1.9. Полиномиальные модели экспоненциально взвешенных средних

В этом направлении разработан целый комплекс моделей. Кратко рассмотрим несколько из них. Здесь предполагается, что анализируемые ряды нестационарны и имеют линейный или квадратичный тренды.

Хольта линейное экспоненциальное сглаживание предполагает, что среднее прогнозируемого показателя y_t изменяется линейно по времени:

y_t = μ_t + λ_t t + ε_t,

где μ_t – среднее процесса, λ_t – его скорость (меняются во времени), а ε_t – случайная ошибка. При этом оценка λ_t осуществляется по показателю роста b_t, который вычисляется как экспоненциально взвешенное среднее разности между текущими экспоненциально взвешенными средними значениями элементов временного ряда u_t и их предыдущими значениями u_t-1 и предыдущим значением b_t-1. В свою очередь, текущее значение экспоненциально взвешенного среднего u_t включает в себя значение прошлого показателя роста b_t-1, адаптируясь таким образом к предыдущему значению линейного тренда.

Уравнения метода Хольта:

u_t = αy_t +(1-α)(u_t-1 + b_t-1) и b_t = β(u_t - u_t-1) + (1 – β)b_t-1,

где α и β – параметры сглаживания.

Если τ – горизонт прогнозирования, то прогноз на τ моментов времени по модели Холта вычисляется по формуле

f_t+τ = u_t + b_t τ.

Здесь u_t – оценка среднего текущего значения, b_t – ожидаемый показатель изменения.

Значения α и β подбираются по минимальной ошибке прогноза. Параметр α предназначен для сглаживания оценки постоянного уровня элементов временного ряда, β – для оценки тренда.

Брауна линейное экспоненциальное сглаживание предполагает, что прогноз на τ моментов времени вычисляется по формуле

f_t+τ = u_t + b_t τ,

где u_t = u_t-1+ b_t-1+ (1– γ)²e_t, e_t = y_t– f_t и b_t = b_t-1+ (1– γ)²e_t.

Брауна квадратичное экспоненциальное сглаживание предполагает, что прогноз на τ моментов времени вычисляется по формуле

f_t+τ = а₀ + а₁ τ + а₂ τ²,

причём параметры а₀, а₁ и а₂ выбираются так, чтобы на любой момент времени i взвешенная сумма квадратов отклонений между наблюдаемыми и ожидаемыми значениями обращалась в минимум:

= min.

Параметр γ в методе Брауна аналогичен параметру (1-α) в методе Хольта (показатель дисконтирования наблюдений) и задаётся из априорных соображений, в том числе и из условия минимизации указанной суммы.

Модель Винтера с сезонной компонентой. Эта модель, как и модели Хольта и Брауна, основывается на экспоненциально взвешенных средних. Оценке здесь подлежат отдельно каждая из составляющих ряда: стационарная, трендовая (в виде линейного тренда) и сезонная. Для каждой такой оценки вводятся свои параметры сглаживания: α, β и γ. При компьютерных расчётах они определяются в автоматическом режиме по минимальной ошибке прогноза. При этом прогноз на τ периодов времени строится по линейному тренду с учётом сезонности S_t+τ:

f_t+τ = (u_t + b_tτ) S_t-s+τ.

При этом оценки u_t и b_t оцениваются аналогично, как и в модели Хольта (с учётом сезонности):

u_t = α(y_t/S_t) +(1-α)(u_t-1 + b_t-1) и b_t = β(u_t - u_t-1) + (1 – β)b_t-1,

а для оценки сезонной составляющей используется

S_t = γ(y_t/u_t) + (1- γ)S_{t-s+ τ}.

Здесь s – длина сезонности.

Двойное экспоненциальное сглаживание предполагает экспоненциаль-

но сгладить простую экспоненциально сглаженную:

,

,

где – простая экспоненциально сглаженная;

– двойная экспоненциально сглаженная.

Прогноз по этой модели осуществляется по соотношению

,

т.е. по линейному тренду с константой, равной и наклоном .

В заключение отметим, что здесь были приведены только простейшие адаптивные методы моделирования нестационарных временных рядов, на основе которых можно анализировать и прогнозировать тенденции уровней временных рядов (в том числе и с учётом сезонности).

При выборе той или иной модели при работе с конкретным временным рядом можно пользоваться различными критериями. Один из них – минимальная ошибка прогноза.

В программе Statgraphics имеется процедура, позволяющая выбрать среди нескольких моделей лучшую по одной из таких ошибок. На рисунке 1.19 приведён пример использования такой процедуры.

Рисунок 1.19 – Отчёт о расчёте моделей с использованием ошибок прогноза

Как видно из этого рисунка, имеется пять моделей, и если среди них надо выбрать лучшую, ориентируясь на ошибку, то можно предпочесть модель (А) – линейный тренд, хотя у модели (В) средняя процентная ошибка (МРЕ) меньше.

В EViews результат расчёта по модели Хольта приведены на рисунке 1.20. Здесь исходная информация несколько отличается от предыдущего примера. Так, наравне с вычисленными значениями коэффициентов α и β приведены прогнозные значения u_t и b_t.

Рисунок 1.20 – Окно отчёта для модели Хольта из EViews