Глава 2. Многомерные модели временных рядов

До сих пор рассматривались модели для стохастического процесса единственного временного ряда. Но в экономической практике переменные, как правило, взаимосвязаны и значения одной из них могут помочь в прогнозировании значений другой. Поэтому более интересно рассматривать одновременно несколько временных рядов. Кроме улучшения прогнозов, анализ нескольких временных рядов одновременно позволяет рассматривать вопросы «что если». Например, как изменятся расходы семьи при изменении доходов?

2.1. Динамические модели со стационарными переменными

В эконометрическом анализе динамическими называют модели, в которых в правой части содержатся лаговые значения рассматриваемых переменных. Тем самым отражается динамика анализируемых показателей.

Рассмотрим две стационарные переменные y_t и x_t и предположим, что имеет место соотношение

y_t = δ + α₁ y_t-1 + β₀ x_{t +} β₁ x_t-1 + ε_t. (2.1)

Пусть это будут: y_t – объёмы продаж компании, x_t – затраты на рекламу в период t. Если предположить, что ε_t является процессом белого шума, независимым от регрессоров и их предыстории, то это соотношение называют авторегрессионной моделью распределённых лагов. Для состоятельной оценки параметров этой модели можно использовать обычный метод наименьших квадратов (все его предпосылки выполняются).

Рассмотрим описание текущих и будущих значений переменной y_t в зависимости от динамических эффектов изменения в переменной x_t. Взяв частные производные, получим, что непосредственный отклик в момент времени t задаётся в виде

y_t/x_t = β₀.

Этот отклик называют краткосрочным мультипликатором воздействия. Увеличение х_t на единицу влечёт непосредственное изменение у_t на β₀ единиц.

Эффект после одного периода времени (в момент времени t+1) равен

y_t+1/x_t =α₁ y_t/x_t + β₁ = α₁ β₀ + β₁,

а после двух периодов

y_t+2/x_t = α₁ _yt+1/x_t = α₁ (α₁ β₀ + β₁)

и т. д. Это показывает, что после первого периода эффект уменьшается, если |α₁|<1. Как известно, это условие является требованием стационарности авторегрессионного процесса и позволяет определить долгосрочный динамический эффект единичного приращения x_t. Этот эффект задаётся долгосрочным динамическим мультипликатором (или мультипликатором равновесия). Просуммируем промежуточные мультипликаторы

β₀ + (α₁ β₀ + β₁) + α₁ (α₁ β₀ + β₁) + … = β₀ + (α₁ β₀ + β₁) (1+ α₁ + α₁² +… ) =

= β₀ + (α₁ β₀ + β₁) /(1- α₁) = (β₀ + β₁)/(1– α₁).

Таким образом, если затраты на рекламу x_t возрастут на единицу, то ожидаемое накопленное увеличение в объёмах продаж выражается в виде (β₀ + β₁)/(1– α₁).

Если возрастание x_t является постоянным, то долгосрочный динамический мультипликатор имеет интерпретацию математического ожидания долгосрочного динамического постоянного возрастания y_t. Из соотношения (2.1) в предположении стационарности рассматриваемых временных рядов (т.е. если M(y_t) = M(y_t-1) и M(x_t) = M(x_t-1) – математические ожидания не зависят от времени и M(ε_t) = 0) получим

M(y_t) = δ + α₁M(y_t) + β₀M₍x_t) ₊ β₁ M(x_t)

или

M(y_t) = δ/(1– α₁) +(β₀ + β₁)/(1– α₁) M(x_t). (2.2)

что представляет альтернативный вывод долгосрочного динамического мультипликатора.