Математические модели движения транспортных средств

2. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДВИЖЕНИЯ ТРАНСПОРТНЫХ СРЕДСТВ

Транспортный поток, циркулирующий в дорожной сети, состоит из множества автомобилей, которые управляются по более или менее свободному желанию водителей, и маневры каждого автомобиля могут быть расценены как вероятностные события. Однако в случаях, часто наблюдаемых в большом городе или на скоростной дороге, когда множество автомобилей движется в группе, транспортный поток может быть рассмотрен как детерминированный и непрерывный. Для обсуждения условий, влияющих на безопасность движения на дороге или стартовые характеристики автомобилей, начинающих движение от регулируемого перекрестка, эффективна вероятностная позиция и использование так называемых микроскопических моделей, которые представляют движение отдельных автомобилей. Однако микроскопические модели слишком детальны для описания потоков с высокой плотностью движения.

С другой стороны, имея дело с транспортным потоком, движущимся по сети городских дорог, оборудованной множеством регулируемых перекрестков, эффективнее пользоваться макроскопическими моделями. Эти модели отображают транспортный поток как стационарное явление, представляемое общей средней скоростью, плотностью потока и интенсивностью движения.

2.1. Параметры транспортного потока

При формировании информации о состоянии дорожного движения в первую очередь необходимы данные, характеризующие транспортный поток.

Многолетний опыт научных исследований и практических наблюдений за транспортными потоками позволил разработать соответствующие объективные показатели. Наиболее необходимыми и часто применяемыми являются интенсивность транспортного потока, его состав по типам транспортных средств, плотность потока,

21

скорость движения, задержки движения. Охарактеризуем эти и другие показатели транспортного потока.

Интенсивность транспортного потока (интенсивность дви-

жения) q – это число транспортных средств, проезжающих через сечение дороги за единицу времени. В качестве расчетного периода времени для определения интенсивности движения принимают год, месяц, сутки, час и более короткие промежутки времени (минуты, секунды) в зависимости от поставленной задачи наблюдения

исредств измерения.

Впроблеме организации движения важнейшее значение имеет неравномерность транспортных потоков в течение года, месяца, суток и даже часа.

Временная неравномерность транспортных потоков может быть охарактеризована соответствующим коэффициентом неравномерно-

сти Kн. Этот коэффициент может быть вычислен для годовой, суточной и часовой неравномерности движения. Неравномерность может быть выражена как доля интенсивности движения, приходящаяся на данный отрезок времени, либо как отношение наблюдаемой интенсивности движения к средней за одинаковые промежутки времени. Например, коэффициент суточной неравномерности

Kнс = 24qач ,

qас

где 24 – число часов в сутках; qач – интенсивность движения за сравниваемый час, авт/ч; qас – суммарная интенсивность движения за сутки, авт/сут.

Неравномерность транспортных потоков проявляется не только во времени, но и в пространстве, т.е. по длине дороги и по направлениям. Для характеристики пространственной неравномерности транспортного потока могут быть также определены соответствующие коэффициенты неравномерности по отдельным улицам и участкам дорог.

Общую интенсивность для двухполосных дорог со встречным движением характеризуют обычно суммарным значением встречных

22

потоков, так как условия движения и, в частности, возможность обгонов определяются загрузкой обеих полос. Если же дорога имеет разделительную полосу и встречные потоки изолированы друг от друга, то суммарная интенсивность встречных направлений не определяет условия движения, а характеризует лишь суммарную работу дороги как сооружения. Для таких дорог имеет значение интенсивность движения в каждом направлении.

Во многих случаях, особенно при решении вопросов регулирования движения в городских условиях, имеет значение не только суммарная интенсивность потока по данному направлению, но также интенсивность, приходящаяся на одну полосу.

Временной интервал ti между следующими друг за другом по одной полосе транспортными средствами является показателем, обратным интенсивности движения. Если интервал ti между следующими друг за другом по полосе автомобилями более 10 с, то их взаимное влияние является относительно слабым, и условия движения характеризуются как «свободные». Более детально стохастический процесс распределения автомобилей в транспортном потоке и временных интервалов между ними рассмотрен в гл. 7.

Состав транспортного потока характеризуется соотношением

внем транспортных средств различного типа. Этот показатель оказывает значительное влияние на все параметры дорожного движения. Состав транспортного потока влияет на загрузку дорог (стесненность движения), что объясняется, прежде всего, существенной разницей

вгабаритных размерах автомобилей. Если длина отечественных легковых автомобилей 4–5 м, грузовых 6–8, то длина автобусов достигает 11, а автопоездов – 24 м. Сочлененный автобус имеет длину 16,5 м. Однако разница в габаритных размерах не является единственной причиной необходимости специально учитывать состав потока при анализе интенсивности движения.

При движении в транспортном потоке важна разница не только

встатическом, но и в динамическом габарите автомобиля, который зависит в основном от времени реакции водителя и тормозных качеств транспортных средств. Под динамическим габаритом Lд подра-

23

зумевается участок дороги, минимально необходимый для безопасного движения в транспортном потоке с заданной скоростью автомобиля, длина которого включает длину автомобиля La и дистанцию d,

называемую дистанцией безопасности (Lд = La + d).

Особое влияние на формирование транспортного потока в городе оказывают троллейбусы, которые, кроме больших габаритов, имеют еще одну специфическую особенность – связь с контактной сетью, что затрудняет их маневрирование.

Для того чтобы учесть в фактическом составе транспортного потока влияние различных типов транспортных средств на загрузку дороги, применяют коэффициенты приведения Kпр к условному легковому автомобилю.

С помощью коэффициента приведения можно получить показатель интенсивности движения в условных приведенных единицах, ед/ч,

n

Kпр = ∑qi Kпрi , i=1

где qi – интенсивность движения автомобилей данного типа; Kпрi – соответствующие коэффициенты приведения для данной группы автомобилей; п – число типов автомобилей, на которые разделены данные наблюдений.

Плотность транспортного потока k – число автомобилей, за-

нимающих единицу длины полосы движения на дороге в любой данный момент, является пространственной характеристикой, определяющей степень стесненности движения на полосе дороги. Ее измеряют числом транспортных средств, приходящихся на 1 км протяженности дороги. Предельная плотность достигается при неподвижном состоянии колонны автомобилей, расположенных вплотную друг к другу на полосе. Для потока современных легковых автомобилей теоретически такое предельное значение kmax составляет около 200 авт/км. Практические исследования показали, что этот показатель колеблется в пределах 170–185 авт/км. Это объясняется тем, что водители не подъезжают при заторе вплотную к переднему автомобилю. Естественно, что при предельной плотности движение не-

24

возможно даже при автоматическом управлении автомобилями, так как отсутствует дистанция безопасности.

Плотность kmax вместе с тем имеет значение как показатель, характеризующий структуру (состав транспортного потока). Наблюдения показывают, что при движении автомобилей колонной преимущественно малого класса с малой скоростью плотность потока может достигать 100 авт/км.

Чем меньше плотность потока, тем свободнее себя чувствуют водители, тем выше скорость, которую они развивают. Наоборот, по мере повышения k, т.е. стесненности движения, от водителей требуется повышение внимательности, точность действий. Кроме того, повышается их психическая напряженность. Одновременно увеличивается вероятность дорожно-транспортных происшествий в случае ошибки, допущенной одним из водителей, или отказа механизмов автомобиля.

В зависимости от плотности потока движение по степени стес-

ненности подразделяют на свободное, частично связанное, насыщенное, колонное.

Численные значения k в физических единицах (автомобилях), соответствующих этим состояниям потока, весьма существенно зависят от параметров дороги и в первую очередь от ее плана и профиля, коэффициента сцепления, а также состава потока по типам транспортных средств, что, в свою очередь, влияет на выбираемую водителями скорость.

Скорость движения является важнейшим показателем, так как представляет целевую функцию дорожного движения. Наиболее объективной характеристикой транспортного средства на дороге может служить график изменения его скорости на протяжении всего маршрута движения. Однако получение таких пространственных характеристик для множества движущихся автомобилей является сложным, так как требует непрерывной автоматической записи скорости на каждом из них. В практике организации движения принято оценивать скорость движения транспортных средств мгновенными ее значениями v, зафиксированными в отдельных типичных сечениях (точках) дороги.

25

Верхний предел скорости автомобиля определяется его максимальной конструктивной скоростью vmax, которая зависит главным образом от удельной мощности двигателя.

Опыт показывает, что водитель ведет автомобиль с максимальной скоростью лишь в исключительных случаях и кратковременно, так как это сопряжено с чрезмерно напряженным режимом работы агрегатов автомобиля; кроме того, имеющиеся на дороге даже незначительные подъемы требуют для поддержания стабильной скорости запаса мощности. Поэтому даже при благоприятных дорожных условиях водитель ведет автомобиль с максимальной скоростью длительного движения или крейсерской скоростью. Крейсерская скорость для большинства автомобилей составляет (0,75 – 0,85)vmax.

На фактическую скорость движения автомобилей оказывают влияние многие причины и особенно существенное – метеорологические условия, а в темное время суток – освещение дороги. Таким образом, скорость свободного движения является случайной и для потока однотипных автомобилей в заданном сечении дороги характеризуется обычно нормальным законом распределения. Для потока однородных автомобилей распределение скоростей свободного движения может иметь существенные отклонения от нормального закона.

Если все автомобили имеют одинаковые скорости, то из приведенных выше определений ясно, что

На практике скорость автомобилей распределена в пределах некоторого диапазона, и в дальнейшем определяются два вида сред-

них скоростей: средняя пространственная и средняя временная ско-

рости. Для этих целей введем две плотности распределения вероятностей скоростей v – пространственную fs(v) и временную ft (v). Первая из них определяет плотность распределения скоростей для автомобилей, занимающих данный участок дороги в заданный момент времени, вторая определяет плотность распределения скоростей автомобилей, проходящих данную точку дороги в течение за-

26

данного интервала времени. Эти средние скорости определяются из выражений

Нижний предел принят равным нулю из предположения, что на дороге нет автомобилей, движущихся в том же ряду в обратном направлении.

Здесь, как и выше, подразумевается, что транспортный поток является стационарным и что скорость каждого автомобиля постоянна в течение интервала времени, определяющего среднюю временную скорость, или вдоль участка дороги, определяющего среднюю пространственную скорость. Пусть kvdv и qvdv представляют собой соответственно дифференциалы плотности и интенсивности движения автомобилей, скорость которых лежит в диапазоне между v и v + dv. Тогда справедливы следующие выражения для плотностей распределения fs(v) и ft(v):

так как временная вероятность распределения во всем диапазоне

∞

скоростей равна единице, ∫ ft (v)dv = 1.

0

27

Таким образом, уравнение (2.1) справедливо для средней пространственной скорости vs, даже если скорости автомобилей не одинаковы, а являются случайными величинами с произвольным распределением вероятностей. С другой стороны, путем подстановки уравнения (2.8) в (2.6) найдем, что

Уравнение (2.9) описывает зависимость между пространственной и временной плотностями распределения скоростей.

Рассмотрим связь между vt и vs . Подставим уравнение (2.9)

в (2.3):

Если определить дисперсию σ2s , которая, как будет показано далее, характеризует разброс средней пространственной скорости,

Таким образом, при большом разбросе скоростей разница между средними значениями пространственной и временной скоростей становится также большой. Отметим, что средняя пространственная скорость с трудом поддается непосредственным автоматическим измерениям, в то время как средняя временная скорость легко определяется детекторами транспорта.

Далее будем использовать в макроскопической модели среднюю пространственную скорость, обозначая ее без надчеркивания v.

28

2.2. Макроскопические модели транспортного потока

Транспортный поток можно рассматривать в соответствии с гидродинамической моделью как поток одномерной сжимаемой жидкости, допуская, что поток сохраняется и существует однозначная зависимость между скоростью и плотностью транспортного потока.

Первое допущение выражается уравнением неразрывности. Второе – функциональной зависимостью между скоростью и плотностью для учета уменьшения скорости движения автомобилей с ростом плотности потока. Это интуитивно верное допущение теоретически может привести к отрицательной величине плотности или скорости. Поскольку одному значению плотности может соответствовать несколько значений скорости, для второго допущения средняя скорость потока в каждый момент времени должна соответствовать равновесному значению при данной плотности автомобилей на дороге. Равновесная ситуация – чисто теоретическое допущение и может наблюдаться только на однополосных участках дорог без пересечений и при движении автомобилей без обгонов.

Закон сохранения транспортного потока

При равновесном движении с плотностью автомобилей k(x,t)

внаправлении x число автомобилей в интервале длины дороги (x1, x2)

вмомент времени t равно

Пусть v(x, t) – скорость автомобилей в точке x в момент времени t. Число проходящих через x (единицу длины) автомобилей в момент t равно k(x,t)v(x, t). Найдем уравнение изменения плотности. Число автомобилей в интервале (x1, x2) за время t изменяется в соответствии с числом въезжающих и выезжающих машин: