Книги и конспекты / Горьковой Дискретная Математика

Каждому бинарному отношению α на X можно сопоставить функцию F : X → X следующим образом: y F (x) xαy. Тогда граф можно определить как пару G = (X, F ), где F : X → X есть отображение, которое каждому x X ставит в соответствие подмножество F x X.

Так, для графа из примера 7 таблица, задающая F , имеет вид

Для такого способа задания графа определение изоморфизма формулируется следующим образом.

О п р е д е л е н и е 21. Два графа G = (X, F ) и H = (Y, P )

называются изоморфными, если существует биекция ϕ : X → Y, такая, что для любых x X и y Y, для которых ϕ(x) = y, имеем

Соотношение (2.5.1) эквивалентно коммутативности следующей диаграммы:

ϕ

F x −−−→ P y

где коммутативность означает, что проход по верхней части диаграммы совпадает с проходом по нижней ее части.

Граф, о котором здесь идет речь, называется графом Бержа. Приведем некоторые сведения из теории конeчных групп [5].

О п р е д е л е н и е 22. Группой G называется некоторое множество элементов G = {a, b, c, ...} вместе с одной бинарной операцией, называемой произведением, такой что выполняются:

G0. Закон замкнутости: для каждой упорядоченной пары элементов a, b из G произведение a ◦ b = c существует и является однозначно определенным элементом из G.

G1. Ассоциативный закон: (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c).

31

G2. Существование единицы: в G существует такой элемент 1, что 1 ◦ a = a ◦ 1 = a для любого элемента a G.

G3. Существование обратного элемента: для всякого элемента a G существует такой элемент a−1 G, что a−1 ◦ a =

a ◦ a−1 = 1.

Опpеделяя гpуппу через опеpацию умножения, мы на самом деле имеем в виду не обязательно обычное умножение. Под этой операцией подразумевается любая бинарная операция, в том числе и двуместная функция f (a, b), которая состоит в соответствии любым двум элементам a, b G однозначно определенного третьего элемента c G. В частности, имеет место следующая теорема

Теорема 8. Множество всех взаимно однозначных отображений S на себя относительно операции умножения отображе-

ний образует группу.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Под умножением отображений, как обычно, понимается их суперпозиция относительно элементов из G. Выполнимость условий G0, G1 очевидна. Проверим выполнение условий G2, G3.

Так как тождественное отображение e является взаимно однозначным, то e S и ef = f e = f для любого отображения f S. Таким образом, тождественное отображение e S играет роль единицы.

Так как всякое отображение f S; f : G → G является взаимно однозначным, то по определению для каждого элемента y G существует единственный x G, такой, что f (x) = y. Cопоставляя элемент x элементу y, мы определяем взаимно однозначное отображение g(y) = x множества G на себя. Из определения отображения g видно, что (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = x. Следовательно, f ◦ g = g ◦ f = e и g является отображением, обратным для f .

Взаимно однозначное отображение некоторого конечного множества на себя называется перестановкой. Перестановка традиционно задается следующим образом.

Пусть G = {1, 2, 3}, тогда

две перестановки, у которых верхняя строка есть множество G, а нижняя образы элементов из G. Согласно определению, их произ-

32

ведением является перестановка

Перестановки можно задавать с помощью перечисления всех их неодноэлементных циклов: f = (1, 2, 3), g = (2, 3), f ◦ g = (1, 3).

Подмножество H группы G, само являющееся группой относительно операции, определенной в G, называется подгруппой.

Оп р е д е л е н и е 23. Взаимно однозначное отображение

ϕ: G → H группы G на группу H называется изоморфизмом, если из того, что ϕ(g1 ) = h1, ϕ(g2 ) = h2, следует, что ϕ(g1 ◦g2 ) =

h1 ◦ h2.

П р и м е р 9. Рассмотрим следующие две подгруппы: G и H соответствующих групп перестановок:

Тогда отображение ϕ(gi) = hi является изоморфизмом, а подгруппы G и H изоморфны.

Действительно, если ϕ(g2 ) = h2, ϕ(g3 ) = h3 и ϕ — изоморфизм, то должно быть ϕ(g2 ◦ g3) = h2 ◦ h3. Непосредственной проверкой

33

Группа перестановок является представлением любой группы G в том смысле, что любая группа изоморфна некоторой группе перестановок. Таким образом, будучи вполне конкретным математическим объектом, она позволяет сводить решение достаточно общих математических вопросов к непосредственным вычислениям над перестановками.

Теорема 9 (Кэли). Произвольная группа G изоморфна неко-

торой группе перестановок своих элементов.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для каждого g G определим отображение Rg (x) = gx для всех x G. При фиксированном g получаем отображение множества G на себя, так как для данного

y G

Rg (g−1y) = gg−1 y = y.

Это отображение взаимно однозначно, так как в силу существования в G для любого элемента обратного из соотношения gx1 = gx2 следует x1 = x2. Таким образом, Rg — перестановка для каждого g G. Отображение Rg1 Rg2 таково, что

Rg1 Rg2 (x) = g1 (g2x) = (g1g2)x = Rg1g2 (x).

Поэтому Rg1 Rg2 = Rg1g2 . Далее, Rg1 (1) = g1 и Rg2 (1) = g2, следовательно, если g1 =6 g2, то Rg1 =6 Rg2 . Значит, отображение g → Rg является изоморфизмом. Очевидно, что R1 = 1 тождественная перестановка и Rg−1 Rg = 1, так что Rg−1 = (Rg )−1.

Пусть G — группа, а H — ее подгруппа. Множество элементов вида hx, где h — любой элемент из H, а x — фиксированный элемент из G, называется левым смежным классом по H и обозначается Hx. Аналогично определяется правый смежный класс

xH.

Теорема 10. Два левых (правых) смежных класса группы G по H или не пересекаются, или совпадают. Смежные классы по H и подгруппа H совпадают по мощности.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что z Hx ∩Hy. Тогда

откуда Hx = Hy. Аналогичное доказательство проводится и для правых классов.

Равномощность H, Hx и xH доказывается так же, как утверждение в теореме Кэли.

34

Из этой теоремы следует, что существуют такие x2 , . . . , xr из G, что смежные классы H, Hx2, . . . , Hxr не пересекаются и исчерпывают всю группу G, в этом случае пишут G = H Hx2 · · ·Hxr . Если G — конечная группа, то число r называется индексом подгруппы H в G, а число элементов группы G — порядком группы.

Теорема 11. ( Лагранжа). Порядок группы G равен произве-

дению порядка подгруппы на индекс H в G.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Число элементов в каждом из r смежных классов G по H равно числу элементов в H, т. е. ее порядку. Если таких классов r, то количество элементов в G есть произведение r на порядок H.

О п р е д е л е н и е 24. Группа G называется циклической, если каждый ее элемент является степенью gi некоторого

фиксированного элемента g.

Если все степени элемента g различны, то циклическая группа имеет бесконечный порядок и изоморфна группе по сложению всех целых чисел. Если же не все степени различны, то существует такое m > 0, что gm = 1.

Пусть n > 0 — наименьшее положительное число, для котоpого gn = 1. Тогда легко видеть, что элементы 1, g, ..., gn−1 составляют всю группу. Число n называется порядком элемента g и при r ≥ 0, s < n имеем gr gs = gr+s , если r + s < n, если же r + s ≥ n, то gr gs = gr+s−n . Элемент g называется образующей циклической группы 1, g, ..., gn−1 .

Для любой перестановки g как для элемента группы перестановок также существует понятие порядка пеpестановки.

Теорема 12. Порядок перестановки ϕ равен наименьшему общему кратному длин ее циклов.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для цикла (x1, ..., xn ) имеем ϕj (xi ) = xi+j , где i+j берется по модулю n. Следовательно, ϕt (xi ) = xi тогда

и только тогда, когда m кратно n. В этом случае ϕm (xi) = xi для всех xi G тогда и только тогда, когда m кратно длинам всех циклов перестановки ϕ. Следовательно, при таком m ϕm = e, где e — тождественная перестановка.

Как мы выяснили, множество всех взаимно однозначных отображений множества на себя образует группу. И вообще все взаимно однозначные отображения множества на себя, сохраняющие данное его свойство, также образуют группу.

Если задана некоторая система A, состоящая из некоторого мно-

35

жества X и некоторой совокупности операций fk, то взаимно однозначное отображение ϕ множества X на себя называется автоморфизмом системы A, если из соотношения fk (x1, ..., xn ) = y следует fk (ϕ(x1 ), ..., ϕ(xk )) = ϕ(y). Под fk могут подразумеваться как однозначные отображения, так и многозначные.

Из определения автоморфизма следует, что произведение двух автоморфизмов есть снова автоморфизм, поэтому все автоморфизмы относительно умножения образуют группу.

В случае, когда fk — многозначное отображение, особую актуальность приобретает задача описания свойств циклов автоморфизма в терминах отображения fk .

2.6. Теорема об изоморфизме графов

Общее число шагов, которое необходимо сделать для выяснения изоморфности графов с n вершинами, равно n!. Если удачно провести классификацию вершин гафов и наделить полученные классы сравнительными характеристиками, то общий перебор можно сократить по крайней мере до Σini!, где ni — число вершин в i-м классе.

Пусть G = (X, F ) и H = (Y, P ) — два конечных графа Бержа, таких, что |X| = |Y |; здесь X и Y — множества вершин, F : X → X, P : Y → Y — отображения, ставящие в соответствие каждой вершине x X (y Y ) множество вершин, в которые из x X (y Y ) идут дуги.

О п р е д е л е н и е 25. Представлением графа G = (X, F ) называется пара ΠG = (TX , AF ), где TX {(α, β)x }x X ; α = |F x|, β = |F −1x|, а AF : TX → TX — соответствие, порождаемое соответствием F при замене элементов x X и F x X в G парами (α, β)x TX , такое, что AF (α, β)x = {(α′ , β′)x′ }x′ F x .

Таким образом, в терминах графического способа задания графа представление графа отличается от него самого тем, что вершина графа с номером i у представления помечена (α, β)i .

Пусть 1 и 2 — два множества из TX . Будем писать 12, если отображение 1 → 2 с точностью до индексов x из X элементов из i , i = 1, 2, является тождественным.

П р и м е р 10. Пусть 1 и 2 из TX имеют следующий вид:1 = {(0, 1)i1 , (1, 0)i2 , (1, 0)i3 },

2 = {(1, 0)j1 , (0, 1)j2 , (1, 0)j3 }.

36

Тогда 1 2. Если же, например,

2 = {(1, 0)j1 , (0, 1)j2 , (0, 1)j3 },

то 1 6 2.

Обозначим через X/ρ множество классов, полученных с помощью разбиения ρ множества X, а через Fρ — сужение отображения F на X/ρ, относящее каждому классу из X/ρ некоторое множество классов из X/ρ.

Определим на классах из X/ρ некоторые порядки. Если σ X/ρ, то через tσ будем обозначать t копий упорядоченного множества σ, а через σs — результат применения перестановки s к σ. Выражение t σs следует понимать как t(σs ).

Теорема 13. Два графа G = (X, F ) и H = (Y, P ), |X| = |Y |,

изоморфны тогда и только тогда, когда существует разбиение ρ и биекция ϕˆ : X/ρ → X/ρ, такие, что для любых σ X/ρ и Σ Y /ρ, удовлетворяющих соотношениям |σ| = |Σ|, ϕˆ(σ) = Σ, коммутативна следующая диаграмма:

Здесь Pρ и Fρ — сужения отображений P и F на Y /ρ и X/ρ

соответственно.

З а м е ч а н и е. Если графы G и H изоморфны, вопрос о существовании разбиения ρ и биекции ϕˆ, вообще говоря, очевиден, так как всегда в качестве ρ можно взять тривиальное разбиение, при котором в каждом классе содержится по одной вершине. Тогда в качестве ϕˆ будет выступать ϕ. Интересно выяснить, существуют ли какие-то другие разбиения, отличные от тривиальных, и как их найти. Один из ответов на этот вопрос дается в данной теореме, где искомое разбиение формулируется исходя из некоторых качественных и количественных характеристик вершин и их совокупностей.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть графы G и H изоморфны и ϕ — биекция, осуществляющая изоморфизм. Разобьем множество X (соответственно Y ) на непересекающиеся подмножества последовательно следующим образом:

37

1 этап. Разбиение π1 = {σ0 , σ1}:

σ0 = {x X : x / F x}; σ1 = {x X : x F x}.

II этап. По разбиению π1 строим разбиение π2, при котором классы σ0 и σ1 разбиваются на подмножества σkp, k = 0, 1, следующим образом:

σkp = {x, y σk : (α, β)x (γ, δ)y &AF (α, β)x AF (γ, δ)y

&AF −1 (α, β)x AF −1 (γ, δ)y }.

Здесь p можно положить равным (α, β), но в общем случае представляет собой, кроме того, перечисление всех пар вида t(α′, β′, ) как из AF (α, β)x , так и из AF −1 (α, β)x .

III этап. По разбиению π2 строим разбиение π3 множеств σkp на подмножества σkpη , относя к одному подмножеству σkpη те и только те вершины x, y из σkp, для которых выполняется равенство |F x ∩ F −1x| = |F y ∩ F −1y|, при этом η полагается равным |F x ∩ F −1x|.

IV этап. По разбиению π3 построим разбиение π4 классов σkpη на подмножества σkpηξ, каждое из которых характеризуется следующим свойством:

{( x σkpηξ)( y σkpηξ : α = |F x ∩ F y| не зависит от x и y)} Положим ξ = α. Обозначим через σ(x)± след класса σ на F x и

F −1x соответственно.

V этап. Разбиение π5, построенное по разбиению π4, есть разбиение классов σkpηξ на подклассы σkpηξl , такие, что

{( x, y σkpηξl )( σ π5)(|σ(x)±| = |σ(y)±|)}.

Упорядочим элементы F x для всех x из каждого σ таким образом, чтобы в строке с номером m содержались вершины, принадлежащие одному классу. В силу свойства разбиения π5 это возможно сделать. Множество вершин с номером m из F σ будем обозначать

(F σ)m .

VI этап. По ризбиению π5 строим более мелкое разбиение ρ классов σkM , M = (pηξl) на подмножества σkM q , такие, что:

1) для любого x из σkM q

если |σkM q| > 1;

38

2) если |σkM q| = 1, то непустой след любого класса в F σkM q совпадает с самим классом.

Очевидно, что построенное таким образом разбиение ρ таково, что G/ρ = (X/ρ, Fρ ) есть не обязательно граф Бержа.

Покажем, что все свойства, указанные в разбиении π1 − π5 , ρ графа G, переносятся на соответствующие классы графа H.

Пусть ϕ(σ) = Σ, σ X/ρ, Σ — некоторое подмножество вершин из Y . Так как ϕ — биекция, то |σ| = |Σ| для всех σ X/ρ.

Пусть x F x, т. е. при x имеется петля и ϕ(x) = y. Тогда y = ϕ(x) ϕ(F x) = P ϕ(x) = P y т. е. y P y. Аналогично, из того, что x / F x, следует, что и y = ϕ(x) / P y. Таким образом, при изоморфизме вершинам с петлями в графе G соответствуют вершины с петлями в графе H, а вершинам без петль в G соответствуют вершины без петель в H.

Пусть вершине x в G соответствует пара (α, β)x в ΠG, а вершине y = ϕ(x) H — пара (γ, δ)y ΠH . Тогда в силу изоморфности ϕ имеем ϕ(F x) = P y, ϕ(F −1 x) = P −1y, следовательно,

|F x| = |P y|, |F −1x| = |P −1y| и α = |F x| = |P y| = γ, β = |F −1x| =

|P −1y| = δ. Таким образом, (α, β)x (γ, δ)y .

Каждой вершине xi F x, в силу изоморфности ϕ, соответ-

для y = ϕ(x) и t = ϕ(z) из соответствующего Σkp¯ выполняется

ϕ(x) = y. Наконец, в силу того, что ϕ — изоморфизм и ϕ(σ) = Σ, имеем

39

Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть существует разбиение ρ и биекция ϕˆ, такая, что для любых σ X/ρ и Σ Y /ρ, удовлетворяющих соотношениям |σ| = |Σ| и ϕˆ(σ) = Σ, коммутативна диаграмма (2.6.1). Зафиксируем некоторые порядки на элементах разбиения из X/ρ и Y /ρ. Построим по биекции ϕˆ биекцию ϕ следующим образом. Если ϕˆ(σ) = Σ, то элементу x σ, имеющему номер i, поставим в соответствие элемент y Σ c тем же номером. Из диаграммы (2.6.1) видно, что ϕˆ ◦ si = si ◦ ϕ,ˆ и, следовательно,

коммутативна, а ϕ, построенный по указанному правилу, есть изоморфизм.

П р и м е р 11. Пусть графы G = (X, F ) и H = (Y, P ) заданы следующим образом:

Так как графы G и H являются однородными графами степени три без петель [4], то первые три разбиения π1, π2 , π3 будут тривиальными и состоят из одного элемента, т. е. π1 = π2 = π3 = {X} (соответственно {Y } для графа H). Поиск разбиения ρ и биекции ϕˆ, удовлетворяющих теореме об изоморфизме, будем проводить одновременно для графов G и H.

Построим разбиение π4 для графа G. Как видно из определения разбиения π4, каждый его класс σ характеризуется тем, что для любой вершины x σ существует y σ, такой, что α = |F x ∩ F y| одно и то же для всех таких пар.

40