2.1.1. Модель коррекции остатков

Запишем альтернативный способ формулировки авторегрессионной модели распределённых лагов из выражения (2.1). Для начала запишем выражение (2.2) короче, введя обозначения α = δ/(1- α₁), β = (β₀ + β₁)/(1- α₁). Получим

M(y_t) = α + β M(x_t).

Преобразуем теперь выражение (2.1). Вычтем из обеих его частей y_t-1 и в правой части добавим и вычтем β₀ x_t-1.

Получим

y_t – y_t-1 = δ + α₁ y_t-1 – y_t-1 + β₀ x_t – β₀ x_t-1+ β₀ x_t-1 + β₁ x_t-1 + ε_t

или

Δ y_t = δ – (1– α₁)y_t-1 + β₀ Δ x_t + (β₀ + β₁) x_t-1 + ε_t

или

Δ y_t = β₀ Δ x_t – (1– α₁)[y_t-1 – α – βx_t-1]₊ ε_t. (2.3)

В квадратных скобках α и β соответствуют введённым обозначениям и выражение в них соответствует остатку равновесия y_t = α + βx_t в предыдущий момент времени (t–1). Формулировка (2.3) является примером модели коррекции остатков. Согласно данной модели, приращение в переменной y_t (т.е. Δy_t) происходит из-за текущего приращения в переменной x_t (т.е. Δx_t) плюс член коррекции остатков. Если остаток равновесия в квадратных скобках положителен, то производится отрицательная дополнительная коррекция в переменной y_t. Скорость коррекции определяется коэффициентом (1–α₁), который является параметром коррекции. Предположение устойчивости гарантирует, что (1–α₁) > 0. Модель коррекции остатков можно состоятельно оценить методом наименьших остатков. В обеих моделях (и в (2.1) и в (2.3)) предполагается, что значения x_t рассматриваются как заданные, т.е. как не коррелированные с членами ошибок уравнений иначе оценки их параметров были бы несостоятельными. Причём, эти оценки для обеих моделей будут численно идентичны.

2.1.2. Модель частичного приспособления

Это следующий специальный случай модели (2.1). Обычно в экономике субъекты не сразу могут приспособиться к меняющимся условиям – это происходит постепенно и для этого нужно время. Такие процессы можно моделировать с помощью модели частичного приспособления или модели неполной корректировки.

Пусть y_t^* – (эмпирически ненаблюдаемый) оптимальный или желаемый уровень y_t и предположим, что этот уровень зависит от реального значения переменной x_t и эта зависимость описывается моделью

y_t^* = α + βx_t +η_t, (2.4)

где α и β – неизвестные параметры модели, а η_t – остаточный член, независимый от x_t и его лаговых значений. Фактическое значение y_t отличается от y_t^* потому, что коррекция её оптимального уровня, соответствующая x_t, не является мгновенной. Предположим, что коррекция является только частичной в том смысле, что

y_t - y_t-1 = (1– α₁)(y_t^* – y_t), (2.5)

где 0 < α₁ < 1. Коэффициент (1 – α₁) называется корректирующим коэффициентом. Чем ближе его значение к 1, тем в большей степени реальная динамика анализируемого показателя отвечает ожидаемому оптимальному уровню и наоборот, чем ближе его значение к 0, тем менее его реальное изменение соответствует желаемому изменению.

Подставив в соотношение (2.5) выражение (2.4), получим

y_t = y_t-1 + (1– α₁)α + (1– α₁) β x_t + (1– α₁) y_t-1 + (1– α₁) η_t = δ + α₁ y_t-1 + β₀ x_t + ε_t,

где δ = (1– α₁)α, β_{0 =} (1– α₁) β, ε_t =(1– α₁) η_t. (2.6)

Окончательно получили

y_t = δ + α₁ y_t-1 + β₀ x_t + ε_t. (2.7)

Эта модель является частным случаем модели (2.1), поскольку не включает x_t-1. Модель, заданная соотношениями (2.4) и (2.5), называется моделью частичного приспособления или неполной корректировки.

Параметры модели (2.4) (эта модель называется долгосрочной функцией модели неполной корректировки) непосредственно оценить не представляется возможным из-за того, что зависимая переменная в ней непосредственно не наблюдается. После преобразования получили уравнение модели (2.7) (эта модель называется краткосрочной функцией модели неполной корректировки), в которой все входящие в неё переменные наблюдаются непосредственно и параметры этой модели можно оценить методом наименьших квадратов, а после этого получить оценки и параметров модели (2.4), воспользовавшись (2.6).

Следует отметить, что при оценке параметров уравнения (2.7) (это уравнение авторегрессии первого порядка) обычным методом наименьших квадратов можно столкнуться с проблемой, связанной с нарушение предпосылки о независимости регрессоров и остатков, т.к. в правую часть этой модели входит лаговое значение зависимой переменной. Одним из методов решения этой проблемы является применение метода инструментальных переменных.

Рассмотрим ещё одну модификацию уравнения (2.1). Предположим, что в правой части этого уравнения отсутствует лаговое значение зависимой переменной, а независимая переменная присутствует с несколькими лагами. Такая модификация уравнения (2.1) называется уравнением модели с распределённым лагом.

Рассмотрим два варианта таких моделей – с конечной величиной максимального лага (полиномиальные лаги) и с бесконечной величиной лага (геометрические лаги).