ОТЦ / Lab_rab_df
.pdf
Последовательное включение катушек индуктивности.
Рисунок 3.6 – Способы включения катушек индуктивности: а) согласное включение; б) встречное включение
Индуктивность цепи LC определяется в этом случае выражением:
LC L1 L2 2M . (3.4)
При последовательном встречном включении двух индуктивно связанных катушек (рисунок 3.6 б) суммарное мгновенное значение напряжения будет равно:
U |
B |
(R |
R |
|
)i |
B |
(L |
L |
2M ) |
diB |
, |
(3.5) |
|
|
|||||||||||
|
K1 |
K2 |
|
1 |
2 |
|
dt |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где iВ – ток при встречном включении катушек. |
|
|||||||||||
Индуктивность цепи LB |
определяется в этом случае формулой: |
|
||||||||||
|
|
|
LB |
L1 |
L2 |
2M . |
(3.6) |
|||||
Если в цепи с индуктивно связанными катушками действует гармоническая э.д.с., то расчет такой цепи проводят методом комплексных амплитуд. Выражения (3.3), (3.5) будут иметь тогда следующий вид:
U |
C |
(R |
K1 |
R |
K2 |
)I |
j2 f( L |
L |
2M )I |
, |
(3.7) |
|
|
|
C |
1 |
2 |
C |
|
|
U |
(R |
R |
)I |
j2 f(L |
L |
2M )I . |
(3.8) |
B |
K1 |
K2 |
B |
1 |
2 |
B |
|
Из выражений (3.7), (3.8) можно легко найти токи IC и IB |
при со- |
||||||
гласном и встречном включении взаимно связанных индуктивностей, если на их вход подано напряжение UBX :
IC |
|
|
|
UBX |
|
, |
(3.9) |
|
|
|
|
|
|
||||
( R |
R |
)2 4 2 f 2(L L 2M )2 |
||||||
|
|
|
|
|||||
|
|
K1 |
K2 |
1 2 |
|
|
|
|
21
IB |
|
|
|
|
|
|
UBX |
|
|
|
|
|
|
. |
(3.10) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(R |
R |
|
)2 |
4 2 f |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2(L L 2M )2 |
|
||||||||||||
|
|
K1 |
K2 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
||
Если (RK1 RK2 ) 2 f(L1 L2 |
2M ), |
то выражения (3.9), |
(3.10) |
||||||||||||
упрощаются: |
|
|
|
|
UBX |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
IC |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
(3.11) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 f(L L 2M ) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IB |
|
|
UBX |
|
|
. |
(3.12) |
|||||
|
|
|
2 f(L L |
2M ) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Величина j2 fM носит название сопротивление связи. Эта величина положительна при согласном включении катушек и отрицательна при встречном включении.
Для количественной характеристики двух индуктивно связанных катушек используется коэффициент связи k определяемый выражением:
k |
|
M |
|
|
. |
(3.13) |
|
|
|
|
|||
L L |
||||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
Две индуктивно связанные и включенные параллельно катушки индуктивности без сердечника образуют воздушный трансформатор (рисунок 3.7). Если токи и напряжения на входе и выходе трансформатора обозначить через I1,U1,I2 ,U2, то уравнения трансформатора запишутся в виде:
( R |
K1 |
j2 fL |
)I |
j2 fMI |
U |
, |
|
(3.14) |
|||
|
|
1 |
|
1 |
|
2 |
1 |
|
|
|
|
j2 fMI |
( R |
K |
2 |
j2 fL |
Z |
)I |
0. |
(3.15) |
|||
|
|
1 |
|
|
2 |
Н |
2 |
|
|
||
Рисунок 3.7 – Электрическая схема воздушного трансформатора
Определяя из выражения (3.15) ток I2 и подставляя его значение в выражение (3.14), найдем сопротивление на входе трансформатора:
ZBX1 |
U |
1 |
RK1 j2 fL1 |
(2 fM )2 |
|
. |
(3.16) |
|
|
|
|
||||
|
I1 |
|
RK2 j fL2 Z |
Н |
|
||
Третье слагаемое в выражении (3.15) представляет собой комплексное сопротивление ZВН , вносимое из вторичной обмотки в первичную:
22
ZВН |
|
|
|
|
|
(2 fM )2 |
|
. |
(3.17) |
|||||
|
R |
|
|
j2 fL |
|
|||||||||
|
|
|
K2 |
Z |
Н |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
Схема замещения трансформатора представлена на рисунке 3.8. Если |
||||||||||||||
сопротивление нагрузки активно Z |
R , то выражение (3.17) запишется |
|||||||||||||
в виде: |
|
|
|
|
|
Н |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 fM )2 |
|
|
|
|
|||||
ZВН |
|
|
|
|
|
|
. |
(3.18) |
||||||
R |
K2 |
R |
2 |
j |
2 fL |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
Рисунок 3.8 – Схема замещения воздушного трансформатора
Активная RBH и реактивная XBH составляющие вносимого сопротивления определятся выражениями:
|
RBH |
|
|
|
(2 fM )2 R |
|
, |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
(3.19) |
||||||
|
(R |
K2 |
R |
)2 |
|
(2 fL )2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
XBH |
|
|
|
(2 f )3M 2L |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
. |
|
(3.20) |
|||||
|
(R |
|
R |
)2 (2 fL |
)2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
K2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
В режиме холостого хода I2 0 и уравнение трансформатора запи- |
||||||||||||||||||||
сывается в виде: |
|
|
j2 fL )I |
|
U |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
(R |
K1 |
|
, |
|
|
|
(3.21) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
j2 fMI1 |
U |
2 . |
|
|
|
|
|
(3.22) |
||||||||||
Ток в первичной обмотке трансформатора I1 и напряжение вторич- |
||||||||||||||||||||
ной обмотки трансформатора U2 определятся в этом случае выражениями: |
||||||||||||||||||||
|
I1 |
|
|
|
|
|
U1 |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
(3.23) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
R2 |
(2 fL |
)2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
K1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U2 2 fMI1. |
|
|
|
|
|
|
|
(3.24) |
||||||||
Величина n, определяемая как отношение напряжений U1 |
и U |
2 или |
||||||||||||||||||
токов I |
и I , называется коэффициентом трансформации: |
|
|
|||||||||||||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23
n |
U |
2 |
|
I1 |
. |
(3.25) |
U |
|
|
||||
|
1 |
|
I2 |
|
||
3.4 Подготовка к лабораторной работе
3.4.1 Рассчитать индуктивность двух одинаковых катушек L1 и L2 и взаимную индуктивность М между ними по заданным индуктивностям при согласного LC =123 мГн и встречного LB =90 мГн включения, используя выражения (3.4), (3.6).
3.4.2 Рассчитать действующее значение тока в цепи (рисунок 3.3а) при согласном и встречном включении катушек L1 и L2. Индуктивности LC =123 мГн, LB =90 мГн, действующее значение напряжения на входе стенда UBХ =1 В, его частота f =10 кГц. Входным сопротивлением генератора, сопротивлением резистора и потерями в катушках индуктивности пренебречь. Для расчета воспользоваться формулами (3.11), (3.12).
3.4.3 Для воздушного трансформатора, изображенного на рисунке 3.3б, в, рассчитать, используя результаты п. 3.4.1, напряжение на вторичной обмотке и ток через первичную обмотку при отключенной нагрузке R2, то есть в режиме холостого хода. Величинами RК1, RK2 (потерями в трансформаторе), сопротивлением R1 и внутренним сопротивлением генератора пренебречь, напряжение на первичной обмотке UBX = 1 В, его частота f = 10 кГц. Расчет выполнить на основе выражений (3.23), (3.24).
3.4.4 Используя результаты п. 3.4.1, рассчитать активную RBH и реактивную XBH составляющие сопротивлений, вносимых из вторичной отмотки трансформатора (см. рисунок 3.3б) в первичную. Вторичная обмотка нагружена на сопротивление R2.
Величины R2=300 Ом, f = 10 кГц. Величиной RK2 пренебречь. Расчет произвести по формулам (3.19), (3.20).
3.5 Порядок выполнения работы
3.5.1 Установить на входе стенда гармонический сигнал частотой f =10 кГц и напряжением UBX =1 В. При выполнении всех последующих пунктов лабораторного задания напряжение и частота сигнала на входе стенда не должны изменяться.
3.5.2С целью вычисления индуктивности L1 определить ток через нее, для чего собрать схему, представленную на рисунке 3.2а, и измерить напряжение на резисторе R1.
3.5.3Для вычисления индуктивности катушки L2 собрать схему, изображенную на рисунке 3.2б, и измерить напряжение на резисторе R1.
3.5.4Для вычисления индуктивности согласно включенных катушек L1 и L2 собрать схему, представленную на рисунке 3.3а, катушки включить согласно и измерить напряжение на резисторе R1.
24
3.5.5Для определения индуктивности встречно включенных катушек L1 и L2 собрать схему, изображенную на рисунке 3.2а, катушки включить встречно и измерить напряжение на резисторе R1.
3.5.6Собрать схему, представленную на рисунке 3.3б, и измерить напряжение на вторичной обмотке трансформатора при холостом ходе и напряжение на резисторе R1.
3.5.7Собрать схему, изображенную на рисунке 3.3в, и измерить напряжение на вторичной обмотке нагруженного трансформатора и на резисторе R1 (для определения тока первичной обмотки нагруженного трансформатора).
3.6 Обработка результатов
3.6.1 По результатам п. 3.5.2 определить индуктивность катушки L1 при R1=300 Ом. Расчет произвести по формуле:
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
UBX R1 |
|
2 |
|
|
|
|
R1 |
|||
|
|
|
|
|||
|
L1 |
U1 |
|
|
, |
|
|
|
2 f |
|
|||
|
|
|
|
|
||
где U1 – напряжение на резисторе R1, |
||||||
UBX =1В; |
f =10 кГц. |
|
|
|
||
3.6.2По результатам п. 3.5.3 определить индуктивность катушки L2, используя для этого приведенное выше выражение (R1=300 Ом).
3.6.3По результатам п. 3.5.4 определить индуктивность согласно включенных катушек L1 и L2.
3.6.4По результатам п. 3.5.3 определить индуктивность встречено включенных катушек L1 и L2.
3.6.5Используя результаты пп. 3.6.3, 3.6.4, найти взаимную индуктивность М между катушками по формуле:
M L C L B
4
3.6.6По результатам п. 3.5.6 определять ток первичной обмотки трансформатора при холостом ходе. R1=300 Ом.
3.6.7По результатам п. 3.5.7 определить ток первичной обмотки нагруженного трансформатора.
3.6.8Определить абсолютные и относительные погрешности изме-
рений.
Контрольные вопросы
1.Какие цепи называют связанными?
2.Какие виды связи возможны между цепями?
3.Что такое коэффициент связи двух контуров?
25
4.Чему равен коэффициент связи двух контуров, связанных магнитно?
5.Какое включение двух магнитно связанных цепей называют согласным и какое встречным?
6.Как экспериментально определить взаимную индуктивность между двумя катушками?
7.Что называется воздушным трансформатором?
8.Чему равно напряжение на зажимах разомкнутой вторичной цепи воздушного трансформатора?
9.Что такое вносимое сопротивление?
10.Где целесообразно применять воздушные трансформаторы?
11.Что такое коэффициент трансформации?
12.Нарисовать схему замещения воздушного трансформатора.
13.Построить векторную диаграмму напряжений и токов для воздушного трансформатора.
Рекомендуемая литература
[1, c.129–146; 2, c. 103–121; 3, c. 200–213, 4, c. 242–252].
Лабораторная работа № 4 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЙ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР
4.1Цель работы: изучение характеристик последовательного колебательного контура.
4.2Оборудование и материалы: электрический стенд для исследования характеристик последовательного колебательного контура, низкочастотный генератор и милливольтметр ВЗ-ЗЗ.
Принципиальная электрическая схема стенда приведена на рисунке 4.1. Для изучения характеристик используется контур, состоящий из последовательно соединенных катушки индуктивности L и конденсатора С. Имеется возможность изменения величины активного сопротивления контура (закорачивание резистора R1) и подключения сопротивления нагрузки R2. Упрощенные принципиальные схемы стенда представлены на рисунке 4.2. Схемы последовательного колебательного контура образуются путем подключения выводов катушки индуктивности L к гнездам 7, 8. Для получения схемы рисунка 4.2а необходимо, кроме того, соединить электрическим проводником гнезда 5 и 6, а для получения схемы рисунка
4.2б – гнезда 5 и 6, 9 и 10.
26
Рисунок 4.1 – Принципиальная схема стенда
Рисунок 4.2 – Упрощенные принципиальные схемы стенда
Источником гармонического напряжения является генератор, который подключается к гнездам 1, 2 (вход) стенда. Так как внутреннее сопротивление генератора (около 150 Ом) достаточно велико по сравнению с
27
сопротивлением потерь контура и значительно ухудшает резонансные свойства контура, то в стенде используется понижающий трансформатор с коэффициентом трансформации 0,1, напряжение вторичной обмотки которого подается на контур. При таком подключении внутренним сопротивлением источника можно пренебречь.
Напряжение на выходе колебательного контура измеряется милливольтметром, подключенным к гнездам 3, 4 стенда, а напряжение на конденсаторе контура – милливольтметром, подключенным к гнездам 11, 12 (выход) стенда.
4.2 Сведения из теории
Резонансом напряжения называется режим работы последовательного колебательного RLC-контура, при котором реактивная составляющая комплексного сопротивления контура равна нулю. Математическое условие резонанса напряжений выражается в виде:
2 f0L |
1 |
. |
(4.1) |
|
|||
|
2 f0C |
|
|
Частота f 0 , на которой выполняется условие (4.1), называется резонансной частотой контура. Она определяется выражением:
f0 |
|
|
1 |
|
. |
(4.2) |
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|||||
|
|
|
LC |
|
|||
Когда частота f источника гармонической э.д.с. совпадает с частотой f 0 , говорят, что последовательный колебательный контур настроен на частоту источника. В момент резонанса напряжения на емкости и индуктивности достигают максимальных значений, равных по величине и противоположных по знаку.
В режиме резонанса запас энергии W электромагнитного поля, связанного с контуром, остается неизменным. Величина его равна:
W LI02 CUCO2 , |
(4.3) |
где I0 – действующее значение тока контура при резонансе;
UC0 – действующее значение напряжения на емкости при резонансе. Энергия, первоначально запасенная в контуре, непрерывно перерас-
пределяется между электрическим и магнитным полями без участия в этом процессе источника гармонической э.д.с. Именно поэтому рассматриваемый контур называется колебательным. Задача источника э.д.с. в энергетическом смысле заключается только в том, что он поставляет активную мощность, расходуемую в сопротивлении R. Если бы контур не имел активного сопротивления, то в нем не было бы никаких потерь энергии, и источник э.д.с. в стационарном режиме был бы не нужен.
Энергетические соотношения в контуре характеризуются его добротностью Q, определяемой выражением:
28
Q |
2 f0W |
, |
(4.4) |
||
|
|
||||
|
|
P |
|
||
где Р – активная мощность, поступающая в контур при резонансе. |
|||||
Учитывая, что активная мощность Р равна: |
|
||||
P RI02 , |
(4.5) |
||||
а значение W определяется выражением (4.3), получим для добротности Q |
|||||
следующее соотношение: |
|
||||
Q |
2 f0L |
. |
(4.6) |
||
|
|||||
|
|
R |
|
||
Зная емкость контура С, добротность Q можно рассчитать также по формуле:
Q |
1 |
. |
(4.7) |
|
|||
|
2 f0RC |
|
|
Из выражений (4.6), (4.7) с учетом выражения (4.2) получим еще одну формулу для вычисления добротности Q:
|
|
L |
|
|
|
|
|
Q |
|
C |
|
|
. |
(4.8) |
|
R |
|
R |
|||||
|
|
|
|
|
|||
Величина , определяемая соотношением
|
L |
|
1 |
2 f |
0L, |
(4.9) |
|
|
|||||
|
C |
2 f0C |
|
|
||
называется характеристическим сопротивлением контура и измеряется в Омах.
В колебательных контурах, используемых в радиотехнике, изменяется в пределах от 100 до 500 Ом. Величина d, обратная добротности, называется затуханием контура:
d |
1 |
. |
(4.10) |
|
|||
|
Q |
|
|
Затухание радиотехнических колебательных контуров имеет величи-
ну от 0,003 до 0,01.
В радиотехнических устройствах колебательный контур иногда нагружается на активное сопротивление Rн, подключаемое параллельно емкости (рисунок 4.3).
29
Рисунок 4.3 – Электрическая схема нагруженного последовательного колебательного контура
Подключение сопротивления Rн, естественно, увеличивает потери в контуре и, следовательно, приводит к снижению его добротности. Для определения добротности нагруженного колебательного контура Qн заменим параллельное соединение Rн и С последовательным соединением емкости С и вносимого сопротивления Rвн (рис. 4.4).
Рисунок 4.4 – Схема замещения нагруженного колебательного контура
1
ОбычноRH 2 f0C , поэтому Rвн будет равно:
RBH |
1 |
. |
(4.11) |
|
RH (2 f0C)2 |
||||
|
|
|
Учитывая выражение (4.9), получим:
RBH |
2 |
|
|
|
. |
(4.12) |
|
|
|||
|
RH |
|
|
Таким образом, добротность нагруженного контура будет равна:
QH |
|
|
|
|
|
. |
(4.13) |
|
R R |
|
|
2 |
|||||
|
ВЫ |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
RH
При этом затухание контура увеличивается и становится равным:
dH |
|
1 |
|
R |
|
|
d dBH , |
(4.14) |
QH |
|
RH |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
где dвн – вносимое затухание.
30