6.1 Уравнения бокового возмущенного движения

Уравнения бокового возмущенного движения относительно произвольного опорного (невозмущенного) режима движения рассмотрены ранее и представлены в виде системы (4.6). Если в качестве опорного принять режим, указанный выше, то система уравнений упрощается и с учетом малости углов γ, β(γ, β≤20ْ) и кинетических соотношений, получим

;

;

;

; (6.1)

;

.

Здесь приняты допущения и обозначения: ; ; ;

; ; ; ; ; ;

; ; ; ; ; ;

; ; ; ; ; ;

, т.к. , , то

.

Вводя стандартные матричные обозначения для системы (6.1), имеем

.

После преобразования Лапласа при нулевых начальных условиях , которое приводится к виду

. (6.2)

6.2 Устойчивость в боковом возмущенном движении.

В уравнении (6.2) (pE - A), совпадающее по форме с (λE - A) и может быть использовано для составления характеристического уравнения

,

после раскрытия которого, получаем

, (6.3)

где: ;

;

.

Уравнение (6.3) приводится к виду

(6.4)

Здесь . Приближенное значение большого корня можно получить, пренебрегая в уравнении (6.3) слагаемыми со степенями p ниже третьей. Получим или

(6.5)

Из трех слагаемых наибольшим здесь является и в первом приближении можно принять . Приближенное значение малого корня можно оценить, отбросив в (6.3) три первых слагаемых. Получим

. (6.6)

Приближенные значения действительных корней можно найти методом последователь- ных приближений или любым другим способом.

Вычислив p₁ и p₂ по (6.4), определим p_3,4:

. (6.7)

Из уравнений (6.3), (6.4) следует

; (6.8)

,

откуда

. (6.9)

В уравнении (6.3) для , при ≤ _доп обычно , , . Однако а₀, характеризующий апериодическую устойчивость может быть как положительным, так и отрицательным. В соответствии с (6.8) при , корень p₂ может иметь любой знак. При ВС будет медленно (т.к. корень маленький) отклоняться от исходного режима, развивая Δβ, Δω_y, Δω_x и Δγ по апериодическому закону. Медленный нарастающий крен Δγ(t) вызовет разворот и снижение ВС по пологой спирали. В связи с этим движение, соответствующее малому корню p₂ = p_сп, называется спиральным.

По критерию Рауса-Гурвица к условиям , , следует добавить

, (6.10)

которые представляют собой (при , , ) соответственно условия апериодической и колебательной устойчивости. Границами апериодической и колебательной устойчивости являются

, где

.

При этом важное значение имеет соотношение величин и , которое приближено оценивается параметром æ . Границы устойчивости можно нанести в координатах (см. рис. 35).

Для ВС, обладающего статической устойчивостью в путевом и поперечном отношении при появлении скольжения будут возникать «восстанавливающие» моменты и , уменьшающие скольжение и крен (возникший в результате скольжения).

Пусть ВС накренилась вправо . В соответствии с (6.1) появится и пропорционально ему моменты и , под действием которых уменьшаются γ и β. Если велика, то сначала произойдет уменьшение до нуля угла β, а угол крена не успеет обнулиться, т.е. останется величина , т.к. и отсутствует «восстанавливающий» момент по крену. Таким образом, при больших и малых появляется остаточный крен, и движение будет происходить по спирали. Если наоборот, мала, то β будет уменьшаться медленно, а угол крена – быстро. В момент, когда крен станет нулевым, положительное β еще останется и ВС будет продолжать вращаться относительно OX. Левое полукрыло опускается. Появляется и благодаря моменту появится угловая скорость и крен в обратную сторону. Такое движение ВС называют «голландским шагом», имеющим форму «змейки». В виду того, что спиральное движение протекает относительно медленно (вяло) из-за малого значения p₂ оно слабо ощущается пилотом, даже в случае некоторой спиральной неустойчивости. Что касается характеристик колебательного движения – оно должно быть обязательно устойчивым. (АП-25. 25.181).

АП-25 25.177 d) В диапазоне скоростей от V_MO/M_MO–V_FC/M_FC максимальной эксплуатационной до максимальной скорости (М) для характеристик устойчивости допускается поперечная статическая неустойчивость, если неустойчивое движение развивается плавно, легко распознается и парируется пилотом. (отклонение элеронов обратное по знаку отклонения руля направления). В ранних НЛГС указывалось, что затухание боковых колебаний до 5% начальной амплитуды должно происходить не более чем за 12 секунд на взлетно-посадочных режимах и не более чем за 20 секунд на крейсерских режимах полета. Что касается спирального движения, при его неустойчивости допускается увеличение вдвое угла крена не менее чем за 20 секунд.

Лекция 10. 6.2.1 Устойчивость быстрого бокового движения

В (6.1), полагая cosα ≈ 1, sinα ≈ 0, δ_н/δ_э = 0, ; =0 получаем две системы, которые можно изучать раздельно:

;

, (6.11)

описывающую движение рыскания и

;

(6.12)

- движение крена. Причем система (6.11) может исследоваться независимо от (6.12), в свою очередь устойчивость системы (6.12) можно анализировать только по первому уравнению.

Характеристическое уравнение системы (6.11)

, (6.13)

где: ; .

Корни этого уравнения комплексные и движение носит колебательный характер

;

. (6.14)

С учетом решения для β(t), характеристическое уравнение (6.12) имеет вид

(6.15)

и решение его

. (6.16)

Изменение ω_x в соответствии с (6.16), (6.12) и (6.14) будет следующим

. (6.17)

Устойчивость по критерию Рауса –Гурвица(при ) достигается при

, (6.18)

где

; (6.19)

- относительная плотность ВС в боковом движении. - называют степеньо статической устойчивости по каналу рыскания.