Математические модели движения транспортных средств

Перекресток является сложным, так как значение m входит

впромежуток для сложного перекрестка:

−m < 40 – перекресток с малым уровнем опасности;

−40 < m < 80 – перекресток средней сложности;

−80 < m < 150 – сложный перекресток;

−m > 150 – очень сложный перекресток.

Потенциально опасная зона и условная конфликтная точка возникают между траекториями движения автомобиля, поворачивающего направо, и автомобиля, следующего за ним и намеревающегося двигаться по прямой. Конфликтная точка отклонения возникает, если маневрирующий автомобиль вынужден совершить задержку или выполнение поворота невозможно. В отличие от маневра отклонения слияние невозможно в любой момент времени, для этого необходимо, чтобы в потоке, с которым происходит слияние, образовался достаточный разрыв между транспортом.

График режима работы светофора рассмотрим в соответствии с формулой для каждой фазы.

где q – интенсивность транспортного потока (пропускная способность) дороги; qi – интенсивность транспортного потока полосы движения; n – число полос для движения; qпр – интенсивность прямого потока; qлев – интенсивность левого потока; qправ – интенсивность правого потока (табл. 8.8).

qотн = q1 + q2 + q3 . q

Расчёт фактического интервала движения между автомоби-

лями описывается вероятностными законами в зависимости от интенсивности транспортного потока и методов организации дорожного движения. Вся совокупность выборки интервалов в течение часа анализируется на предмет разбиения на группы разрядов расчётных интервалов. Выбор наиболее часто встречающегося интервала для каждого часа:

где n – количество циклов; tц – время цикла (табл. 8.10).

Таблица 8.10

Результаты расчетов

Фактический интервал движения

где tзел – время зеленого сигнала; N – время приведенного интервала. Шаг интервала

где tmax – максимальное время интервала; tmin – минимальное время интервалов, h = 0,546.

Вариационный ряд:

0,063; 0,085; 0,094; 0,127; 0,127; 0,127; 0,141; 0,141; 0,141; 0,141; 0,157; 0,159; 0,159; 0,159; 0,170; 0,177; 0,177; 0,177; 0,182; 0,182; 0,189; 0,202; 0,202; 0,7.

Гистограммы распределений представлены на рис. 8.9.

Рис. 8.9. Вероятностная гистограмма распределений

Расчёт интенсивности движения по имитационным макромоделям – моделям Гринберга, Гриншилдса. Основное уравнение транспортного потока

где q – интенсивность транспортного потока; kц – плотность цикла; v – скорость цикла (табл. 8.11).

Таблица 8.11

Результаты расчетов

Графики зависимости между интенсивностью, плотностью и скоростью транспортных потоков представлены на рис. 8.10–8.12.

q, авт/ч 200

150

100

50

Рис. 8.10. Основная диаграмма транспортного потока

v, км/ч

Рис. 8.11. Зависимость скорости от плотности

Рис 8.12. Зависимости интенсивности от скорости транспортного потока

165

Модели Гринберга и Гриншилдса являются гидродинамиче-

скими моделями построения алгоритма с адекватными реальными наблюдениями. Определение данных по экспериментальным данным даёт возможность использовать параметры решения модельных уравнений.

Модель Гриншилдса (8.5)

где q – интенсивность потока; vf – скорость свободного движения; kmax – максимальная плотность потока, kmax = 9,2 авт/км.

Модель Гринберга (8.4)

Результаты расчетов представлены в табл. 8.12.

Таблица 8.12 Результаты реализации моделей Гринберга и Гриншилдса

166

Вывод. Курсовая работа по моделированию дорожного движения помогает исследовать характеристику транспортного потока, статистически обрабатывать результаты измерений и дает оценку уровня загрузки перекрестка. Применение методов обработки экспериментальных данных об измерениях интенсивности и интервалов между автомобилями в транспортном потоке на регулируемом перекрестке дает план теоретической зависимости и построения имитационных моделей. Основной задачей было определение стохастического характера поступления на перекресток, оценка уровня пропускной способности на примере реального перекрестка.

8.2. О приближенных вычислениях

Числовые значения величин, с которыми приходится иметь дело при расчетах, являются большей частью приближенными. Прежде чем вести разговор о правилах приближенных вычислений, дадим определение значащей цифры числа. Значащими цифрами числа называются все его цифры, кроме нулей, стоящих левее первой, отличной от нуля цифры, а также кроме нулей, стоящих в конце числа взамен неизвестных или отброшенных цифр. Нуль в конце числа может быть значащим, если он является представителем сохраненного десятичного разряда.

Такими величинами являются, в частности, многие константы, приводимые в справочниках. Например: ускорение свободного падения g = 9,81 м/с2, число π = 3,14 и т.п. При более точном вычислении или измерении числовые значения этих величин будут содержать большее число значащих цифр: g = 9,80655 м/с2, π = 3,1416. Однако и эти значения, в свою очередь, являются приближенными или в силу недостаточной точности измерения, или в силу того, что получены путем округления еще более точных значений.

Часто неопытные лица добиваются при вычислениях получения такой точности результатов, которая совершенно не оправдывается точностью использованных данных. Это приводит к бесполезной затрате труда и времени.

167

Рассмотрим следующий пример. Пусть требуется определить плотность ρ вещества некоторого тела. При взвешивании тела на весах с точностью до 0,01 г определили массу тела

m =(9,38 ±0,01)г.

Затем с точностью до 0,01 см3 был измерен объем тела

V =(3,46 ±0,01)м3.

Без критического подхода к вычислениям можно получить такой результат:

ρ = Vm = 3,469,38 = 2,71098 мкг3 .

Но числа 9,38 и 3,46 – приближенные. Последние цифры в этих числах сомнительные. Эти числа при измерении могли быть получены такими: первое – 9,39 или 9,37, второе – 3,45 или 3,47. В самом деле, при взвешивании с указанной выше точностью могла быть допущена ошибка на 0,01 как в сторону увеличения массы, так и в сторону ее уменьшения. То же самое и в отношении объема. Таким образом, плотность тела, если ее вычислять с точностью до пятого десятичного знака, как это сделано выше, могла оказаться следующей:

ρ = 9,39/3,45 = 2,7214 г/см3 или ρ = 9,37/3,47 = 2,70029 г/см3.

Сравнение всех трех результатов показывает, что они отличаются уже вторыми десятичными знаками и что достоверным является лишь первый десятичный знак, а второй – сомнительным. Цифры, выражающие остальные десятичные знаки, совершенно случайны

испособны лишь ввести в заблуждение пользователя вычисленных результатов. Следовательно, работа по вычислению большинства знаков затрачена впустую. Во избежание бесполезных затрат труда

ивремени принято вычислять кроме достоверных знаков еще только один сомнительный. В рассмотренном примере надо было вести вычисление до второго десятичного знака:

168

ρ = m/V = 9,38/3,46 г/см3 = 2,71 г/см3.

Приближенные вычисления следует вести с соблюдением следующих правил.

1.При сложении и вычитании приближенных чисел окончательный результат округляют так, чтобы он не имел значащих цифр

втех разрядах, которые отсутствуют хотя бы в одном из слагаемых.

Например, при сложении чисел 4,462 + 2,38 + 1,17273 + 1,0262 = = 9,04093 следует сумму округлить до сотых долей, т.е. принять ее равной 9,04, так как слагаемое 2,38 задано с точностью до сотых долей.

2.При умножении следует округлить сомножители так, чтобы каждый из них содержал столько значащих цифр, сколько их имеет сомножитель с наименьшим числом таких цифр. Например, вместо вычисления выражения 3,723 2,4 5,1846, следует вычислять выра-

жение 3,7 2,4 5,2. В окончательном результате следует оставлять такое же количество значащих цифр, какое имеется в сомножителях после их округления. В промежуточных результатах следует сохранять на одну значащую цифру больше. Такое же правило следует соблюдать и при делении приближенных чисел.

3. При возведении в квадрат или куб следует в степени брать столько значащих цифр, сколько их имеется в основании степени.

Например, 1,322 ≈1,74.

4. При извлечении квадратного или кубического корня в результате следует брать столько значащих цифр, сколько их в подкорен-

ном выражении. Например, 1,17 ≈1,08.

При вычислении сложных выражений следует применять указанные правила в соответствии с видом производимых действий. На-

имеет наименьшее число значащих цифр – две. Поэтому результаты всех промежуточных вычислений должны округляться до трех значащих цифр:

169

После округления до двух значащих цифр получаем результат

3,8 10–3.

8.3. Тест для проверки уровня обученности

Пермский национальный исследовательский политехнический университет Дисциплина Математические модели движения транспортных средств

Число заданий: 25, время тестирования 60 минут

Тест № 1

1. Интенсивность транспортного потока это…

1) соотношение в потоке транспортных средств различного типа; 2) число автомобилей, занимающих единицу длины полосы движения на дороге в любой момент времени; 3) число транспортных средств, проезжающих через сечение дороги за единицу времени; 4) расстояние, преодолеваемое в единицу времени; 5) плотность распределения скоростей автомобилей.

2. К параметрам транспортного потока не относятся…

1) интенсивность транспортного потока; 2) интервалы между автомобилями; 3) состав транспортного потока; 4) плотность транспортного потока; 5) скорость движения.

3. Плотность транспортного потока это…

1) соотношение в потоке транспортных средств различного типа; 2) число автомобилей, занимающих единицу длины полосы движения на дороге в любой момент времени; 3) число транспортных средств, проезжающих через сечение дороги за единицу времени; 4) расстояние, преодолеваемое в единицу времени; 5) плотность распределения скоростей автомобилей.

170