Книги и конспекты / Горьковой Дискретная Математика

Аналогично, если g(X) — любой многочлен степени, меньшей чем n, то g(S) = {g(X)}, и этот класс вычетов не есть идеал.

Из этой теоремы следует, что различные многочлены от S, степени, меньше чем n, являются различными классами вычетов, так как в противном случае их разность была бы многочленом от S степени, меньшей чем n, который был бы равен 0.

Теорема 44. Пусть J — идеал в алгебре многочленов по модулю f (X), а g(X) — отличный от нуля многочлен наименьшей степени, такой, что класс вычетов {g(X)} принадлежит J . При этом класс вычетов {s(X)} принадлежит J тогда и только тогда, когда многочлен s(X) делится на g(X). Более того,

многочлен g(X) является делителем f (X).

Д о к а з а т е л ь с т в о. В соответствие с алгоритмом деления Евклида

s(X) = g(X)q(X) + r(X),

где степень r(X) меньше степени g(X). Следовательно,

{s(X)} = {g(X)}{q(X)} + {r(X)},

и если классы вычетов {s(X)} и {g(X)} принадлежат J , то класс вычетов {s(X)} − {g(X)}{q(X)} = {r(X)} также принадлежит J . Так как степень r(X) меньше степени g(X) и по предположению g(X) — ненулевой многочлен наименьшей степени, такой, что класс вычетов {g(X)} принадлежит J , то многочлен r(X) должен быть равен 0. Следовательно, многочлен s(X) кратен мнонгочлену g(X). Обратно, если многочлен s(X) кратен многочлену g(X), то s(X) = g(X)q(X) и {s(X)} = {g(X)}{q(X)}, так что если класс вычетов {g(X)} принадлежит J , то класс вычетов {s(X)} также должен принадлежать J .

В соответствии с алгоритмом деления Евклида

f (X) = g(X)q(X) + r(X),

где степень многочлена r(X) меньше степени g(X). Поэтому

{0} = {f (X)} = {g(X)}{q(X)} + {r(X)},

и, значит, класс вычетов {r(X)} принадлежит J . Поскольку степень r(X) меньше степени g(X), то многочлен r(X) должен быть нулевым, и, следовательно, многочлен f (X) кратен g(X). Что и требовалось доказать.

116

Теорема 45. Для любого идеала J в алгебре многочленов по модулю f (X) существует единственный нормированный многочлен g(X) минимальной степени, такой, что класс вычетов {g(X)} принадлежит идеалу J . И наоборот, каждый нормированный многочлен g(X), являющийся делителем f (X), порождает некоторый идеал J , в котором g(X) является нормированным

многочленом наименьшей степени.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Должен существовать многочлен наименьшей степени h(X) = h0 + h1X + ... + hk Xk , такой, что класс

вычетов {h(X)} принадлежит J . Тогда многочлен h−1h(X) оказы-

k

вается нормированным многочленом наименьшей степени, класс вычетов которого также принадлежит J , и, следовательно, в J существует по крайней мере один нормированный многочлен минимальной степени. Предположим, что существуют два таких многочлена g(X) и g′(X). Тогда по предыдущей теореме многочлен g′(X) делится на g(X) и многочлен g(X) делится на g′(X), и, таким образом, они отличаются самое большее на множитель, являющийся элементом поля. Поскольку по предположению оба многочлена являются нормированными, этим элементом поля должна быть 1 и g(X) = g′(X). Следовательно, существует единственный нормированный многочлен минимальной степени g(X), класс вычетов которого {g(X)} принадлежит J .

Предположим теперь, что g(X) — нормированный многочлен, являющийся делителем f (X), и рассмотрим идеал J , порожденный классом вычетов g(X), т.е. идеал, содержащий все классы вычетов, кратные {g(X)}. Пусть класс вычетов {r(X)} принадлежит J . Тогда

{r(X)} = {g(X)}{a(X)} = {g(X)a(X)}

для некоторого многочлена a(X), и поэтому

r(X) = g(X)a(X) + f (X)b(X)

для некоторого многочлена b(X). Так как многочлен f (X) кратен g(X), то r(X) также кратен g(X), и поэтому, если многочлен r(X) отличен от нуля, он имеет степень, по крайней мере не меньшую, чем степень g(X). Таким образом, g(X) — нормированный многочлен минимальной степени, класс вычетов которого принадлежит J . Что и требовалось доказать.

Теорема 46. Пусть f (X) = g(X)h(X), где f (X) — многочлен степени n, а h(X) — многочлен степени k. Тогда идеал,

117

порожденный классом вычетов {g(X)} в алгебре многочленов по

модулю f (X), имеет размерность k.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В идеале, который является некоторым подпространством, векторы {g(X)}, {Xg(X)}, ..., {Xk−1g(X)} линейно независимы, ибо любая линейная комбинация этих векторов имеет вид {(a0 + ... + ak−1Xk−1)g(X)} и отлична от нуля, так как каждый класс вычетов содержит некоторый многочлен степени, меньшей чем n. Более того, если {s(X)} принадлежит идеалу, многочлен s(X) делится на g(X), а если s(X) — многочлен наименьшей степени в своем классе вычетов, то его степень меньше n. Таким образом,

s(X) = g(X)q(X) = g(X)(q0 + q1X + ... + qk−1Xk−1)

и

{s(X)} = q0{g(X)} + q1{Xg(X)} + ... + qk−1{Xk−1g(X)},

так что k векторов {g(X)}, {Xg(X)}, ..., {Xk−1g(X)} порождают идеал. Следовательно, размерность идеала равна k. Что и требовалось доказать.

Будем говорить, что многочлен r(S) принадлежит нулевому подпространству идеала J , если r(S)s(S) = 0 для любого многочлена s(S) из J .

Теорема 47. Пусть f (X), g(X), h(X) — нормированные многочлены, и пусть f (X) = g(X)h(X). Тогда класс вычетов {a(X)} принадлежит нулевому подпространству идеала, порожденного многочленом h(X), тогда и только тогда, когда он принадле-

жит идеалу, порожденному многочленом g(X).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если {a(X)} принадлежит идеалу, порожденному многочленом g(X), а {b(X)} — любой класс вычетов из идеала, порожденного h(X), то многочлен a(X) кратен g(X) и многочлен b(X) кратен h(X), а произведение a(X)b(X) кратно f (X). Следовательно, {a(X)}{b(X)} = {a(X)b(X)} = 0, и, таким образом, класс вычетов {a(X)} принадлежит нулевому подпространству идеала, порожденного многочленом h(X). Обратно, если {a(X)}{h(X)} = 0, то произведение a(X)h(X) должно быть кратно f (X). Это значит, что многочлен a(X) должен делиться на g(X), и, следовательно, класс вычетов {a(X)} принадлежит идеалу, порожденному g(X). Что и требовалось доказать.

118

7.3. Поля Галуа

Теорема 48. Пусть p(X) — многочлен с коэффициентами из поля F . Алгебра многочленов над полем F по модулю p(X) является полем тогда и только тогда, когда многочлен p(X) неприводим в поле F , т.е. если p(X) нельзя представить в виде

произведения многочленов с коэффициентами из F .

Доказательство аналогично доказательству теоремы для случая целых чисел.

Рассмотрим кольцо многочленов с действительными коэффициентами по модулю неприводимого многочлена X2 + 1 = p(X). Обозначим через {X} = i класс вычетов, содержащий X. Тогда каждый элемент получившегося поля можно представить в виде многочлена от i степени, меньшей чем 2, т.е. в виде a + bi. Так как i удовлетворяет уравнению p(X) = 0, то i2 + 1 = 0, или i2 = −1. Это один из способов описания поля комплексных чисел.

Поле, образованное многочленами над полем F по модулю неприводимого многочлена p(X) степени k, называется расширением поля степени k над F . Поле F называется основным полем.

Поле многочленов над F = GF (p) по модулю неприводимого многочлена степени m называется полем Галуа, состоящим из pm элементов и обозначается как GF (pm).

Поля Галуа, которые могут быть образованы классами вычетов мнонгочленов по модулю неприводимого многочлена над полем GF (p), называются полями характеристики p. Таким образом, при любом выборе m поле GF (pm) — это поле характеристики p. В поле GF (p) элемент p = 0. Поскольку GF (p) — поле коэффициентов для GF (pm), то во всех полях характеристики p элемент p = 0. Тогда

и так как все биномиальные коэффициенты Ci , 0 < i < p содержат

p

p в качестве множителя и поэтому равны 0, то доказана следующая теорема:

Теорема 49. В поле характеристики p имеет место равен-

ство (a + b)p = ap + bp.

Рассмотрим теперь основное поле F и некоторое его расширение; пусть β — любой элемент расширения. Нормированный многочлен m(X) наименьшей степени с коэффициентами из основного

119

поля F , такой, что m(β) = 0, называется минимальным многочленом или минимальной функцией для β.

Теорема 50. Минимальная функция m(X) для любого эле-

мента β является неприводимым многочленом.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что, наоборот, m(X) = m1(X)m2(X). Тогда m(β) = m1(β)m2(β) и по крайней мере один из сомножителей m1(β) или m2(β) должен быть равен 0. Если эти сомножители нетривиальны, то это противоречит предположению о том, что m(X) — многочлен минимальной степени с корнем β. Что и требовалось доказать.

Теорема 51. Если f (X) — многочлен с коэффициентами из основного поля F и если f (β) = 0, то многочлен f (X) делится

на m(X) — минимальную функцию для β.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В соответствии с алгоритмом Евклида

f (X) = m(X)q(X) + r(X),

где r(X) — многочлен степени, меньшей степени m(X). Поскольку f (β) = 0 и m(β) = 0, то r(β) = 0. Так как m(X) — минимальная функция для β, а степень многочлена r(X) меньше степени m(X), то r(β) = 0, если только r(X) = 0. Что и требовалось доказать.

Из приведенной теоремы следует, что минимальная функция для β единственна. Из нее следует также, что если p(X) — нормированный неприводимый многочлен и p(β) = 0, то p(X) — минимальная функция для β.

Теорема 52. Для каждого элемента из расширения поля степени k над F существует минимальная функция для этого эле-

мента степени k или меньше.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Расширение поля является векторным пространством размерности k. Поэтому для любого элемента β совокупность из k + 1 элементов 1, β, β2, ..., βk неможет быть линейно независимой. Следовательно, должен существовать некоторый многочлен степени k или меньше от β, который равен 0, и этот многочлен можно нормировать, разделив его на коэффициент при высшей степени переменного. Что и требовалось доказать.

7.4.Мультипликативная группа поля Галуа

Влюбой конечной группе можно рассмотреть совокупность элементов, образованную некоторым элементом g и всеми его степенями gg = g2, gg2 = g3 и т. д. Может существовать самое большое

120

конечное число таких элементов, и поэтому для некоторых i и j должно быть gj = gi. Умножая это равенство на (gi)−1, получим 1 = gj−i. Следовательно, некоторая степень элемента g равна 1. Пусть e — наименьшее целое положительное число, такое, что ge = 1. Число e называется порядком элемента g. Совокупность элементов 1, g, g2, ..., ge−1 образует подгруппу, поскольку произведение любых двух элементов совокупности есть снова элемент этого же вида, а элемент, обратный gj , равен ge−j и, следовательно, тоже является одним из элементов этой совокупности. Группа, которая состоит из всех степеней одного из ее элементов, называется циклической группой.

Порядок e любого элемента g группы является делителем порядка группы, так как группа содержит циклическую подгруппу из e элементов, порожденную g, и некоторое число смежных классов по этой подгруппе, каждый из которых состоит тоже из e элементов.

Теорема 53. Совокупность корней многочлена Xq−1 −1 явля-

ется совокупностью всех q − 1 ненулевых элементов поля GF (q).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Совкупность q − 1 ненулевых элементов поля GF (q) образует группу. Порядок каждого элемента поля GF (q) должен быть делителем q − 1, и, следовательно, каждый из q − 1 элементов является корнем многочлена Xq−1 − 1. Но этот многочлен имеет самое большее q − 1 различных корней, так как его степень равна q − 1. Что и требовалось доказать.

Теорема 54. Многочлен Xn −1 делится на многочлен Xm −1

тогда и только тогда, когда n делится на m.

Д о к а з т е л ь с т в о. Предположим, что n = md. Тогда Y d −1 делится на Y − 1, поскольку Y = 1 — корень многочлена Y d − 1. Подставляя Xm = Y , получаем, что Xmd − 1 делится на Xm − 1.

Теперь допустим, что n = md + r, где r < d. Тогда

Xn − 1 = Xr (Xmd − 1) + Xr − 1,

и в соответствии с алгоритмом деления Евклида

Xn − 1 = q(X)(Xd − 1) + r(X).

Сравнивая эти равенства, находим

так как q(X) — многочлен, а степень r(X) меньше d. Таким образом, остаток равен 0 только тогда, когда r = 0, т.е. когда n

121

делится на m. Что и требовалось доказать.

Теорема 55. В поле GF (q) существует примитивный элемент α, т.е. элемент порядка q − 1. Каждый ненулевой элемент поля GF (q) может быть представлен как некоторая степень α, т.е. мультипликативная группа поля Галуа GF (q) является циклической.

элемент поля порядка ei = 1 2 . Поскольку e1 и e2 взаим- pi , i , , ..., r p1 p2

но просты, то существуют такие s и t, что spe1 + tpe2 = 1. Поэтому

1 2

(β1β2)spe11 = (β2)spe11 = (β2)1−tpe22 = β2; аналогично (β1β2)tpe22 = β1.

Таким образом β1 и β2 являются степенями β1β2, откуда следу-

ет, что порядок элемента поля 1 2 является делителем e1 e2 . Но

β β p1 p2

если (β1β2)pe11 pe22 /a = 1 при некотором a > 1, то либо порядок β1

меньше чем e1 , либо порядок 2 меньше чем e2 , что противо- p1 β p2

речит нашим предположениям. Следовательно, порядок β1β2 ра-

вен e1 e2 . Индукцией по отсюда выводим, что порядок элемента p1 p2 i

мультипликативная группа поля GF (q) циклическая. Что и требовалось доказать.

Поле Галуа GF (24) из 24 элементов можт быть образовано как поле многочленов над GF (2) по модулю X4 + X + 1. Пусть α обозначает класс вычетов, который содержит X. Тогда α является корнем многочлена X4 + X + 1 и примитивным элементом поля. Для этого случая 15 ненулевых элементов поля имют следующий вид:

122

Таблица 5.1. Представление поля GF (24)

Следующие теоремы содержат более детальные сведения о взаимосвязи между мультипликативными свойствами элементов поля, минимальными многочленами от элементов поля и многочленом

Xq − X.

Теорема 56. Если f (X) — многочлен с коэффициентами из поля GF (q) и β — корень f (X) в расширении GF (q), то βq также

является корнем f (X).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f (X) = a0 + a1X + ..., anXn. Тогда

Далеее, aq−2 = 1, и поэтому aq = a для любого элемента a GF (q).

Следовательно, [f (X)]q = a0 + a1Xq + ... + an(Xq )n = f (Xq )n = f (Xq ), и если f (β) = 0, то [f (β)]q = f (βq ) = 0. Что и требовалось доказать.

Теорема 57. Рассмотрим расширение поля GF (q), которое содержит все корни многочлена Xqm − X. Тогда совокупность

этих корней образует подполе.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если a и b — корни многочлена, то a + b — также корень многочлена Xqm − X, так как (a + b)qm = aqm + bqm = a + b. Кроме того, (−a)qm = −(aqm ) = −a, и, таким

123

образом, −a — также корень этого многочлена, если a является его корнем. (Заметим, что −a = a, если характеристика поля равна 2). Поэтому корни многочлена образуют аддитивную группу. Если a и b — корни многочлена, то произведение ab и обратный элемент a−1 (если a =6 0) также являются его корнями. Остальные аксиомы справедливы, поскольку корни принадлежат полю. Ч. т. д.

Теорема 58. Каждый многочлен p(X) степени m, неприводи-

мый над полем GF (q), является делителем многочлена Xqm − X.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если p(X) = X, то теорема, очевидно, верна. Пусть теперь p(X) =6 X и α =6 0 — корень многочлена p(X) в расширении поля многочленов по модулю p(X) над полем GF (q). Это поле является полем из qm элементов, и совокупность всех его ненулевых элементов образует группу порядка qm − 1. Поэтому порядок α должен быть делителем qm − 1 и α должен быть корнем многочлена Xqm −1 − 1. Тогда многочлен p(X) является делителем многочлена Xqm − X. Ч. т. д.

Теорема 59. Каждый делитель многочлена Xqm − X, неприводимый над полем GF (q), имеет степень, равную m или мень-

шую m.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что многочлен p(X) степени k представляет собой неприводимый делитель многочлена Xqm − X над полем GF (q), и рассмотрим расширение поля многочленов над GF (q) по модулю p(X). Оно состоит из qk элементов, каждый из которых может быть представлен в виде a0 + a1α + ... + ak−1αk−1 = β, где α — корень многочлена p(X), а

— элементы поля GF (q). Тогда

Так как aqm −1 = 1 и, следовательно, aqm = a для любого элемента a из поля GF (qm), поскольку a0, a1, ..., ak−1 принадлежат GF (q) и, следовательно, принадлежат также расширению поля GF (qm), то

βqm = a0 + a1αqm + ... + ak−1αqm (k−1).

Но α —корень многочлена Xqm − X, поэтому αqm = α и αjqm = αj для всех j. Таким образом,

βqm = a0 + a1α + ... + ak−1αk−1 = β,

т.е. β — также корень многочлена Xqm − X. Так как число таких элементов составляет qk , тогда как Xqm − X имеет не более чем qm корней, то qm ≥ qk и, следовательно, m ≥ k. Ч. т. д.

124

Теорема 60. Если β — элемент расширения поля GF (q), то порядок e элемента β является делителем числа qk − 1, но не является делителем никакого меньшего числа вида qn − 1; здесь

k— степень минимальной функции для β.

До к а з а т е л ь с т в о. Пусть m(X) — минимальная функция для β; предположим, что ее степень равна k. Тогда m(X) является

делителем многочлена Xqk −1 − 1, а β — корнем этого многочлена. Поэтому порядок β является делителем qk − 1. Предположим, что qn − 1 делится на порядок β при n ≤ k. Тогда β является корнем многочлена Xqn − X, а m(X) — его делителем. Таким образом, степень многочлена m(X) не превосходит n. Ч. т. д.

Теорема 61. Пусть p(X) — многочлен степени m с коэффициентами из поля GF (q), который неприводим в этом поле, и пусть β корень многночлена p(X) в расширении поля. Тогда β, βq , ..., βqm−1 образуют совокупность всех корней многочлена

p(X).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Элементы β, βq , ..., βqm−1 являются корнями многочлена p(X). Покажем, что все они различны. Предположим, что это не так и βqi = βqj , и пусть j < i. Тогда

= qm = ( qi )qm−i = ( qj )qm−i = m+j−i

β β β β β

1= (qm+j−i −1)

β.

Таким образом, порядок β является делителем q − 1. Но многочлен p(X) отличается от минимального многочлена для β самое большое на постоянный множитель, и m + j − i < m, где m степень p(X). Это противоречит утверждению предыдущей теоремы и, следовательно, элементы β, βq , ..., βqm−1 различны. Так как многочлен p(X) может иметь самое большее m корней, то этим исчерпываются все корни p(X). Ч. т. д.

Теорема 62. Все корни неприводимого многочлена имеют

один и тот же порядок.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если β — один из корней многочлена, то любой из остальных корней, по предыдушей теореме, может быть представлен в виде βqj при некотором j. Пусть e — порядок β, а e′ — порядок βqj . Тогда

(βqj )e = βeqj = (βe)qj = 1qj = 1,

125