81

показатели в единицу времени.

Для интервального ряда с равными интервалами:

у nуi ,

где уi – уровни ряда динамики,

n – число уровней ряда динамики;

Для моментного ряда с равными интервалами:

Пример 2. Имеются данные о численности студентов образовательных учреждений высшего профессионального образования, обучающихся на очном отделении (на начало учебного года), человек

Таким образом, среднегодовая численность студентов за 2006 – 2010 составляла 41 412 человек.

В случае неравных промежутков между датами среднюю хронологическую для моментного ряда можно рассчитать, как среднюю арифметическую из средних значений уровней на каждую пару моментов, взвешенных по величине расстояний (отрезков времени) между датами, т.е.

83

Пример 4. Ввод в действие жилых домов по Хабаровскому краю представлен следующими данными

В 2008 году по сравнению с 2007 годом произошло увеличение ввода жилья на 38,1 тыс. кв. м общей площади, в 2009 по сравнению с 2008 – увеличение на 75,1 тыс. кв. м общей площади, а в 2010 по сравнению с 2009 – сокращение на 63,9 тыс. кв. м общей площади.

По сравнению с 2007 годом в 2008 году произошло увеличение ввода жилья на 38,1 тыс. кв. м общей площади, в 2009 – увеличение на 113,2 тыс. кв. м общей площади, в 2010 –увеличение на 49,3 тыс. кв. м общей площади.

– темп роста.

85

Средний темп прироста Т пр 105,8 100 5,8% .

Ежегодно происходит увеличение ввода жилья на 5,8%.

Взаимосвязь базисных и цепных темпов роста

Следует обратить внимание на существующую взаимосвязь между цепными темпами роста и базисным: произведение цепных темпов роста, выраженных в коэффициентах, равно базисному темпу роста за весь изучаемый период, также выраженный в коэффициентах. Это позволяет преобразовать ряд цепных темпов роста в ряд базисных и ряд базисных темпов роста в ряд цепных темпов роста:

khá Ïk hö

Пример 5. Определить, как изменились цены на картофель с января по апрель, если известно, что в феврале по сравнению с январём цены выросли на 5,2%, в марте по сравнению с февралём цены выросли на 1,5%, в апреле по сравнению с мартом цены уменьшились на 3,4%.

За период с января по апрель цены выросли на 3,1%.

Расчёт недостающих показателей

Из исходных формул аналитических показателей ряда динамики могут быть найдены отдельные составляющие (показатели). Например, используя формулу цепного абсолютного прироста, можно определить уровень изучаемого периода: уi уi 1 ц или уровень предыдущего периода уi 1 уi ц .

Подобные преобразования приемлемы для любого показателя ряда динамики. Пример 6. Определить недостающие показатели

86

По заданному абсолютному приросту и найденному производству ткани в 2005 году определяется производство ткани в 2006 году по формуле

y2006 ц2005 y2005 15,6 145 160,6 тыс. кв. м.

По найденному производству ткани за 2005 и 2006 годы определяется цепной темп роста в 2006 году:

По найденному цепному темпу роста в 2006 году определяется цепной темп

По найденному производству ткани в 2006 году и заданному цепному темпу роста определяется производство ткани в 2007 году :

По найденному производству продукции в 2006 и 2007 году определяется абсолютный прирос в 2007 году: 2007 у2007 у2006 155 160,6 5,6 тыс. кв. м.

По заданному цепному темпу прироста в 2007 году определяется цепной темп прироста в 2007 году Tпрц 2007 Т р 2007 100 95,6 100 4,4%

По найденному производству продукции в 2006 и 2007 году определяется абсолютное значение 1% прироста в 2007 году

А%2007 0,01у2006 0,01 160,6 1,606 тыс. кв. м.

Выявление основной тенденции развития

Основной тенденцией развития (трендом) называется плавное и устойчивое изменение уровня явления во времени, свободное от случайных колебаний.

Задача состоит в том, чтобы выявить общую тенденцию в изменении уровней ряда, освобождённую от действия различных случайных факторов. С этой целью ряды динамики подвергаются обработке методами укрупнения интервалов, скользящей средней и аналитического выравнивания.

Метод укрупнения интервалов основан на укрупнении периодов времени, к которому относится наблюдение.

87

Пример 7. Имеются данные о товарообороте. Таблица 3 − Товарооборот, млрд руб.

Интервалы времени укрупняются до квартальных: 1-й квартал производство составило 7,4+7,9+8,7=24; 2-й квартал

производство составило 8,2+7,9+8,2=24,3 млрд руб.; 3-й квартал производство составило 8,3+8,8+8,7=25,8 млрд руб.; 4-й квартал

производство составило 8,8+8,3+9,0= 26,1 млрд руб.

Прослеживается четкая тенденция к росту квартальных объёмом производства.

Метод скользящих средних

Сущность метода состоит в том, что по исходным уровням ряда (эмпирическим данным) определяют расчётные (теоретические) уровни. При этом посредством осреднения эмпирических данных индивидуальные колебания погашаются и общая тенденция развития явления выражается в виде некоторой плавной линии (теоретические уровни).

88

Выравнивание можно проводить по нечётному и чётному числу уровней. Средняя из нечётного числа уровней определяется по средней арифметической простой и относиться к середине периода осреднения. Начало осреднения с каждой рассчитанной средней сдвигается на один уровень.

Пример 6. По данным таблицы 3 рассчитать 3-и и 4-членную скользящую среднюю за период. Трёхчленная скользящая средняя определяется:

Расчёт скользящей средней их нечетного числа уровней предполагает выполнение центрирования, которое заключается в том, что находятся средние их двух смежных скользящих средних для отнесения полученного уровня к определённой дате. Четырёхчленная скользящая средняя определяется:

Аналитическое выравнивание

При изучении общей тенденции методом аналитического выравнивания исходят из того, что изменения уровней ряда динамики могут быть с той или иной степенью точности приближения выражены усредненно с помощью определённых математических функций.

Самое простое выравнивание осуществляется по уравнению прямой, формула которой

y(t) a0 a1t

где y t— уровни, освобожденные от колебаний, выровненные по прямой;

a0 — начальный уровень тренда в момент или период, принятый за начало отсчёта времени;

89

a1 — среднегодовой абсолютный прирост (среднее изменение за единицу времени t; константа тренда).

Для определения параметров уравнения тренда применяют метод наименьших квадратов (МНК). Применение МНК для определения параметров линейного тренда y(t) a0 a1t даёт систему двух линейных уравнений:

Решение системы уравнений выбирается таким образом, чтобы Σ t = 0. В рядах с нечётным числом членов это выполняется при условии, что для центрального члена ряда t = 0 и вправо t — +1, +2, +3..., а влево: -1, -2, -3...

В таком случае система нормальных уравнений упрощается и имеет вид:

Пример 7. Все необходимые действия для аналитического выравнивания ряда динамики товарооборота представлены в таблице 4.

Таблица 4 −Аналитическое выравнивание ряда динамики товарооборота

90

Изучение сезонности явлений

Для оценки сезонности используется индекс сезонности, расчёт которого осуществляется разными способами

Расчёт индекса сезонности по данным за один календарный год – 2010 год

Расчёт индекса осуществляется по формуле

Iсез yi 100 ,

y

где yi − фактический уровень показателя за i - й месяц

y − среднемесячный уровень показателя