

2m

2m

v0

t

q(t)

e

2m

e

C

e

C

.

(4.66)

C

2

m

4

m

C

C

2

4

m

q(t)

v0

e

t sin

C

C

t.

2m

(4.69)

m

2 m

C

2

4

C

2m

C

C

Прологарифмируем выражение (4.69), предварительно подставив в него

значение допустимой погрешности позиционирования:

2

m

4

C

ln ln v

ln

C

t ,

(4.70)

0

m

2m

2 C

где допустимая погрешность позиционирования.

Преобразуя (4.70), получим выражение для определения времени переход-

ного процесса:

2

m