Математические модели движения транспортных средств

сокой скоростью, чтобы управлять большим числом сигналов светофоров, основываясь на результатах этой обработки.

Появляются системы управления дорожным движением в больших городских районах с типичными конфигурациями управляющих вычислительных систем, работающих в реальном масштабе времени.

Такие системы перерастают в многофункциональные системы управления, включающие, например, отображение информации, дающее возможность оператору вмешиваться в автоматическое управление, или системы информационного обслуживания, которые обеспечивают водителей информацией о возникающих в дорожном движении ситуациях.

1.2.Методы моделирования транспортных систем

Впоследние десятилетия во многих крупных городах исчерпаны или близки к исчерпанию возможности экстенсивного развития транспортных сетей. Поэтому особую важность приобретает оптимальное планирование развития сетей, улучшение организации движения, оптимизация системы маршрутов общественного транспорта. Решение таких задач невозможно без математического моделирования транспортных сетей. Главная задача математических моделей – определение и прогноз таких параметров, как интенсивность движения, объемы перевозок, средние скорости движения, задержки и потери времени и т.д. Среди всего разнообразия математических моделей, применяемых для анализа транспортных сетей, можно выделить три основные группы моделей:

• прогнозные;

• имитационные;

• оптимизационные.

Прогнозные модели предназначены для моделирования транспортных потоков в сетях с известной геометрией и характеристиками

ипри известном размещении потокообразующих объектов города. При помощи этих моделей можно прогнозировать последствия изменений в транспортной сети или в размещении объектов. Модели это-

11

го типа применяются для поддержки решений в области планирования развития города, анализа последствий тех или иных мер по организации движения, выбора альтернативных проектов развития транспортной сети и др.

Имитационное моделирование ставит своей целью воспроизведение всех деталей движения, включая развитие процесса во времени. При этом усредненные значения потоков и распределение по путям считаются известными и служат исходными данными для этих моделей. Имитационные модели позволяют оценить скорости движения, задержки на перекрестках, длину и динамику образования очередей, заторов и другие характеристики движения. Основная цель применения таких моделей – улучшение организации движения, оптимизация светофорных циклов и др.

Существуют модели, предназначенных для оптимизации функционирования транспортных сетей. В этом классе моделей решаются задачи оптимизации маршрутов пассажирских и грузовых перевозок, выработки оптимальной конфигурации сети и другие при заданной целевой функции, например минимизации затрат.

Различают два уровня моделирования. Объектом первого уровня – макромоделирования – является транспортный поток, его поведение в результате внешних воздействий: реконструкции дорог, изменения условий движения и др.

Объектом второго уровня – микромоделирования – является транспортное средство, его поведение на отдельных участках дороги.

Вмоделировании дорожного движения исторически сложилось два основных подхода – детерминистский и вероятностный (сто-

хастический).

Воснове детерминированных моделей лежит функциональная зависимость между отдельными показателями, например скоростью

идистанцией между автомобилями в потоке. В детерминированных моделях движение транспортного средства уподобляется какомулибо физическому процессу, например движению жидкости (гидродинамические аналогии).

12

В стохастических моделях транспортный поток рассматривается как вероятностный процесс, как результат взаимодействия транспортных средств на элементах транспортной сети. При этом складываются отчетливые закономерности формирования очередей, интервалов, загрузок по полосам дороги и т.п., которые носят стохастический характер.

Невозможно создавать модель, которая точно представляет все детали системы, поскольку это приводит к усложнению процесса ее проектирования. Поэтому в моделировании всегда используется ряд аппроксимаций реальных свойств системы. Хорошая модель, если такая существует, должна быть одновременно и точной, и простой. Однако такие модели трудно создать в случае большой и сложной системы. Поэтому в исследовании характеристик системы в целом обычно используются грубые модели, в которых вводятся существенные аппроксимации, а ряд деталей опускается. В то же время в детальном исследовании изолированного элемента системы используется точная (детерминированная) модель, в которой связи данного элемента системы с другими более или менее опускаются

идетально исследуется только этот элемент. При этом не следует упускать из виду отклонения модели от реальной системы в первом случае и недоучитывать связи элементов – во втором.

Так как каждый автомобиль на дороге является дискретным

ислучайным элементом, при моделировании используют микроскопические модели, исследующие индивидуальное поведение каждого из них с помощью «точных» методов, например, при анализе процесса «следования за лидером» или обсуждении безопасности движения автомобилей на изолированных участках дорог. Однако такие модели трудно использовать для исследования крупномасштабных сетей дорог, состоящих из большого числа участков. Поэтому используют макроскопические модели, представляющие средние характеристики большого числа автомобилей приближенными методами.

Модели могут быть разделены на два класса: математические

инематематические (аналоговые). Математические модели пред-

13

ставляются в форме уравнений, характеристики объекта могут быть систематически изучены при широком изменении параметров и при относительно небольших расходах на исследования. Нематематические методы включают как аналоговые модели, так и цифровые имитационные модели на компьютере (метод клеточных автоматов), в которых система моделируется с помощью программного обеспечения. Нематематические модели могут давать более точное представление объекта с меньшими аппроксимациями, чем математические модели, но требуют больших затрат на их создание. Поэтому для получения характеристик всей системы в целом желательно использовать в качестве первого приближения математическую модель, а затем для детального уточнения характеристик элементов системы использовать нематематические методы.

В последнее время в исследованиях транспортных потоков стали применять междисциплинарные математические идеи, методы и алгоритмы нелинейной динамики. Их целесообразность обоснована наличием в транспортном потоке устойчивых и неустойчивых режимов движения, потерь устойчивости при изменении условий движения, нелинейных обратных связей, необходимости в большом числе переменных для адекватного описания системы.

1.3. Классификация моделей

Моделирование относится к общенаучным методам познания, его использование на эмпирическом и теоретическом уровнях приводит к условному делению моделей на материальные и идеальные

(рис. 1.1).

Идеальное моделирование – основано на идеальной (мыслимой) аналогии и всегда носит теоретический характер. Идеальное моделирование подразделяют на два типа: интуитивное и научное.

Интуитивное моделирование основано на собственном опыте без объяснения причин наблюдаемого явления.

Научное моделирование логически обосновано, использует минимальное число гипотез.

14

Идеальное моделирование все-

(макета, образца и т.д.).

При натурном моделировании реальному объекту ставится в соответствие его увеличенный или уменьшенный материальный аналог с последующим применением теории подобия.

Аналоговое моделирование основано на аналогии процессов и явлений, имеющих различную физическую природу, но одинаково описываемых формально (например, электротепловая аналогия).

При наблюдении за объектом в голове исследователя формируется мысленный образ объекта, который принято называть когнитивной моделью (мысленной, способствующей познанию) (рис. 1.2).

Представление когнитивной модели на естественном языке называется содержательной моделью. В технике содержательную мо-

дель часто называют технической постановкой проблемы.

По функциональному признаку и целям содержательные модели подразделяются на описательные, объяснительные и предсказательные.

Концептуальной моделью принято называть содержательную модель, при формулировке которой используются понятия и представления предметных областей знания, занимающихся изучением объекта моделирования.

15

Концептуальные модели базируются на определенной концепции или точке зрения и подразделяются на три вида: логико-семанти-

ческие, структурно-функциональные и причинно-следственные. Логико-семантическая модель является описанием объекта

в терминах соответствующей области знаний с логически непротиворечивыми утверждениями и фактами.

При построении структурно-функциональной модели объект рассматривается как целостная система, расчлененная на отдельные подсистемы и элементы.

Причинно-следственная модель используется для прогнозирования поведения объекта.

Формальная модель является представлением концептуальной модели с помощью одного или нескольких формальных языков (языков математических теорий, алгоритмов).

16

Математическая модель – это идеальная научная знаковая формальная модель, в которой описание объекта осуществляется на языке математики, а исследование модели проводится с использованием тех или иных математических методов.

Информационные модели получили распространение с развитием вычислительной техники и представляют собой, по существу, информационные справочники, реализованные с помощью систем управления базами данных. Они не могут генерировать новые знания, отсутствующие в базе данных.

1.4. Классификация математических моделей

Параметры математических моделей могут иметь различную «математическую природу»: могут быть постоянными величинами, функциями, скалярами, векторами, тензорами различных рангов и т.д.

Варианты описания параметров (рис. 1.3):

1) детерминированное – каждому параметру модели соответствует конкретное целое, вещественное, комплексное число либо функция;

2) стохастическое – значения отдельных параметров определяются случайными величинами, заданными плотностями вероятностей;

3)случайное – значения отдельных параметров модели устанавливаются случайными величинами, полученными в результате обработки экспериментальной выборки данных параметров;

4)интервальное – отдельные параметры задаются интервальными величинами от минимального до максимального значений;

5)нечеткое – параметры модели описываются функциями принадлежности нечеткому множеству («много больше пяти», «около нуля» и т.д.). Разделение моделей на одномерные, двухмерные, трехмерные зависит от координат пространства, увеличение размерности усложняет модель и предполагает использование многопроцессорных компьютеров с использованием языков параллельных вычислений.

17

Стационарные Дискретные

Нестационарные

Непрерывные

Смешанные

Рис. 1.3. Классификация математических моделей в зависимости от параметров

По отношению к времени:

1)в квазистатических процессах скорость изменения внешних воздействий на объект моделирования существенно меньше скорости релаксации;

2)в динамических процессах скорость изменения внешних воздействий на объект моделирования велика по сравнению со скоростью релаксации;

3)в стационарных процессах значения параметров в фиксированной точке модели не зависят от времени;

4)в нестационарных процессах время является существенной независимой переменной.

Методы реализации математических моделей подразделяются на аналитические и алгоритмические (рис. 1.4).

18

чивают 6 членов разложения, точность 10–8 – 10 членов). Аналитические методы получили новый виток в развитии с по-

явлением пакетов символьных вычислений (Derive, MatLab, Mathcad,

Maple, Mathematica и др.).

При численном подходе совокупность математических соотношений модели заменяется конечно-разностным аналогом и последующим приближенным решением алгебраических уравнений. Разработка и использование численных методов является предметом

вычислительной математики.

При имитационном моделировании на отдельные элементы разбивается сам объект исследования, система математических соотношений заменяется некоторым алгоритмом, моделирующим взаимодействие друг с другом моделей отдельных элементов системы.

1.5. Этапы разработки математических моделей

Процесс разработки математических моделей трудоемок, длителен, связан с использованием труда различных специалистов и может быть представлен последовательностью этапов (рис. 1.5).

19

1. Обследование объекта моделирования и формулировка технического задания на разработку модели (содержательная постановка задачи)

2. Концептуальная и математическая постановка задачи

3. Качественный анализ и проверка корректности модели

4. Выбор и обоснование выбора методов решения задачи

5б. Разработка алгоритма решения 5а. Поиск решения и исследование его свойств,

реализация алгоритма в виде программы для ЭВМ

6. Проверка адекватности модели

7. Практическое использование построенной модели

Рис. 1.5. Этапы построения математической модели

Вопросы для самоконтроля

1.Перечислите основные проблемы управления дорожным движением.

2.Какие группы математических моделей применяются для прогнозирования поведения транспортных потоков?

3.Что такое модель и моделирование?

4.Объекты микро- и макромоделирования транспортных средств.

5.Цели моделирования транспортных потоков.

6.По каким классификационным признакам можно различать модели?

7.Какие существуют типы моделирования?

8.Назовите характерные особенности аналоговых моделей.

9.Что такое когнитивная модель? Содержательная модель?

10.Каковы особенности детерминированного и неопределенного моделирования?

11.Перечислите этапы построения математических моделей.

20