5.2 Выделение быстрой и медленной составляющих продольного возмущенного движения

Исследования решений уравнения (5.5) показывают, что для большинства ВС имеются два больших λ₁₂ = ξ₁±iη₁ и два маленьких λ₁₂ = ξ₁±iη_2. Причем одна пара корней |λ_1,2|>>|λ_3,4| и отличается в десятки раз. Движение с большими |λ_1,2| будет быстро затухающим (чаще всего колебательным) и называется короткопериодическим, а с малыми |λ_3,4| - длиннопериодическим или медленным. Быстро изменяются: Δα(t), Δω_z(t), Δ (t). Медленно изменяются: ΔV(t), Δθ(t). При исследовании быстроизменяющихся параметров можно принять ΔV≈0, т.е. изменение скорости не успевает произойти V = V˚ = const, а при изучении ΔV(t), Δθ(t) можно считать, что быстрое изменение Δα(t), Δω_z(t) и Δ (t) закончилось и принять α, ω_z и равными балансировочным значениям:

α = α_бал, ω_z = 0, = α_бал + θ = const. (β = γ_a = 0).

5.2.1. Собственное продольное короткопериодическое возмущенное движение вс. Условия устойчивости опорного движения.

Рассмотрим часть уравнений (5.1) для Δθ, Δω_z и Δ , полагая, что за время быстрого вращательного движения скорость не успевает измениться существенно, т.е. ΔV = 0

= a₂₂ Δθ + a₂₄ Δ ;

= a₃₂ Δθ + a₃₃Δω_z + a₃₄ Δ ; (5.6)

Δْ = Δω_z;

Δθ = Δ – Δα;

= Δω_z - ;

Δω_z = + .

Из первого:

= (- + sinθ) (Δ – Δα) + Δ = (sin θ Δθ + Δα).

Примем за исходный опорный режим полета – горизонтальный и sin θ = 0. В результате получаем:

= α; (5.7)

= Δω_z – Δα. (5.8)

Второе уравнение в системе (5.6) удобнее представить в другой форме (не в форме Коши; см. 3. системы (4.5)).

,

или

, (5.9)

где

; ; ; .

Дифференцируя (5.8), после подстановки (5.9) и приведения подобных членов, получаем:

+ 2 h_k + ω_k² = 0, (5.10)

где

; (5.11)

= -( + ) = -D_z ( + (1+ )) = -D_z ; (5.12)

n_yk = (С_p (α+φ_p) + С_ya); = (С_p + ) = (1 + ); .

τ = (масштаб времени); μ = (относительная плотность ВС), ;

Нетрудно проверить, что характеристическое уравнение для (5.10) имеет вид:

λ² + 2h_kλ + = 0. (5.13)

Условия устойчивости (здесь: a₀ = , a₁ = 2h_k) c помощью матрицы Гурвица

: a₀ = >0 и a₁ = 2h_k>0. Условие >0 эквивалентно (см. (5.12)) (при D_z>0, >0), σ_n = + (1 + )<0 и является критерием асимптотической апериодической устойчивости. Условие 2h_k>0 эквивалентно <0; <0; >0; С_p>0 и является критерием колебательной асимптотической устойчивости.

Апериодическая неустойчивость возможна при: σ_n>0, ω_k²<0. Колебательная неустойчивость возможна при: >0, 2h_k<0. Соответственно = 0 и 2h_k = 0 являются условиями граничных значений апериодической и колебательной асимптотической устойчивости по углу атаки в опорном режиме горизонтального полета. При этом асимптотической устойчивости по и θ не будет, т.к. с учетом (5.7), (5.6):

Δθ(t) = ;

Δ (t) = Δα(t) + ;

при Δα(t)→0; Δθ(t)→Δθ₀; Δυ(t)→Δθ₀, но устойчивость неасимптотическая (по Ляпунову) возможна.

Корни характеристического уравнения:

λ_1,2 = -h_k± (5.14)

при >h_k² и >0 ,будут комплексными сопряженными, а собственное возмущенное движение – колебательное

λ_1,2 = -h_k± i . (5.15)

Решение (5.10) имеет вид

Δα = Ae sin ( + ψ), (5.16)

где h_k – коэффициент демпфирования (декремент затухания);

= – круговая частота собственных колебаний (демпфированных колебаний), иногда обозначается ω; ω_k – опорная частота или частота недемпфированных колебаний;

ψ – фазовый угол сдвига. Постоянные А и ψ определяются по заданным начальным условиям: например, при t = t₀=0; Δα=Δα₀ и =

Если ≥ >0, то корни (5.14) будут действительными и собственное возмущенное движение будет апериодическим

Δα=c₁ e^λ1t + c₂ e^λ2t,

а при = >0; λ₁ = λ₂ = λ

Δα(t) = (c₁ + c₂₎ e^λt.

Постоянные c₁ и c₂ находятся из начальных условий. Определим теперь Δω_z(t). Для этой цели из (5.6) и (5.7) с учетом (5.16), получим

Δω_z = = Δα + = A [ ( – h_k) sin ( + ψ) + cos ( + ψ)].