Математические модели движения транспортных средств

ным для назначения режимов его движения, уменьшающих вероятность аварийных ситуаций.

Вопросы для самоконтроля

1.От каких факторов зависит сила сопротивления воздуха и как она вычисляется? С помощью каких средств можно уменьшить ее значение?

2.От чего зависит и как определяется скорость автомобиля?

3.Как называются и от чего зависят составляющие реакции дороги на колесо? Как определяются их предельные значения?

4.По каким формулам вычисляют предельные моменты ведущего и тормозящего колес?

5.От каких факторов зависит КПД трансмиссии и в каких пределах находятся его значения?

6.Что называют центром парусности автомобиля и от чего он зависит?

7.Как оценивают фактор обтекаемости автомобиля?

8.Какие слагаемые входят в уравнение прямолинейного движения автомобиля? Каков их физический смысл?

9. Каков физический смысл приведенной массы автомобиля

икоэффициента приведенной массы?

10.От каких параметров автомобиля зависит коэффициент приведенной массы и на что он влияет?

11.Какие дополнительные силы действуют на автомобиль, транспортирующий емкость, не полностью заполненную жидкостью, по прямой?

12.Какие дополнительные силы действуют на автомобиль, транспортирующий емкость, не полностью заполненную жидкостью, по повороту?

13.Как зависит тормозной путь автомобиля, транспортирующего бак с жидкостью, от коэффициента заполнения бака?

81

6. МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ТРАНСПОРТНЫХ СРЕДСТВ НА МИКРОУРОВНЕ

6.1. Основы построения математических моделей на микроуровне

Для построения математических моделей технических объектов с распределенными параметрами используют фундаментальные физические законы. К ним относятся прежде всего законы сохранения (массы, энергии, количества движения).

Общая формулировка закона сохранения: изменение во времени некоторой субстанции в элементарном объеме равно сумме прито- ка-стока этой субстанции через его поверхность с учетом скорости генерации или уничтожения субстанции в этом объеме.

Уравнение, соответствующее данной формулировке, имеет вид

где ϕ – фазовая переменная (координата), выражающая субстанцию; JG – вектор плотности потока фазовой переменной; div JG – дивергенция вектора JG; G – скорость генерации или уничтожения субстанции.

У трехмерного технического объекта вектор JG состоит из трех составляющих, направленных параллельно осям декартовой системы координат х, у, z. Дивергенция вектора J – скалярная величина, определяемая выражением

Дивергенция вектора плотности потока характеризует сумму притока-стока субстанции через поверхность элементарного объема. В качестве субстанции в различных физических законах выступают: масса, энергия, импульс и др.

82

vG – вектор скорости переноса массы.

Уравнение (6.3) в гидроаэродинамике называют уравнением не-

разрывности.

В одномерном случае, когда скорость направлена лишь вдоль

уравнения неразрывности (6.5) следует частный случай стационарного ( ∂ρ∂t = 0 ) одномерного течения по оси x в канале переменного сечения:

∂(∂ρxu) = 0, откуда ρu = const = Gf ,

где G, кг/c – массовый секундный расход в канале площадью поперечного сечения f. Из последнего уравнения следует постоянство расхода при стационарном течении в канале:

ρu f =G = const ,

а при течении несжимаемой среды (ρ = const) следует обратно пропорциональная зависимость между скоростью течения и площадью поперечного сечения канала: скорость возрастает в сужающихся и падает в расширяющихся участках канала.

Уравнение закона сохранения энергии

где Е = е + v2/2 – полная энергия единицы массы; е – внутренняя энергия единицы массы; ρЕ – энергия единицы объема Дж/м3; JE –

вектор плотности потока энергии; GЕ – скорость генерации или поглощения энергии в единице объема, Дж/(м3·с).

В одномерном случае поток энергии направлен только вдоль оси х, тогда JE = JEx, а уравнение (6.6) принимает вид

Плотность потока энергии измеряется в Вт/м2.

Уравнение закона сохранения импульса используют при модели-

ровании движения потока жидкости (газа). Для потока идеальной жидкости (без учета сил трения, обусловленных вязкостью) уравне-

где ρvG – вектор импульса единицы объема жидкости; р – давление

жидкости; grad р – градиент давления.

Градиентом называют векторную функцию скалярного аргумента. Компонентами вектора градиента являются частные производные аргумента по пространственным координатам. Градиент давления

grad p =(∂p∂x, ∂p ∂y, ∂p ∂z ) .

Для одномерного потока жидкости из уравнения (6.8) получаем

где g – ускорение свободного падения; η – динамическая вязкость Па·с; 2 – оператор Лапласа, 2 = ∂2 ∂x2 +∂2 ∂y2 +∂2 ∂z2 .

84

Уравнение (6.10) называют уравнением Навье–Стокса. Для одномерного потока жидкости, движущейся в направлении оси x при поперечной силе трения (vx = vx(y)), это уравнение имеет вид

где gx – проекция вектора g на ось x.

6.2. Моделирование тепловых систем

Процесс переноса тепловой энергии (теплоты) в пространстве с неоднородным полем температуры называется теплообменом. Теплообмен может осуществляться теплопроводностью, конвекцией и тепловым излучением.

Температурным полем называется совокупность значений температуры для всех точек пространства в данный момент времени. Температурное поле скалярное, так как температура – скалярная величина. Если температура Т является функцией только пространственных координат Т(х, у, z), то процесс теплообмена стационарный и температурное поле стационарное. Если температура изменяется во времени, то процесс теплообмена и температурное поле нестационарные.

Соединив точки теплотехнического объекта, имеющие одинаковую температуру, получим поверхность равных температур, называемую изотермической.

При проектировании теплотехнических объектов на микроуровне используют уравнение теплопроводности, связывающее изменение температуры во времени и пространстве со свойствами среды. Это уравнение позволяет выполнять анализ температурных полей в твердых телах – деталях машин.

Уравнение теплопроводности является частным случаем закона сохранения энергии. Применительно к тепловой системе закон сохранения энергии можно сформулировать так: изменение во времени количества тепловой энергии в элементарном объеме равно сумме

85

притока-стока энергии через его поверхность с учетом выделения энергии в том же объеме в единицу времени внутренними источниками (или поглощения энергии стоками).

По аналогии с уравнением (6.8) можно записать

где Q – количество тепловой энергии в единице объема, Дж/м3; qG –

вектор плотности теплового потока, Вт/м2; GQ – количество тепловой энергии, выделяемой в единицу времени в рассматриваемом элементарном объеме, Вт/м3.

Выделение (или поглощение) тепловой энергии внутри тела может происходить из-за объемных химических реакций, прохождения электрического тока, фазовых превращений материала при изменении температуры и т.п. Величина GQ характеризует мощность внутренних источников (или стоков) теплоты.

Изменение количества тепловой энергии в единице объема dQ пропорционально изменению температуры dT:

где c – удельная теплоемкость материала теплотехнического объекта, Дж/(кг·К); ρ – плотность материала. Уравнение (6.12) называется

уравнением переноса тепловой энергии.

Если плотность теплового потока qG подчиняется закону тепло-

проводности (закон Фурье), то уравнение переноса тепловой энергии переходит в уравнение теплопроводности. В соответствии с законом Фурье плотность теплового потока пропорциональна градиенту температуры:

где λ – коэффициент теплопроводности материала, Вт/(м·К); grad T =(∂T∂x, ∂T ∂y, ∂T ∂z) – градиент температуры.

С учетом выражений (6.13) и (6.14) при λ = const уравнение (6.12) приводится к виду

86

где ат = λ/(cρ) – коэффициент температуропроводности, м2/с, характеризующий теплоинерционные свойства тела.

Для одномерного случая, когда теплопередача осуществляется только вдоль оси х, уравнение теплопроводности (6.15) принимает вид

При решении уравнений (6.15), (6.16) должна быть задана функция GQ = GQ(x, y, z, t) и краевые условия – начальные и граничные. Кроме того, необходимо описание геометрии теплотехнического объекта (его формы и размеров), а также физических свойств объекта и среды (значений параметров ρ, λ, c).

Временные или начальные условия характеризуют распределение температуры в объекте в начальный момент времени. Для стационарных задач эти условия отсутствуют.

Граничные краевые условия теплообмена характеризуют форму тела и условия его теплообмена с окружающей средой. Различают четыре вида граничных условий теплообмена.

При граничных условиях 1-го вида на поверхности тела для каж-

дого момента времени задается распределение температуры

В частном случае температура поверхности может поддерживаться постоянной во времени, такая граница называется изотерми-

ческой: Тп = const.

При граничных условиях 2-го вида на поверхности тела для каж-

дого момента времени задается плотность теплового потока

В частном случае плотность теплового потока может поддерживаться постоянной во времени, qп = const, либо быть нулевой, в последнем случае граница называется адиабатной.

При граничных условиях 3-го вида на поверхности тела для каж-

дого момента времени задается температура окружающей среды и закон конвективного теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой

где α – коэффициент теплоотдачи, характеризующий плотность теплового потока при единичной разности температур между поверхностью тела и окружающей средой, Вт/(м2·К). Отметим, что граничные условия 1-го и 2-го рода являются частными случаями граничных условий конвективного теплообмена:

1.α = ∞ −αλ ∂∂Тn =(Tп −Тс ) Tп =Тс – изотермическая граница;

2.α = 0 qп = α(Тп −Тс ) qп = 0 – адиабатная граница. Граничные условия 4-го вида описывают условия теплообмена

на границе контакта двух тел:

где Rк [К·м2/Вт] – тепловое сопротивление контакта, зависящее от давления, чистоты поверхностей и других факторов, ∆Т = Тп1 – Тп2 – перепад температур на контактирующих поверхностях. В частном случае идеального контакта (Rк = 0)

т.е. коэффициент теплопроводности и температурный градиент обратно пропорциональны: чем выше коэффициент теплопроводности материала, тем меньше в нем температурный градиент.

88

Дифференциальное уравнение теплопроводности вместе с краевыми условиями дают формулировку краевой задачи теплопроводности в объекте, имеющей единственное решение.

В частном случае стационарной теплопроводности плоского слоя толщиной δ, не содержащего внутренних источников тепла (GQ = 0), на поверхностях которого x = 0 и x = δ заданы граничные условия первого рода, т.е. поддерживаются температуры соответственно Т1 и Т2, математическая формулировка краевой задачи имеет вид

дающее линейное распределение температуры по толщине слоя. Плотность теплового потока определяется в соответствии с за-

коном Фурье (6.14)

и является постоянной, отношения λ / δ и δ / λ называются соответ-

ственно тепловой проводимостью и тепловым сопротивлением

плоского слоя.

89

Потери тепла через плоскую стенку, Дж,

Пример 6.1. Определить потери тепла через кирпичную стенку (λк = 0,3 Вт / (м К)) площадью 3×5 м за сутки. Как изменится теплопроводность, если кирпичную стенку заменить деревянной (сосна поперек волокон, λд = 0,107 Вт/(м·К)). Толщины стенок составляют

δк = δд = 25 см, температуры наружной и внутренней поверхностей стенки соответственно t1= 20 °C, t2 = –20 °C. Определить стоимость потерь при цене 1 кВт·час энергии 2 руб.

Решение. По формуле (6.27) определяем потери тепла через кирпичную стенку:

2·62 500/3600 = 34,8 руб., а через деревянную стенку 2·22 200/3600 = = 12,4 руб., что почти в 3 раза меньше.

6.3. Технология вычислительного эксперимента

Вычислительным экспериментом называется методология и технология исследований, основанные на применении прикладной математики и компьютера как технической базы при использовании математических моделей.

Вычислительный эксперимент основывается на создании математических моделей изучаемых объектов, которые формируются

90