Глава 3. Векторные модели авторегрессии

3.1. Общие положения

Векторная модель авторегрессии описывает динамическое развитие нескольких переменных на основе их общей истории, т.е. это такая модель, в которой изучаются несколько зависимых переменных, зависящих от собственных лагов и от лагов других переменных. Наибольший порядок запаздываний, включаемых в модель, называется порядком векторной авторегрессии. Если этот порядок равен р, то для такой модели используют обозначение VAR(p).

Векторные модели авторегрессии (Vector Autoregression – VAR) можно рассматривать как некий гибрид моделей одномерных временных рядов и систем одновременных уравнений. При их применении не приходится решать вопросы отнесения той или иной переменной к эндогенным или экзогенным переменным, что порой не совсем просто. Кроме того, эти модели позволяют исследовать зависимости с более сложной структурой, чем в анализе одномерных временных рядов или с использованием более сложных систем одновременных систем уравнений, что во многих случаях обеспечивает более высокое качество прогнозов.

К недостаткам VAR-моделей можно отнести неопределённость в выборе подходящей длины лага, значительное число оцениваемых параметров и то, что все переменные в модели должны быть стационарными. Данные проблемы решаются дополнительными исследованиями (имитационное моделирование, преобразование переменных и т.п.).

Рассмотрим частный случай, когда рассматриваются две переменные и зависят они от лаговых значений этих переменных до второго порядка включительно. Такая модель (VAR(2)) имеет вид

где и – два процесса белого шума (независимые от истории у и х), которые могут быть коррелированы. Называются они по-разному: инновации, шоки, импульсы. Оценивают параметры таких моделей обычным МНК, применяемым к каждому уравнению отдельно.

Запишем эту модель в матричном виде, введя обозначения

, ,

Получим или . Последнее выражение можно представить как где L – лаговый оператор.

Известно, что условием стабильности такой модели является тот факт, что все обратные корни уравнения det лежат за пределами единичного круга, т.е. их модули больше единицы. В отчёте о стабильности в статистических программах отражаются обычно величины, обратные к этим корням, поэтому условием стабильности будем считать наличие всех корней, по модулю меньших единицы.

Приведём пример оценённой VAR, используя временные ряды на рисунке 2.8. Закажем VAR(2), выбрав «Proc/Make Vector Autoregression…».

По умолчанию установим VAR(2) с константой в качестве экзогенной переменной. Щёлкнув «ОК», получим оценку VAR-модели (рисунок 3.1). Для каждого уравнения VAR-модели здесь рассчитываются традиционные показатели их точности. Как указано в заголовке окна отчёта, внизу под оценками параметров в круглых скобках указаны стандартные ошибки оценок, а ниже (в квадратных скобках) – соответствующие t-статистики. Считается, что если t-статистика меньше двух, то оценка незначимо отлична от нуля. Если ориентироваться на это, то значимо отличаются от нуля в нашем примере в первом уравнении – оценки при переменных cpr_t-1, tbr_t-1 и константы, а во втором уравнении – при переменной tbr_t-1 и константы. Следовательно, можно было бы ограничиться оценкой модели VAR(1).

Рисунок 3.1 – Оценка VAR-модели

Оценённая VAR-модель имеет вид (с округлением во втором знаке и без учёта значимости оценок)

cpr_t = 0,66 + 0,5 cpr_t-1 – 0,22 cpr_t-2 + 0,72tbr_t-1 – 0,02tbr_t-2 + e_1t,

tpr_t = 0,47 -0,23 cpr_t-1 – 0,08 cpr_t-2 + 1,4tbr_t-1 – 0,13tbr_t-2 + e_2t,.

Ниже (рисунок 3,2) приведена проверка VAR-модели на стабильность. Как видим, условие стабильности выполняется (все корни меньше единицы).

Рисунок 3.2 – Проверка VAR-модели на стабильность