Математические модели движения транспортных средств

ностью С и длительностью цикла Т при постоянных значениях qм, g и L.

Пропускная способность С представлена монотонно возрастающей функцией от длительности цикла T и приближается к значению qм · g длябольших Т.

При расчете пропускной способности учитывались только параметры цикла регулирования. В действительности она зависит от числа автомобилей, совершающих поворотные маневры, движения пешеходов, наличия автобусов и грузовых автомобилей в потоке, стоящих автомобилей, остановок общественного

51

транспорта и т.д. Пропускная способность, полученная с учетом этих факторов, называется возможной пропускной способностью и обыч-

но определяется эмпирически. С другой стороны, если интенсивности движения становятся большими и близкими к возможной пропускной способности, каждый автомобиль задерживается на большие и недопустимые интервалы времени. По этой причине иногда удоб-

нее использовать практическую пропускную способность, которая также определяется эмпирически из условия обеспечения величины задержки автомобиля, меньшей длительности цикла регулирования.

3.6. Задержки автомобилей при регулярном транспортном потоке

Когда интенсивность движения велика, то транспортный поток может приближенно рассматриваться как регулярный, подобный потоку жидкости. Вначале оценим время ожидания автомобилей на основании такой приближенной модели.

Пусть А(τ) будет представлять суммарное количество автомобилей, прибывающих к перекрестку, a D(τ) – суммарное количество автомобилей, убывающих с перекрестка за время τ при условии наличия очереди. Тогда

где q и qм – соответственно интенсивность прибытия и интенсивность насыщения потока отправлений.

Если Q(t) – число автомобилей в очереди, а начало отсчета времени – начало горения красного сигнала, то

как это показано на рис. 3.9, где R и Т соответственно обозначают длительность горения красного сигнала и цикла регулирования (при-

52

Средняя задержка автомобиля

Здесь g – распределение длительности горения сигналов в цикле.

Вопросы для самоконтроля

1.Типы перекрестков, классификация маневров на перекрестке, виды конфликтных точек.

2.Оценка сложности (условной опасности) пересечения транспортных потоков, индекс интенсивностей.

3.Каковы преимущества одностороннего движения?

4.Перечислите параметры жесткого однопрограммного управления движения на перекрестке.

5.Как зависит пропускная способность перекрестка от интервалов отправления и длительности циклов регулирования?

6.От каких параметров зависит длина очереди на перекрестке?

54

4. ТРАНСПОРТНЫЕ ЗАТОРЫ

Общепринятого определения транспортного затора (пробки) не существует. На свободной дороге транспортный поток не образует очередей, если малое возмущение скоростей, возникшее в некоторой точке дороги, не распространяется вверх по потоку. И наоборот, если возмущение скоростей, возникшее на некотором участке, распространяется за его пределы, то в транспортном потоке образуются скопления и возникают заторы.

Обычно описываются одиночные пробки и серия пробок.

4.1. Одиночные пробки

Одиночные заторы могут быть вызваны условиями дорожного движения, например, красным светом светофора, аварией, сужением и т.п. В такой ситуации условие превышения притока в пробку над оттоком выполнить легко: например, если сужение имеет пропускную способность qi, а приток qj, то если qj > qi, пробка будет расти. Теоретически такое поведение схоже с поведением очереди, описываемой теорией массового обслуживания, за исключением наличия пространственного измерения – пробка растет с хвоста. Такой пространственный рост хорошо описывается теорией кинематиче-

ских волн.

Эмпирические данные показывают, что пробки часто возникают на однородном участке дороги, и выглядят как бы «вставленными» в свободный поток. Пусть, к примеру, причиной такой пробки стала авария, которая самоликвидировалась через некоторое время. Рассмотрим n транспортных средств, стоящих друг за другом на однополосной дороге. В первый момент времени может поехать первая машина, затем вторая и т.п. За это время в хвост пробки может пристроиться еще некоторое количество машин. Задав симметричные условия оттока и притока автомобилей в пробку, получим область машин на дороге, имеющих нулевую скорость, смещающуюся навстречу потоку. С точки зрения водителя, пристроившегося в хвост, –

55

пробка «проходит через него». Он сначала останавливается, а через некоторое время может снова продолжить движение. Это стандартное волновое явление хорошо описывается теорией кинематиче-

ских волн.

4.2. Серия пробок

Наблюдения показывают, что отток транспортных средств из пробки составляет в среднем одно транспортное средство за две секунды для одной полосы движения. Обозначим его через q*. Тогда пробка будет расти, если qj > q*.

Например, если вдали случится авария, то при условиях однородности на выходе из этой аварии значительной пробки не образуется. Действительно, если на выходе из первой пробки появится поток q*, то из второй пробки поток составит ту же величину q*. Таким образом, возникает вопрос: может ли поток поддерживать значения выше q* (суперкритический поток), и если да, то как? Ответ на этот вопрос может быть найден моделированием.

4.3. Классификация фаз потока

Существует следующая классификация фаз движения транспортного потока (рис. 4.1).

1.Свободный поток. Пока дорога не загружена, водители придерживаются желаемой скорости, свободно переходя на соседние полосы. На этой стадии автомобили сопоставимы с потоком свободных частиц.

2.Синхронизированный поток. Когда дорога становится переполненной, водители теряют возможность свободно маневрировать

ивынуждены согласовывать свою скорость со скоростью потока. Эта стадия подобна потоку воды.

3.Широкие перемещающиеся пробки. Здесь автомобили (груп-

пы автомобилей) подобны кусочкам льда, движущимся в потоке жидкости.

56

Синхронизированный

поток

Старт-стоп-движение

Движение в «пробке»

k

Рис. 4.1. Фазовые состояния потока на многорядных магистралях

4. Старт-стоп-движение. При большом скоплении автомобилей движение потока приобретает прерывистый характер. На этой стадии транспортный поток можно уподобить потоку замерзающей воды, автомобили становятся на какой-то промежуток времени как бы «приклеенными» к данной точке дороги.

Таким образом, при малых и очень высоких плотностях наблюдается корреляция между потоком и плотностью, а для промежуточных плотностей определенной ветви на фундаментальной диаграмме не существует из-за сильной зависимости от особенностей конкретной дорожной сети. Предпринималось множество попыток объяснить эти особенности. Теории «обращения λ-формы фундаментальной диаграммы», «гистерезиса», «катастроф», «падения пропускной способности» и другие указывают на возможность существования суперкритических потоков (рис. 4.2). Другие теории объясняют такие измерения геометрическим строением дороги, например наличием сужения.

Однако остается невыясненным, как могут возникать пробки, когда поток, находящийся в свободном режиме, распадается и переходит в смешанный свободно-заторный поток (старт-стоп-движе- ние). С одной стороны, анализ показывает, что часто имеются внешние причины. С другой стороны, эксперименты с ездой по кругу по-

57

казывают спонтанный распад потока. В этом эксперименте водителей просили ехать с максимальной скоростью. В таких искусственных условиях для распада потока требовалось около 10 минут!

Рис. 4.2. Теоретические аппроксимации эмпирической фундаментальной диаграммы

В случае синхронизированного режима движения не ясно, вызван сильный разброс данных наличием съездов-въездов или он имеет статистическую природу, например, из-за взаимодействия разных типов автомобилей и разных манер вождения.

4.4. Причина затора – геометрические особенности дороги

Причина пробок кроется в «узких местах» – сужениях и расширениях дороги, как постоянных, так и временных. Они являются причиной образования, роста и распространения очередей на дорогах. Определяют несколько типов «узких мест.

Активные «узкие места». Между двумя участками дороги имеется активное «узкое место», если восходящий транспортный поток перегружен (вызывает очереди), а нисходящий является свободным. Выявление активных «узких мест» на участках дороги эффективно для предотвращения транспортных происшествий.

58

Слияния. Теория для «сливающихся» узких мест утверждает, что максимально устойчивый поток, выходящий из слияния, существует только тогда, когда условия для нисходящего потока являются незагруженными. Это качество называется емкостью. Если сумма входящих потоков превышает вместимость слияния, выходящий поток заполняет емкость слияния полностью, а остальной поток формирует очередь. Очередь растет как по одному, так и по нескольким подъездам к слиянию. Эксперименты показывают, что на одних участках поток становится переполненным через 10 мин, а на других – не бывает переполненным.

Расширения. Разновидность нескольких активных «узких мест» на дороге. Если поток, пересекающий одну из ветвей расширения, превышает его пропускную способность в течение некоторого времени, то в общем подъезде к расширению может вырасти очередь. Если этот подъезд узкий, очередь должна рассасываться по дисциплине буфера – «первым вошел, первым вышел» – таким образом будут накапливаться и задерживаться транспортные средства, которые должны передвигаться по другой ветви расширения дороги. Подобная ситуация может иметь место и тогда, когда один из подъездов широкий.

Другие типы узких мест. Заторную активность можно обнаружить на вертикальных и горизонтальных искривлениях дороги («горки» и прогибы), в тоннелях, на наклонных участках и других местах изменения характеристик и однородности дороги. Заторы вызываются также временными внешними причинами, такими как дорожнотранспортные происшествия, отвлекающая внимание водителя активность около дороги и даже информационные щиты.

4.5. Задержки транспортных средств

Большинство теорий утверждают, что задержки транспортных средств зависят от двух компонентов: от времени, за которое автомобиль проехал бы через заторное место при отсутствии очереди, и от поведения потока в пределах заторного участка. То есть практи-

59

чески время задержки не зависит от структуры очереди и, следовательно, управляющие воздействия нужно направлять не на очередь, а на сами заторные участки.

4.6. Множественные устойчивые состояния и хаос

Связь, отражающая понятия хаоса и транспортного потока, предложена И. Пригожиным, им впервые была сформулирована кинетическая модель транспортного потока в виде следующего дифференциального уравнения:

Данное уравнение, как и уравнение (2.16), является уравнением неразрывности, выражающим закон сохранения автомобилей, но уже в фазовом пространстве, т.е. плотности распределения автомобилей по координате и скорости. Слагаемые в левой части описывают изменение фазовой плотности f за счет кинематического переноса, в то время как слагаемые в правой части описывают процесс мгновенных изменений скоростей автомобилей за счет процессов взаимодействия и релаксации.

Согласно Пригожину, под взаимодействием двух автомобилей на дороге понимается событие, при котором более быстрый автомобиль догоняет более медленный. При этом водитель быстрого автомобиля либо совершает обгон, либо снижает свою скорость до скорости впереди идущего автомобиля. Скорости автомобилей в потоке не коррелированы до и после взаимодействия, т.е. верна гипотеза «автомобильного хаоса» (по аналогии с «молекулярным хаосом»).

В соответствии с гипотезой «автомобильного хаоса» локальные пробки могут существовать, пока сохраняются их характеристические свойства в течение нескольких часов. Другими словами, к образованию пробок в транспортном потоке может привести помеха на микроуровне.

60