Книги и конспекты / Горьковой Дискретная Математика

САНКТ–ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

В. Ф. ГОРЬКОВОЙ

ЛЕКЦИИ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

САНКТ– ПЕТЕРБУРГ

2004

1

МНОЖЕСТВА И ФУНКЦИИ.

1.1. Множества и подмножества.

О п р е д е д е л е н и е 1. Система, состоящая из множества элементов a1, a2, ..., an, ..., над которыми определены операции типа сложения или умножения, не выводящие за пре-

делы данного множества, называется алгебраической системой.

В дальнейшем мы будем употреблять следующие обозначения. Z – все целые числа, включая нуль.

Q – все рациональные числа.

R – все вещественные числа.

C – все комплексные числа.

Относительно обычных операций сложения и умножения эти множества образуют алгебраические системы.

P – множество всех целых положительных чисел {1, 2, 3, ...}. N – множество всех неотрицательных целых чисел {0, 1, 2, ...}. Подмножеством S множества T называется любое множество, все элементы которого принадлежат T , т.е. из a S следует, что a T . Это отношение включения записывается так: S T . Оно

Свойство (1.1.1) называется рефлексивным свойством, а(1.1.2)

— транзитивным.

S = T тогда и только тогда, когда S T и T S. (1.1.3)

Множество всех подмножеств ( частей) данного множества U обозначается через P(U ).

Например, множество подмножеств U = {a, b, c} содержит шесть собственных подмножеств: {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, пустое множество и само множество U . Если U состоит из n различных элементов a1, a2, ..., an, то P(U ) состоит из 2n различных подмножеств.

3

1.2.Булевы алгебры.

Оп р е д е л е н и е 2. Бинарной операцией на множестве S называется правило, которое каждой упорядочной паре

(a, b) элементов из S ставит в соответствие третий элемент s — значение этой операции на паре (a, b). Примерами таких операций являются сложение и умножение на множестве Z целых чисел.

О п р е д е л е н и е 3. Унарной операцией на множестве S называется правило f , которое любому элементу a S ставит в соответствие однозначно определенный элемент f (a) S,

значение операции f на a.

На множестве подмножеств данного множества U определены две бинарные операции и одна унарная. Это — операции теоретико-множественного пересечения, объединения и дополнения; они называются также булевыми.

Обозначим через n(S) число элементов множества S. Если R и S — конечные множества, не имеющие общих элементов, то n(R S) = n(R) + n(S). Для любых конечных множеств R и S справедливо соотношение

n(R S) = n(R) + n(S) − n(R ∩ S).

В качестве примера рассмотрим подмножества M = {mk} и N = {nk} всех целых чисел кратных m, n Z. Тогда M ∩ N совпадает с множеством всех целых чисел кратных и m и n.

Пусть S — любое подмножество U . Множество тех элементов x U , которые не принадлежат S называется дополнением S и обозначается S′.

Три булевых операции ∩, и ′ на множестве всех подмножеств множества U удовлетворяют ряду основных алгебраических законов.

L5. Если R T , то R (S ∩T ) = (R S) ∩T (модулярный закон).

4

L6. R ∩ (S T ) = (R ∩ S) (R ∩ T ),

R (S ∩ T ) = (R S) ∩ (R T ) (дистрибутивность).

L7. R ∩ = , R = R,

R ∩ U = R, R U = U (универсальные границы, нижняя и верхняя).

L8. R ∩ R′ = , R R′ = U (дополняемость).

L9. (S′)′ = S (инволютивный закон).

L10. (S ∩ T )′ = S′ T ′ и (S T )′ = S′ ∩ T ′ (законы де Моргана).

Докажем первый закон дистрибутивности. Если x R ∩(S T ), то x R и либо x S, либо x T . В первом случае x R и x S, поэтому x R ∩ S. Аналогично, во втором случае x R ∩ T . Следовательно, в любом случае либо x R ∩ S, либо x R ∩ T , так что x (R ∩ S) (R ∩ T ). Это показывает, что

R ∩ (S T ) (R ∩ S) (R ∩ T ).

Обратно, пусть x (R ∩ S) (R ∩ T ), т.е. либо x R ∩ S, либо x R ∩ T . Значит, в любом случае x R, а также в любом случае либо x S, либо x T . Таким образом, x R и x S T , а поэтому x R ∩ (S T ), т.е.

(R ∩ S) (R ∩ T ) R ∩ (S T ).

Объединяя этот результат с последней формулой предыдущего абзаца и используя (1.1.3), получим первый из двух законов дистрибутивности L6.

П р и м е р 1. Пусть U = {a} — одноэлементное множество. Переобозначив U через l, а через 0, получим простейшую нетривиальную булеву алгебру [P({a}), ∩, , ′], операции в которой задаются следующими таблицами:

П р и м е р 2. Пусть U = {a, b}, тогда P(U ) = {, {a}, {b}, U }. Введем обозначения: = 0, {a} = S, {b} = S′, U = I. Тогда булева алгебра {0, S, S′, I} определена следующими таблицами

5

УПРАЖНЕНИЯ

1.Положим S + T = (S ∩ T ′) (S′ ∩ T ).

Найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы S +T = S T .

2.a) Доказать, что S S ∩ (S T ) и S S ∩ (S T ).

б) Доказать, что S = S (S ∩ T ).

3.Доказать, что S T в том и только в том случае, если S′ T = U .

4.a) Доказать, что любое из трех соотношений S T , S ∩T = S и S T = T между подмножествами данного множества U влечет два других (закон согласованности).

б)Доказать, что для любых элементов S, T любой булевой алгебры свойства S ∩ T = S и S T = T равносильны.

5. Используя непосредственно существование универсальных границ и закон согласованности, доказать, что S U = U, S ∩ = , S ∩U = S, S = S.

В упражнениях 6 и 7 следует пользоваться только тождествами L1

— L10 .

6. a) ПоложивR + S = (R ∩ S′) (R′ ∩ S), доказать тождества R + S =

S + R, R + (S + T ) = (R + S) + T и R + R = .

б) Положив S − T = S ∩ T ′, доказать, что S + T = (S T ) − (S ∩ T ).

7. Исходя из определения булевой алгебры, доказать тождества:

а)S + S = , S + I = S′, S + = S, S + S′ = I,

б) S + T = S′ + T ′, (R + S) ∩ T = (R ∩ T ) + (S ∩ T ), в) R ∩ (S − T ) = (R ∩ S) − (R ∩ T ).

1.3.Функции

Оп р е д е л е н и е 4. Пусть S и T — множества. Функцией f из области S в кообласть T называется правило, которое сопоставляет каждому элементу s S единственный элемент из T , называемый значением f в s и обозначаемый через

f (s).

Мы будем также говорить, что f является функцией (или отображением, преобразованием) из S в T , и писать f : S → T . Образом Im f отображения f : S → T называется множество f (S) всех

6

значений f (s), которые оно принимает при всевозможных s S. Образ f является подмножеством кообласти T .

Один из способов задания функции — перечисление значений, которые она принимает на элементах области. Например, функция

Другая функция g : S → T с образом g(S) = {b, c, d} задается предписанием

g : a 7→d, b 7→c, c 7→b.

Очевидно, к образам этих функций можно применять булевы операции: в наших примерах f (S) g(S) = {a, b, c, d} и f (S)∩g(S) =

{b}.

Определим функцию следования Пеано σ, для которой множество P всех положительных целых чисел является и областью, и кообластью. Каждому целому положительному числу n она ставит в соответствие число n + 1 : σ(n) = n + 1, σ : P → P — функция из P в P. Функцию σ также можно задать (бесконечным) списком предписаний:

σ : 1 7→2, 2 7→3, 3 7→4, ..., n 7→n + 1, ...

Очевидно, образом Im σ функции σ : P → P является множество

σ(P) = {2, 3, 4, ...}

, которое мы обозначим символом P2.

Чтобы задать функцию, мы должны определить ее область, кообласть и значения, которые она сопоставляет каждому элементу области. Если f : S → T и g : S1 → T1, то f = g в том и только том случае, когда

f (x) = g(x) для всех x S,

S = S1 и T = T1.

Согласно этому определению, функции могут быть строго одинаковыми, только если их области и кообласти совпадают. Например, предписание n 7→n + 1 определяет также функцию σ′ : P → P2. Эта функция не совпадает с функцией следования σ : P → P, поскольку кообласть у σ′ не совпадает с кообластью функции σ.

Для любого множества S тождественная функция 1S : S → S отображает любой элемент S в себя: 1S (s) = s для всех s S. В силу сказанного выше тождественные функции разных множеств различны.

7

О п р е д е л е н и е 5. Левой композицией g ◦ f любых двух функций называется функция, полученная в результате их применения в порядке, обратном написанному при условии, что

область g совпадает с кообластью f .

Пусть

f : S → T и g : T → U .

Тогда левая композиция g ◦ f есть функция g ◦ f : S → U , определяемая правилом

(g ◦ f )(s) = g(f (s)) для всех s S.

О п р е д е л е н и е 6. Правой композицией f ♦g называется функция, получаемая из левой композиции перестановкой

символов: f ♦f = g ◦ f .

Пусть, например, ϕm : R → R —операция возведения в степень m, ϕm(x) = xm. Подобно показателю степени m, символ функции ϕm можно записать справа от аргумента: xm = xϕm. Если условиться писать символы функций ϕ, φ, ... справа, то естественно записывать их композицию также в правой форме, ибо тогда выполнено правило (xϕ)φ = x(ϕ♦φ). Так, в предыдущем примере

x(ϕm♦ϕn) = (xm)n = xmn = xϕmn; следовательно, ϕm♦ϕn = ϕmn. Преимущество правой композиции заключается в том, что функ-

ции пишутся в том же порядке, в каком они действуют.

Лемма 1. Композиция функций подчиняется ассоциативному закону:

(h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f ) = f ♦(g♦h) = (f ♦g)♦h.

Предполагается, что все записанные композиции определены.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f : S → T, g : T → U, h : U → V . Любому элементу x S обе композиции приписывают значения

Из определения равенства функций следует ассоциативный закон:

(hg)f = h(gf ) : S → V

. Для краткости записи символ ◦ здесь опущен.

Тождественные функции 1S и 1T в композиции с любой функцией f : S → T не меняют ее:

f ◦ 1S = 1T ◦ f = f, 1S ♦f = f ♦1T = f .

8

Чтобы убедиться в этом, следует заметить, что (f 1S )s = f (1S s) = f (s) для всех s S в силу леммы 1 и определения равенства функций.

Оп р е д е л е н и е 7. Функция f : S → T называется инъективной, или инъекцией, или вложением, или взаимно однозначным отображением “в”, если из s =6 s′ в S следует, что f (s) =6 f (s′) в T .

Оп р е д е л е н и е 8. Функция h : S → T называется сюръективной, или сюръекцией, или отображением “на”, если

ееобраз совпадает со всей кообластью, т.е. для каждого t T существует хотя бы один элемент s S, такой, что h(s) = t.

Оп р е д е л е н и е 9. Биекцией, или взаимно однозначным отображением “на”, называется функция, являющаяся одновре-

менно инъекцией и сюръекцией.

Например, среди функций из Z в Z отображение n 7→ −n биективно, отображение n 7→2n инъективно, но не сюръективно, а отображение n 7→n2 не инъективно и не сюръективно.

Пусть P — множество всех положительных целых чисел, σ : P → P — функция следования Пеано, σ(n) = n + 1 для всех n P. Это инъекция, но не сюръекция.

Пусть n = {1, 2, ..., n} — множество положительных целых чисел k ≤ n. К числу основных функций на нем принадлежит циклическая перестановка: νn : n → n. Она сопоставляет всем числам k n, кроме n, следующее k + 1, а n переводит в 1. Это биекция. При n = 3 функция ν3 задается предписанием 1 7→2, 2 7→3, 3 7→1. В общем случае

νn : 1 7→2, 2 7→3, ..., n − 1 7→n, n 7→1.

О п р е д е л е н и е 10. Характеристической функцией подмножества S данного множества U, eS : U → {0, 1}, опреде-

/ S.

Пусть, например, U = {1, 2, 3} — множество, которое мы обозначим также символом 3. Вот списки значений функций eS , отвечающих всевозможным подмножествам S U :

7→(0, 0, 0), {1} 7→(1, 0, 0), {2} 7→(0, 1, 0), {3} 7→(0, 0, 1), {1, 2} 7→(1, 1, 0), {1, 3} 7→(1, 0, 1), {2, 3} 7→(0, 1, 1),

3 = {1, 2, 3} 7→(1, 1, 1).

9

Например, при U = 3 описанное отображение b : S → eS является биекцией между P(3) и множеством всех последовательностей из символов 0, 1 длины три. Для простоты мы можем обозначить любой элемент из P(3) одной из восьми двоичных троек: 000, 100, 010, 001, 110, 101, 011, 111.

1.4.Обратные функции

Оп р е д е л е н и е 11. Если левая композиция функций f : S → T и g : T → S совпадает с тождественной функцией 1S на S, мы будем говорить, что g — левая обратная к f , а f

—правая обратная к g. Eсли, кром того, f ◦ g = 1T , мы будем говорить, что g — двусторонне обратна к f и, по симметрии, f двусторонне обратна к g. Функция, имеющая двусторонне обратную, называется обратимой.

Теорема 1. Функция обратима слева тогда и только тогда, когда она инъективна. Функция обратима справа тогда и толь-

ко тогда, когда она сюръективна.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем сначала, что любая обратимая слева функция взаимно однозначна. Пусть g : T → S — функция, обратная слева к f : S → T . Предположим, что f (s) = f (s′). Тогда, по определению,

s = 1S (s) = g(f (s)) = g(f (s′)) = 1S (s′) = s′.

Таким образом, из предположения, что f (s) = f (s′), мы вывели, что s = s′. Это доказывает инъективность f .

Проверим обратное утверждение. Пусть f инъективна. Выберем элемент s1 S и определим g1 : T → S так:

Тогда (g1 ◦ f )(s) = g1(f (s)) = s для всех s S, так что, по определению, g1 ◦ f = 1S и g1 является левой обратной к f .

Аналогично проверяется вторая часть теоремы. Если t T и f h = 1T , то t = 1T (t) = f (h(t)), так что любой элемент t T является образом f (s) подходящего элемента s = h(t) S, и f сюръективна. Обратно, если f : S → T сюръективна, то каждый элемент t T является образом t = f (s) хотя бы одного элемента s S. Для каждого элемента t T выберем из множества всех s,

10