Книги и конспекты / Горьковой Дискретная Математика

переходящих в t, один представитель и обозначим его через h(t). Тогда получим функцию h : T → S, такую, что f (h(t)) = t для всех t T , т.е. f h = 1T , как утверждалось.

С л е д с т в и е. Функция f : S → T является биекцией тогда и только тогда, когда она обратима слева и справа.

Теорема 2. Следующие свойства функции f : S → T эквивалентны:

(i)f — биекция;

(ii)f обладает левой обратной g и правой обратной h. Если эти свойства выполняются, то

(iii)все обратные к f функции (левые, правые и двусторонние) совпадают. Эта единственная обратная к f функция f −1 биективна, и (f −1)−1 = f .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Эквивалентность свойств (i) и (ii) является просто переформулировкой предыдущего следствия. Из условия (ii) вытекает, что

g = g1T = g(f h) = (gf )h = 1S h = h.

Это показывает, что все левые и правые обратные к f совпадают, и доказывает (iii). Наконец, биективная функция f обратна к своей обратной функции g = h, ибо gf = 1S и f h = 1T . Следовательно, обратная функция биективна и имеет f в качестве своей единственной обратной, т.е. (f −1)−1 = f .

1.5. Функции из S в S

Рассмотрим множество SS всех функций с областью и кообластью S. Оно образует алгебраическую систему [SS , ◦] с бинарной операцией ◦ (левая композиция). Поскольку кообласть любой функции из SS совпадает с областью любой другой функции, композиции f ◦g и f ♦g = g ◦f всегда существует в SS . Кроме того, обе эти операции удовлетворяют следующему закону ассоциативности:

f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h, f ♦(g♦h) = (f ♦g)♦h

для всех f, g, h SS . Далее, в этой алгебраической системе тождественная функция 1S удовлетворяет соотношениям

1S ◦ f = f ◦ 1S = f, т.е. f 1S = 1S f = f, для всх f SS .

11

Приведенные соотношения имеют одинаковый вид для операций ◦ и ♦

Когда f 2 = f ◦f = f , функция f называется идемпотентом, или проектором. Например, ортогональный проектор (x, y)-плоскости на x-ось или y-ось является идемпотентом. Заметим также, что два эти проектора обладают свойством f ◦g = g ◦f (или, что то же самое, g♦f = f ♦g), поскольку f ◦g и g◦f отображают любую точку плоскости в начало координат (0, 0). Функции f, g со свойством f g = gf называются коммутирующими, или перестановочными.

Элементы 1, α, β идемпотенты, т.е. 12 = 1, α2 = α и β2 = β. Функция f не идемпотентна, ибо f 2 = e. Кроме того, α ◦ β =6 β ◦ α, так что операция ◦ (и противоположная к ней ♦) не коммутативна. У функций α и β нет обратных, ни правой, ни левой, а f обратна сама к себе (т.е. f 2 = 1).

УПРАЖНЕНИЯ

1. Рассмотрим функции f (n) = 3n, g(n) = 3n + 1, h(n) = 3n + 2 из Z в Z. Построить функцию, которая была бы обратной слева к f, g, и h одновременно.

2.а) Если f g определена и обе функции f, g имеют обратные, показать, что f g имеет левую обратную.

б) Показать на примере, что обратное утверждение верно не всегда: f g может иметь левую обратную функцию даже тогда, когда f ее не имеет.

3.а) Показать, что композиция gf для двух любых инъекций f : S → T и g : T → U является инъекцией.

б) Доказать то же утверждение для сюръекций.

12

4.а) Сколько имеется сюръекций из трехэлементного множества на двухэлементное?

б) Сколько имеется инъекций из трехэлементного множества в четырехэлементное?

5.а) Рассмотрим отображение x 7→x2 каждого из следующих множеств в себя:

P, Z, Q, R, C.

Определить образ каждого из этих отображений и выяснить, являются ли они инъекциями.

б) Тот же вопрос для x 7→x3.

6.а) Какие подмножества множества 4 = {1, 2, 3, 4} представляются следующими двоичными последовательностями: 1001, 0110, 1101, 0010.

б) Показать, что если двоичная последовательность n = n1n2n3n4 представляет множество S, то последовательность n′ = (1 − n1) (1 − n2)(1 − n3)(1 −n4) представляет его дополнение. Проиллюстрировать это на примерах из п. а).

7. Пусть n(X) — число элементов множества X. Тогда следующие тождества верны для любых трех конечных множеств:

а) n(A) + n(B) = n(A ∩ B) + n(A B);

б) n(A B C) + n(A ∩ B) + n(B ∩ C) + n(C ∩ A) =

=n(A ∩ B ∩ C) + n(A B) + n(B C) + n(C A).

8.В кровопролитном бою не менее 70% воинов потеряли глаз, не менее 75%

— ухо, не менее 80% — руку и не менее 85% — ногу. Оценить снизу число воинов, потерявших одновременно глаз, ухо, руку, и ногу (Льюис Кэрролл).

1.6.Суммы, произведения и степени

Оп р е д е л е н и е 12. Будем говорить, что конечное множество S состоит из m элементов, или что его кардинальное число равно m, если существует биекция b : S → m = {1, 2, ..., m}. Будем считать, что пустое множество имеет 0 элементов.

Оп р е д е л е н и е 13. Пусть даны два множества S и T . Их раздельным объединением, или суммой, называется множество D = S T вместе с фиксированными биекциями i : S → S D

иj : T → T D, такими, что S и T — взаимно дополнитель-

ные подмножества D.

Если S U, T U и S ∩T = , тогда S T = S T, i = 1S , j = 1T и

n(S T ) = n(S) + n(T )

13

Имеют место следующие очевидные биекции:

α : S T → T S, β : S (T U ) → (S T ) U.

О п р е д е л е н и е 14. Декартовым, или прямым, произведением S × T множеств S и T называется множество упорядоченных пар вида (s, t), где s принадлежит S, а t принадлежит

T .

Так, если R — множество всех вещественных чисел, то R × R

—множество всех упорядоченных пар (x, y) вещественных чисел. Как и выше, имеются естественные биекции:

S × T → T × S, S × (T × U ) → (S × T ) × U .

Наконец, вместо естественных инъекций f : S → S T и g : T → S T определены естественные сюръекции:

Эти сюрьекции называются проекторами на сомножители произведения S × T по аналогии с проекторами плоскости на оси декартовой координатной системы.

Множество всех функций из множества S в множество T обозначается через T S . Если S и T конечны и состоят из n(S) и n(T ) элементов соответственно, то имеет место формула

n(T S ) = n(T )n(S).

Действительно, для каждого si S значение f (si) T можно выбрать ровно n(T ) способами. Все эти способы независимы, поэтому f выбирается одним из n(T ) × ... × n(T ) (n(S) раз) способов.

/ S.

определяет естественную биекцию b : P(U ) → 2U , которая ставит в соответствие каждому подмножеству S U его характеристическую функцию eS 2U . Эта же биекция отождествляет подмножества из n = {1, 2, ..., n} с двоичными последовательностями длины n.

В общем случае имеются естественные биекции:

T R S → T R × T S , (T × U )S → T S × U S , (S )R → T S×R.

14

1.7. Аксиомы Пеано

Итальянский математик Дж. Пеано систему [P, +, ×], где P множество положительных целых чисел, определил как алгебраическую систему [P, σ] с одной унарной операцией σ счета.

Функция σ PP называется функцией следования Пеано и характеризуется следующими аксиомами:

S1. Если σ(m) = σ(n), то m = n (σ взаимно однозначна). S2. Не существует такого n P, что σ(n) = 1.

S3. Пусть подмножество S P удовлетворяет двум условиям: a)1 S и б) из того, что n S следует σ(n) S. Тогда S = P.

В терминах бинарной операции σ операции сложения и умножения в множестве P определяются следующими рекурсивными описаниями.

П р и м е р 4. Для любого m P функция σ определяется простой рекурсией:

m + 1 = σm(1) = σ(m),

m + (n + 1) = σm(σn) = σ(σm(n)).

Для фиксированного m P рассмотрим множество Sm всех n P для которых σm(n) определена. В силу (1.7.1), 1 Sm, а согласно (1.7.2), из того, что n Sm, следует, что σ(n) Sm. Значит, в силу аксиомы S3, функция σm(n) = m + n определена для всех n P.

Если теперь m будет пробегать все множество P, то мы получим бинарную операцию сложения + : P × P → P.

П р и м е р 5. Для фиксированного m P определим функцию pm : n 7→nm следующей простой рекурсией:

Как и в предыдущем примере, проверяется, что множество Sm всех n P, для которых pm(n) определена, совпадает со всем P. Поэтому, если m и n пробегают все P, мы получаем бинарную операцию умножения на P.

15

1.8. Финитная индукция

Предположим, что задана последовательность высказываний P (1), P (2), P (3), ..., каждое из которых может быть либо истинным, либо ложным. Принцип финитной (конечной) индукции утверждает, что для доказательства истинности высказываний P (n) для всех n P достаточно установить, во-первых, истинность P (1) и, во-вторых, истинность бесконечной последовательности импликаций

P (1) P (2) P (3) ... P (n) P (n + 1) ....

Второе условие можно записать как утверждение, что (для всех n) из истинности P (n) следует истинность P (σ(n)). Здесь σ(n) = σn = n + 1 — функция следования.

Принцип финитной индукции немедленно следует из аксиомы Пеано S3. Действительно, пусть T P — множество всех положительных целых чисел n, для которых P (n) истинно. Если 1 T и если из того, что n T , следует, что σ(n) T , то, в силу аксиомы S3, T = P.

Докажем индуктивным методом коммутативность и ассоциативность сложения целых чисел.

Теорема 3. Определим сложение в [P, σ] формулой m + n =

Докажем ассоциативность. Обозначим через P (r) высказывание об истинности (1.8.1) для этого r и всех m, n P. Тогда P (1) утверждает [если r = 1 в (1.8.1)], что m + σ(n) = σ(m + n); это верно в силу (1.7.2).

Пусть теперь истинно высказывание P (r):

m + (n + r) = (m + n) + r,

для всех m, n. Снова, замечая, что m + σ(n) = σ(m + n) согласно

(1.7.2), находим

16

где над каждым знаком равенства отмечено, на основании чего это равенство справедливо (для всех m, n P). Снова применяя (1.7.2) к m + n и r, получаем

(1.7.2)

σ((m + n) + r) = (m + n) + σ(r).

Отсюда окончательно

m + (n + σ(r)) = (m + n) + σ(r) для всех m, n P.

Но это высказывание совпадает с P (σ(r)). Это завершает доказательство (1.8.1).

Чтобы установить (1.8.2), начнем с n = 1. Обозначим через P (m) высказывание m + 1 = 1 + m и снова проведем индукцию. Поскольку 1 + 1 = 1 + 1, утверждение P (1) истино. Считая P (m) истинным, с помощью (1.7.1) и (1.8.1) доказываем истинность высказывания

(m + 1) + 1 = (1 + m) + 1 = 1 + (m + 1),

т.е. P (m + 1). Это завершает индукцию и доказывает истинность P (m) для всех m.

Теперь обозначим через Q(n) высказывание m + n = n + m для всех m. Мы доказали Q(1). Считая Q(n) истинным, мы затем можем последовательно доказать, что

m + (n + 1) = (m + n) + 1 = (n + m) + 1 = n + (m + 1) =

= n + (1 + m) = (n + 1) + m,

применяя (1.8.1), Q(n), (1.8.1), P (m) и (1.8.1) (в указанном поряд-

ке). Это означает, что Q(n + 1) истинно, и завершает индукцию. Но истинность Q(n) для всех n, очевидно, и означает (1.8.2).

Аналогичные доказательства можно провести для законов ассоциативности и коммутативности умножения целых положительных чисел:

Пользуясь индукцией, нетрудно вывести из аксиом Пеано также и дистрибутивные законы. Обозначим через P (r) высказывание, что m(n + r) = mn + mr для всех m, n P. Тогда P (1) следует из (1.7.4) и (1.8.2). Затем, приняв P (r), получаем

m(n + σ(r)) = m(n + (r + 1)) = m((n + r) + 1) =

17

= m(n + r) + m = mn + mr + m = (в силу P (r))= = mn + (mr + m) = mn + mσr.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Определив подходящим образом xn , доказать по индукции следующие тождества в P:

1n = 1, xm xn = xm+n , (xy)n = xn yn , (rs )n = rsn .

2. Определим xn рекурсией: x1 = x и xσn = xn x. Доказать по индукции, что если a2 = a, то an = a для всех n P.

k=1

¡ ¢

5. Полагая по определению s = r!/s!(r − s)!, доказать по индукции, что

k=0

7.Доказать по индукции, что из m + r = m + s в P следует, что r = s.

8.а) Доказать по индукции, что композиция инъекций fm ◦ fm−1 ◦ ... ◦ f1 является инъекцией.

б) Доказать аналогичное утверждение для сюръекций. 9. Доказать, что в P справедливы следующие факты:

а)m < n тогда и только тогда, когда m + r = n для некоторого r P.

б) m ≤ n тогда и только тогда, когда m + r = n для некоторого r N.

18

2

БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ И ГРАФЫ

2.1. Введение

Бинарным отношением α между множествами X и Y, а также графиком этого отношения, называется любое множество упорядоченных пар (x, y), где x X, y Y. Если (x, y) α, мы говорим, что x находится в отношении α к y, и пишем xαy. Если x не находится в отношении α к y, то мы пишем xα′ y.

Бинарное отношение может задаваться правилом, которое позволяет для каждой пары (x, y) решить, находится ли x в отношении α к y.

Понятие бинарного отношения между X и Y служит обобщением понятия функции f : X → Y. Действительно, каждая функция f : X → Y определяет бинарное отношение αf между X и Y :

Обратно, пусть дано бинарное отношение α между множествами X и Y. Рассмотрим для каждого x X множество всех y Y со свойством xαy. Это соответствие определяет функцию f : X → Y тогда и только тогда, когда для каждого x X существует ровно один элемент y Y со свойством xαy. Таким образом, понятие бинарного отношения включает понятие функции как (очень важный) частный случай.

Следуюший пример из аналитической геометрии показывает, каким образом многозначную функцию (так же, как и однозначную) можно рассматривать как бинарное отношение между ее областью и кообластью [1].

П р и м е р 5. Пусть X = Y = R (множество вещественных

ность радиусом 5 с центром в начале координат. В этом примере 3α4 и 4α(−3), но, например, 2α′3.

19

Слово ««график»» в применении к окружности, состоящей из

лось, употребляется и для произвольного бинарного отношения. Хотя бинарное отношение и его график являются эквивалентными понятиями, иногда, особенно при задании отношения с помощью правила, удобно иметь для графика особое обозначение.

О п р е д е л е н и е 15. Графиком бинарного отношения между множествами X и Y называется множество S(α) всех

пар (x, y) X × Y , таких, что xαy.

Символически: S(α) = {(x, y) : xαy}.

Тогда график S(α) имеет вид S(α) = {(a, c), (a, d), (b, e)}. Заметим, что отрицание α′ отношения α является бинарным

отношением между X и Y . Переобозначив α′ через β, мы получим,

что β задается списком aβ′ c, aβ′ d, aβe, bβc, bβd, bβ′e.

Двойное отрицание α совпадает с α. Это верно и в общем слу-

то (α′)′ = α.

Любое бинарное отношение ρ между конечными множествами X = {x1 , . . . , xm } и Y = {y1, . . . , yn} можно задать таблицей, строки которой отвечают элементам X, столбцы — элементам Y, а на пересечении xi-й строки и yj-го столбца записана единица, если

Табличная запись любого отношения ρ позволяет отождествить ρ (например, α или β = α′) с характеристической функцией графика этого отношения: значение этой функции на элементе (xi , xj ) стоит на пересечении i-й строки и j-го столбца таблицы:

20