- •Предисловие
- •Основные понятия
- •Глава 1. Анализ одномерных временных рядов
- •1.1. Анализ временного ряда на стационарность (автокорреляционная функция)
- •1.2. Компоненты временного ряда
- •1.3. Показатели точности прогноза
- •1.4. Сглаживание уровней временных рядов
- •1.5. Аналитическое выравнивание временных рядов
- •1.6. Проверка стабильности модели тренда (тест Чоу)
- •1.7. Применение фиктивных переменных при моделировании тренда
- •1.8. Сезонная декомпозиция временного ряда
- •1.9. Полиномиальные модели экспоненциально взвешенных средних
- •1.10. Моделирование стационарных временных рядов
- •1.10.1. Процессы белого шума и случайного блуждания
- •1.10.2. Процесс случайного блуждания и единичный корень
- •1.10.3. Модели скользящего среднего и процесс белого шума
- •1.10.4. Модели авторегрессии – скользящего среднего (методология Бокса – Дженкинса)
- •Глава 2. Многомерные модели временных рядов
- •2.1. Динамические модели со стационарными переменными
- •2.1.1. Модель коррекции остатков
- •2.1.2. Модель частичного приспособления
- •2.1.3. Уравнения модели с полиномиально распределённым лагом (лаги Алмон)
- •2.1.4. Уравнения модели с геометрически распределённым лагом (метод Койка)
- •2.2. Динамические модели с нестационарными переменными
- •2.2.1. Ложная регрессия
- •2.2.2. Единичные корни и коинтеграция
- •Глава 3. Векторные модели авторегрессии
- •3.1. Общие положения
- •3.2. Тест Гренджера на причинность
- •3.3. Модель коррекции остатков для нестационарных временных рядов
- •Глава 4. Панельные данные
- •4.1. Основные понятия
- •4.2. Модель с фиксированными эффектами
- •4.3. Модель со случайными эффектами
- •4.4. Фиксированные эффекты или случайные?
- •4.5. Качество подгонки панельных данных моделью
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Глава 1. Анализ одномерных временных рядов………….………………...5
- •Глава 2. Многомерные модели временных рядов…………… ……….…45
- •Глава 3. Векторные модели авторегрессии………………………………...64
- •Глава 4. Панельные данные…………………………………………….……76
- •680042, Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 134, хгаэп, риц
1.10. Моделирование стационарных временных рядов
Большое внимание в эконометрических исследованиях уделяется моделированию стационарных временных рядов. Это объявляется тем, что многие временные ряды могут быть приведены к стационарному виду после операции выделения тренда, удаления сезонной компоненты или взятия разности. К тому же ряды ошибок статистических моделей, как правило, являются стационарными.
Среди моделей стационарных временных рядов наиболее распространены модели авторегрессии и модели скользящего среднего.
Рассмотрим наиболее простые из них.
1.10.1. Процессы белого шума и случайного блуждания
Процессом белого шума называют стационарный временной ряд, для которого математическое ожидание равно нулю, дисперсия постоянна и не зависит от времени, и коэффициенты автокорреляции любого порядка равны нулю. Последнее означает, что речь идёт о чисто случайном стационарном процессе без какой-либо автокорреляции. Процессом авторегрессии в простейшей форме (авторегрессия первого порядка или AR(1)-процесс без константы) называется процесс, описываемый следующим уравнением:
(1.2)
где – процесс белого шума, – некоторая случайная величина (начальное значение), а – некоторый постоянный коэффициент.
Вычислим дисперсию этого процесса.
D(yt) = β2 D(yt-1) + σ2,
где σ2 – дисперсия белого шума. Если рассматриваемый временной ряд стационарный, то D(yt) = D(yt-1), тогда D(yt) = β2 D(yt) + σ2 или D(yt) = σ2/(1- β2), что имеет смысл, если |β|<1. Получили, что если |β|<1, то модель (1.2) описывает стационарный временной ряд,
Запишем соотношение (1.2) через процесс белого шума. Для этого перепишем (1.2) для индекса t-1. Получим yt-1 = βyt-2 + t-1. Подставив полученное выражение для yt-1 в (1.2) получим yt = β(βyt-2 + t-1) + t или yt = β2yt-2 + β t-1 + t. Повторив эту процедуру (подставив в последнее выражение yt-2) получим yt = β3yt-3 + β2 t-2 + β t-1 + t и т.д. Окончательно получим (при y0 =0):
yt = βt-1 1 + βt-2 2 +…+ β2 t-2 + β t-1 + t.
Пусть теперь . Тогда
yt = 1 + 2 +…+ t-2 + t-1 + t.
Вычислим дисперсию последнего процесса. Получим D(yt) =tσ2, т.е. дисперсия зависит от времени и процесс, описываемый моделью (1.2) при , не является стационарным. Такие процессы называют процессами случайного блуждания (random walk process). Такое название объясняется тем, что каждое последующее значение уровня такого ряда определяется случайным отклонением от предыдущего: yt = yt-1 + t.
Процесс случайного блуждания отличается от стационарного процесса AR(1) тем, что влияние возмущений t в нём не затухает:
yt = t + t-1 + t-2 + t-3 +…
в то время как в AR(1) их влияние с течением времени затухает (|β| < 1):
yt = t + β t-1 + β2 t-2 + β3 t-3 + … .
Процесс случайного блуждания называют также процессом со стохастическим трендом и записывают yt = .
Если в процесс случайного блуждания yt = yt-1 + t включить константу, т.е. представить его в виде yt = µ + yt-1 + t, то получим случайное блуждание с дрейфом (random walk with drift). Такое название он получил потому, что повторив для этого процесса вышеприведённую процедуру получим
yt = µ t + 1 + 2 +…+ t-2 + t-1 + t.
В этом случае на стохастический тренд накладывается ещё и детерминированный линейный тренд, т.е. yt = µ t + .
Если , то имеем нестационарный случайный процесс взрывного характера и в экономическом анализе такие процессы обычно не рассматриваются.
На рисунке 1.21 приведены примеры временных рядов для рассмотренных случаев. Вверху, слева пример белого шума, справа – пример случайного блуждания (AR(1)-процесс без константы с ). Внизу, справа – пример случайного блуждания с дрейфом (AR(1)-процесс с константой и с ). Внизу, слева – AR(1)-процесс взрывного характера (с β =1,1, т.е. с ).
Рисунок 1.21 – Графики анализируемых рядов
Введём понятие лагового оператора L. Если его применить к ряду yt,, то тем самым сдвинем уровень ряда на один такт времени назад, т.е. Lyt = yt-1. Перепишем процесс случайного блуждания с помощью этого оператора: yt = yt-1 + t или yt – yt-1 = t. Далее (с применением оператора сдвига) получим yt – Lyt = t или (1-L)yt = t. Такие процессы называются процессами единичного корня. Этот термин объясняется тем, что у лагового полинома корень равен единице, т.е. корень уравнения β(L) = 0 равен единице (L = 1).
На практике модель случайного блуждания используется для описания относительных показателей, в том числе динамики темпов роста, а процесс случайного блуждания с дрейфом – для описания многих временных рядов, описывающих абсолютные показатели, включая предложение денег и реального валового национального продукта.
Следует различать типы стационарных процессов: они могут быть стохастическими и AR(1)-процессами. Визуально их различить проблематично. Так, на рисунке 1.22 приведены графики двух стационарных рядов; слева – белый шум, справа – AR(1)-процесс с параметром β = 0,5.
Рисунок 1.22 – Графики анализируемых рядов
Рисунок 1.23 – Кореллограммы анализируемых рядов
Визуально они действительно мало различимы, но их кореллограммы существенно различаются. В случае белого шума автокорреляции не выходят за пределы доверительной области нуля и соответствующие Q-статистикам вероятности больше 0,05 (левая часть рисунка 1.23). А в случае стационарного AR(1)-процесса автокорреляции и частные автокорреляции (по крайней мере, первого порядка) значимо отличны от нуля и Q-статистика и соответствующие им вероятности отклоняют гипотезу о том, что это белый шум. Но тем не менее этот ряд стационарный.