Книги и конспекты / Горьковой Дискретная Математика

Анализируя таблицу графа G, устанавливаем, что наибольшим таким α является α = 2. Этим α характеризуется класс σ02 = (1, 2, 6, 7), так как |F 1 ∩ F 2| = |F 6 ∩ F 7| = 2.

Аналогично Σ02 = (1, 2, 7, 8) для графа H.

Так как |σ02| = |Σ02| и они характеризуются одним α, то в случае, если G и H изоморфны, существует биекция между элементами σ02 и Σ02. Будем обозначать этот факт так ϕˆ4(σ02 ) = Σ02. Заметим, что в силу того, что |X| = |Y |, ϕˆi(X) = Y i = 1, 2, 3, очевидно следующее

σ01 = (3, 5, 8), так как F 3 ∩ F 5 ∩ F 8 = 4,

Σ01 = (4, 5, 6), так как P 4 ∩ P 5 ∩ P 6 = 3.

Оставшиеся вершины в G и H образуют одноэлементные клас-

сы σ00 = (4), Σ00 = (3).

Таким образом, если G и H изоморфны, то

ϕˆ4(σ01 ) = Σ01, ϕˆ4 (4) = (3).

Построим разбиение π5. С этой целью упорядочим для каждого x σ (соответственно y Σ) вершины в F x (соответственно в P y) таким образом, чтобы в каждой строке F σ (соответственно P Σ) находились вершины одного и того же класса разбиения π4 (если это возможно).

Так, частичная таблица для σ02 (соответственно для Σ02) будет

Но для класса (3, 5, 8) сделать это можно лишь в том случае, если разбить его на два: σ011 = (5, 8), σ012 = (3). Действительно,

Соответственно Σ011 = (5, 6), Σ012 = (4). Но тогда и классы (1, 7, 2, 6) (соответственно (1, 2, 7, 8) в H) распадутся на два класса:

(1, 7) = σ021 и σ022 = (2, 6) (соответственно Σ021 = (1, 7), Σ022 = (2, 8)). Так как |σ011 | = |Σ011| и |σ012 | = |Σ012|, то в случае изо-

41

морфности G и H

ϕˆ5(σ021 , σ022 ) = (Σ021 , Σ022), ϕˆ5 (σ011 ) = Σ011,

ϕˆ5(σ012 ) = Σ012, ϕˆ5(4) = (3).

Из анализа F (σ021 ), F (σ022 ), P (Σ021 ), P (Σ022 ) ясно, что

ϕˆ5(σ021 ) = Σ022 , ϕˆ5 (σ022 ) = Σ021.

Зафиксируем на всех элементах разбиений в G и H некоторые порядки, например те, которые указаны выше при их записи, и проверим, яиляется ли диаграмма (2.6.1) в этом случае коммутативной.

Если обозначить для двухэлементного класса σ через σ′ инверсию ее элементов, то диагpамма (2.6.1) для σ011 и соответствующего ему при отображении ϕˆ5 класса σ011 будет иметь вид

ϕˆ5

(σ021 ,2 σ00 , σ011′ ) −−−→ (Σ′022,2 Σ00, Σ′022)

и не являться коммутативной в силу того, что ϕˆ5(σ021 ) =6 Σ‘022 , т. е. из-за несогласованности правых верхних индексов.

Попробуем поменять порядок на Σ011, заменив его на (6, 5), тогда P (Σ011) Σ‘011, а Σ‘022 превратится в Σ022 и P (Σ011) =

(Σ022,2 Σ00, Σ‘011 ).

Аналогичным образом можно проверить и другие соответствия элементов разбиения из X/ρ и Y /ρ. Такая проверка показывает, что

ϕˆ5 {(1, 7), (2, 6), (5, 8), (3), (4)} = {(2, 8), (1, 7), (6, 5), (4), (3)}

и, следовательно, ϕˆ5 = ϕ и π5 = ρ, а перестановка имеет вид

42

2.7.Теорема об автоморфизмах автомата

Оп р е д е л е н и е 26. Конечным автоматом без выходов называется тройка A = (Q, X, F ), где Q и X — конечные непустые множества состояний и выходных символов соответ-

ственно, а F : X × Q → Q — функция переходов.

Если задано разбиение множества Q на подмножества Qk , то будем считать, что подмножества Qk наделены циклическим порядком, и называть их циклами. Именно в этом смысле будем далее отождествлять множество Q с перестановкой, а о подмножествах Qk говорить как о циклах.

множество подмножеств Qk множества Q.

Говоря о цикле, удобно подразумевать некоторую его запись, поэтому будем различать ситуации, когда два совпадающих цикла начинаются с одного и того же элемента и с разных. В первом случае циклы будем называть тождественными, во втором — равными.

циклов Qi.

О п р е д е л е н и е 27. Автоморфизмом автомата A = (Q, X, F ) называется любая перестановка g на Q, такая, что

{( q Q)( x X)(g(F (q, x)) = F (g(q), x))}.

О п р е д е л е н и е 28. Конгруенцией автомата A будем называть разбиение π множества Q на непересекающиеся подмножества Qk , такие, что

где i, k > 0 — целые числа.

Теорема 14. Конгруенция π порождает автоморфизм тогда и только тогда, когда

До к а з а т е л ь с т в о. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть g

—автоморфизм, а Q1, Q2, ..., Qm — элементы разбиения π. Тогда

43

формулировка теоремы равносильна эквивалентности следующих двух соотношений:

т. е. (1.3.1) → (1.3.2) → (1.3.1).

Если Qk — произвольный цикл автоморфизма g, то (2.7.1) эквивалентно соотношению

Зафиксируем на Qk начальный элемент относительно некоторой его записи. Разобьем Qk на классы эквивалентности Qki, относя к одному классу Qki те элементы q Qk , которые при отображении F имеют один и тот же образ при некотором фиксированном, но произвольном x.

Так как g — автоморфизм, то

44

В силу равномощности классов эквивалентности из Qk найдется

Покажем, что все Qi упорядочены одним и тем же образом и этот порядок с точностью до циклического сдвига совпадает с ис-

Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть имеет место соотношение (2.7.2). Доопределим порядки на Qk до циклических и положим g = {Qk }k . В случае i = k соотношение (2.7.1), очевидно, выполняется для всех q Qk и x X, так как F действует на Qk как циклическая перестановка, по определению равенства =¨. В случае i =6 k обозначим через R отношение элвивалентности на Qk по mod F , тогда

Как следует из теоремы, разбиение множества Q на классы (0, 8), (1), (3), (4, 2, 5, 7), (6, 9) порождает автомоpфизм, если на каждом классе определить циклические порядки. Действительно,

45

Таким образом, перестановка

является автомоpфизмом.

2.8. Теорема об автоморфизмах гафов

Пусть G = (X, F ) — граф Бержа, у которого X — множество вершин, а F : X → X — отображение, ставящее в соответствие каждому x X множество вершин, в которые из x идут дуги.

Пусть ρ — разбиение множества X на попарно не пересекающиеся классы, а X/ρ — множество полученных в результате разбиения классов.

О п р е д е л е н и е 29. Автоморфизмом графа G = (X, F ) называется биекция ϕ : X → X, такая, что для всех x X и y X, для которых ϕ(x) = y, выполняется соотношение

Как уже указывалось, всю группу автомофизмов графа G можно вычислить, зная свойство циклов автоморфизма графа относительно графовского отображения.

Каждый вычисленный автоморфизм порождает циклическую подгруппу группы автоморфизмов графа, и в силу его конечности вся группа графа [5] исчерпывается конечным числом таких циклических подгрупп .

Пусть ρ — разбиение множества X на непересекающиеся клас-

чтобы все элементы, имеющие после упорядочения один и тот же номер, принадлежали одному и тому же классу из X/ρ. Множество элементов из F σk , имеющие один и тот же номер после упорядочения, будем обозначать F(m)σk или (F σk )m. Как и ранее, через pσ обозначим p копий упорядоченного множества σ, а соотношение

(F (σk ))m =¨ pσi(m), σi, σk X/ρ

46

(p > 0 — целое число), означает, что правая часть его представляет собой совокупность из p упорядоченных одним и тем же образом копий множества σi, причем порядок на σi совпадает с исходным порядком на нем с точностью до циклического сдвига.

Теорема 15. Разбиение ρ множества X графа G = (X, F ) порождает автоморфизм g тогда и только тогда, когда для любого класса σk ρ и любого m > 0 найдется σki(m) ρ, такой, что

при |σk | = 1.

До к а з а т е л ь с т в о. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть

ρ— разбиение множества X на классы {σk }, каждый из которых упорядочен циклическим образом, составляет автоморфизм g.

Пусть x σk1 , y σk2 , |σk2 | ≤ |σk1 | > 1, таковы, что F(m)x = y. Для произвольного, но фиксированного m > 0 разобьем множес-

тво σk1 на классы σk1i, относя в один класс те и только те элементы z и z′ σk1 , которые удовлетворяют соотношению F(m)z = F(m)z′.

Так как g — автоморфизм, то

µ+1 = .

g g

Итак, для любой пары классов σk1i и σk1j существует rij , для которого grij (σk1i) = σk1j . Так как grij — биекция, то |σk1i| = |σk1j | и, следовательно, существует такое p > 0, что F(m)σk1 = pσk2 .

47

Покажем, что все копии σk2 в F(m)σk1 упорядочены одинаковым образом и порядок на них совпадает с исходным с точностью до циклического сдвига.

Доказательство будем вести от противного.

Пусть |σk1 | = n, |σk2 | = l, n = pl. Рассмотрим такие x, x¯ σk1 ,

что x =6 x,¯ F(m)x = F(m)x¯ и F(m)x σk2 , F(m)x¯ σ¯k2 , причем σk2 =

Так как m выбиралось произвольно, то соотношение (2.8.4), а следовательно, и (2.8.2), выполняется для всех m.

В силу произвольности выбора класса σk из разбиения ρ соотношение (2.8.2) выполняется для всех σk , таких, что |σk | > 1. А так как r — вычет по модулю µ, то порядки на σi отличаются на циклический сдвиг.

Пусть |σk | = 1 и σk = {x}. Тогда, в силу соотношения g(x) = x и того, что g — автоморфизм, g(F x) = F g(x) = F x. Но для любого σk X/ρ, g(σk ) = σk , поэтому любой непустой след класса σk на F x совпадает с самим классом σk .

Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть разбиение ρ таково, что соотношение (2.8.2) выполняется для всех m и любых σk из ρ. Покажем, что разбиение ρ порождает автоморфизм g.

Доопределим порядки на классах σk до циклических. В качестве перестановки g возмем совокупность циклов {σk }. Очевидно, что для каждого класса σk разбиения ρ g(σk ) = σk . А так как для

любого m > 0 имеем (F σk )m =¨ pσk , то g((F σk )m) = p(g(σs )), где

i ki

s — циклический сдвиг на некоторое количество разрядов.

Так как g и s — биекции, то g(σs ) = (g(σk ))s.

ki i

Рассмотрим элементы x, x′ σk , такие, что F(m)x = F(m)x′ = y σki . Тогда существут r > 0, такое, что gr (x) = x′. Так как F(m)σk =¨ pσki , то номера у F(m)x и F(m)x′ совпадают в соответствующих копиях σki . Тогда r = sl и gr (y) = y при некотором s,

48

где l = |σki |, n = |σk | и n = pl, p ≤ s. Так как F(m)x = F(m)x′, то gr (F(m)x) = gr (F(m)x′) = gr y,

F(m)gr x = F(m)x′ = y.

Таким образом, gr (F(m)x) = F(m)gr x = F(m)x′ для x и x′ связанных между собой автоморфизмом ϕ = gr , т. е. таких, что ϕ(x) = x′.

П р и м е р 13. Пусть граф G задан с помощью следующей

Зафиксируем на элементах разбиения ρ те порядки, которые определились в результате записи ρ в (2.8.5). Тогда частичные таблицы, после соответствующего упорядочения элементов образов, соответствующие элементам разбиения ρ будут иметь вид

Нетрудно заметить, что каждый элемент разбиения удовлетворяет соотношению (2.8.2).

В соответствии с доказательством достаточности теоремы об автоморфизмах графов коммутативны следующие диаграммы:

49

4, 1, 8 −−−→ 4, 7, 5

что эквивалентно автоморфности g.

50