4.3. Модель со случайными эффектами

В регрессионном анализе обычно предполагается, что все факторы, которые влияют на зависимую переменную, но не вошли в модель в качестве регрессоров, могут в итоге суммироваться в случайном остаточном члене уравнения. В случае панельных данных это приводит к предположению, что эффекты α_i являются случайными факторами, независимо и одинаково распределёнными по объектам. В этом случае модель случайных эффектов может быть записана в виде

y_it =µ + β + α_i + ε_it, ε_it НОР(0 , α_i НОР(0 ,

где α_i + ε_it рассматривается как остаточный член, состоящий из двух компонент: индивидуальной специфической компоненты, которая не изменяется во времени, и компоненты остатка, которая по предположению является не коррелированной во времени, таким образов, вся корреляция остатков во времени приписывается индивидуальным эффектам α_i. Предполагается также, что α_i и ε_it взаимно независимы и независимы от x_js (для всех j и s). Это означает, что МНК-оценки для µ и β в модели со случайными эффектами являются несмещёнными и состоятельными. Структура компонент остатков подразумевает, что составной остаток α_i + ε_it будет иметь определённый вид автокорреляции (если . Следовательно, обычно вычисляемые стандартные ошибки для МНК-оценок будут некорректны и этом случае лучше воспользоваться обобщённым МНК (ОМНК), используя структуру ковариационной матрицы остатков. Так можно получить ОМНК-оценку параметром модели со случайными эффектами.

Оценки параметров модели со случайными эффектами получаются аналогично рассмотренным ранее оценкам с фиксированными эффектами из уравнения регрессии в отклонениях от индивидуальных средних, но взятых с весами υ = 1 – ψ², где ψ = ):

= µ β + u_it.

Оценки со случайными эффектами обозначаются как (random effects).

При ψ = 0 имеем модель с фиксированными эффектами. При ψ = 1 ОМНК-оценка просто является МНК-оценкой. Можно показать, что ОМНК-оценка является средневзвешенной оценкой внутригрупповой и межгрупповой оценок для вектора параметров β. Межгрупповая оценка является обычной МНК-оценкой вектора параметров β в модели индивидуальных средних:

= µ + β + α_i + , i = 1,2,…,n.

Таким образом, ОМНК-оценка (оценка параметров модели со случайными эффектами) является матрично-взвешенным средним межгрупповой и внутригрупповой оценок, где веса зависят от соотношения дисперсий этих двух оценок.

Межгрупповая оценка игнорирует любую внутригрупповую информацию. ОМНК-оценка является оптимальной комбинацией внутригрупповой и межгрупповой оценок и поэтому более эффективна, чем любая из этих двух оценок в отдельности. Если объясняющие переменные независимы от всех ε_it и всех α_i, то ОМНК-оценка является несмещённой и состоятельной.

Отметим, что компоненты дисперсий и на практике неизвестны и оцениваются предварительно на основе реализуемого ОМНК. В разных статистических пакетах они могут оцениваться по-разному, поэтому результаты таких оценок могут различаться для разных пакетов.

Оценка, полученная реализуемым ОМНК, называется оценкой со случайными эффектами для вектора неизвестных параметров β (и µ).

По аналогии с моделью с фиксированными эффектами встаёт вопрос: различаются ли компоненты ошибки α_i у разных объектов наблюдения?

С этой целью вместо проверки гипотезы о том, что α_i = α_j для любых i,j формулируется гипотеза в соответствии с постановкой модели со случайными эффектами: H₀ : α_i = 0 против альтернативы H_а : α_i > 0. Для проверки этой гипотезы применяют тест множителей Лагранжа с тестовой статистикой вида (тест Бреуша – Пагана)

LM = )².

Здесь Если верна нулевая гипотеза и выполняется предпосылка о нормальном распределении ошибок, LM-тест имеет асимптотическое χ²-распределение с одной степенью свободы. Если нулевая гипотеза отклоняется, то имеем модель со случайными эффектами, в противном случае – объединённую модель.