Книги и конспекты / Горьковой Дискретная Математика

4

ДЕКОМПОЗИЦИЯ ГРАФОВ

Здесь мы рассмотрим операции умножения, суммирования и композиции над множеством графов Бержа.

Если прямая задача, т. е. задача составления из нескольких графов более сложного с помощью различных операций, не требует привлечения дополнительных средств кроме тех, что указаны в определении, то обратная задача, т. е. задача декомпозиции, не может быть решена с использованием лишь информации о той или иной операции. Поэтому здесь используется понятие представления графа, которое характеризует количественно не только каждую вершину в графе, но и определяет связь между этими локальными характеристиками графа.

Распространяя определения различных операций на представления, мы тем самым можем построить некоторую арифметику над множеством количественных характеристик графа.

Как сам граф, так и его разложение по данной операции восстанавливаются с точностью до изоморфизма по их представлениям.

4.1. Умножение, сумма и композиция графов

Пусть G = (X, F ) — граф Бержа, X — множество вершин, а F : X → X — соответствие, при котором каждому x X отвечает некоторое подмножество x из X вершин, в которые исходят дуги из x.

О п р е д е л е н и е 43. Представлением графа G называется пара ΠG = (TX , AF ), где TX −1x| и AF : TX → TX ставит в соответствие каждой паре (α, β)x из TX некоторое подмножество пар из TX по следующему правилу:

О п р е д е л е н и е 44. Граф Q = (Z, U ) называется произведением графов G = (X, F ) и H = (Y, P ) и обозначается

61

Q = G × H, если Z = X × Y и для каждого z из Z

П р и м е р 15. Пусть даны графы G = (X, F ) и H = (Y, P ), где X = {x1, x2}, Y = {y1, y2, y3}, а F и P задаются следующими таблицами:

Найдем произведение графов G и H. Согласно определению

Q = G × H = (Z, U )

и

Z = {(x1, y1)(x1, y2)(x1, y3)(x2, y1)(x2, y2)(x2, y3)},

Введем обозначения:

(x1, y1) = z1, (x1, y2) = z2, (x1, y3) = z3,

(x2, y1) = z4, (x2, y2) = z5, (x2, y3) = z6,

тогда Z = {z1, z2, z3, z4, z5, z6}. Согласно (4.1.2)

Таким образом, таблица, задающая соответствие U , имеет вид

Найдем представление графа Q, для чего построим таблицу, задающую соответствие U −1 графа Q = (Z, U −1), которое определяется как отображение, при котором каждому z из Z отвечает множество вершин из Z, из которых в z имеются дуги.

62

Из таблицы для U имеем

Таким образом,

TZ = {(2.2)1, (1.2)2, (2.1)3, (4.4)4, (2.4)5, (4.2)6},

где для краткости положено zi = i, i = 1, 6, а соответствие AU задается таблицей

Теорема 19. Пусть G = (X, F ) и H = (Y, P ) — два графа Бержа. Тогда вершина z = (x, y) графа Q = (Z, R) = G × H обладает петлей тогда и только тогда, когда вершины x X

иy Y обладают петлями.

До к а з а т е л ь с т в о. Теорему можно переформулировать следующим образом:

z Rz x F x & y P y.

Если (z = (x, y) Z) Rz = F x×P y, то из определения декартова произведения следует, что x F x & y P y. И наоборот, если x F x & y P y, то z = (x, y) F x × P y = Rz.

О п р е д е л е н и е 45. Граф N = (Z, L) называется суммой графов G и H и обозначается N = G + H, если Z = X × Y и

где z = (x, y) Z; x X; y Y .

П р и м е р 16. Пусть даны графы G и H, из примерa 1. Очевидно, Z = (z1, z2, z3, z4, z5, z6), а отображение L : Z → Z определяется

63

следующим образом:

Lz1 = (F x1 × {y1}) ({x1} × P y1) = {z1, z3, z4},

Lz2 = (F x1 × {y2}) ({x1} × P y2) = {z2, z5},

Lz3 = (F x1 × {y3}) ({x1} × P y3) = {z1, z2, z6},

Lz4 = (F x2 × {y1}) ({x2} × P y1) = {z1, z4, z6},

Lz5 = (F x2 × {y2}) ({x2} × P y2) = {z2, z5},

Lz6 = (F x2 × {y3}) ({x2} × P y3) = {z3, z4, z5, z6},

Теорема 20. Пусть N = (Z, L) = G + H и G = (X, F ), H =

(Y, P ). Тогда (z = (x, y) Z) Lz x F x y P y.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если z = (x, y) Lz = F x ×{y} {x}×

P y, то (x, y) F x × {y} и тогда x F x, либо (x, y) {x} × P y, и

тогда y P y.

И наоборот, если x F x, либо y P y, то (x, y) F x×{y}, либо

(x, y) {x}×P y. Следовательно, z = (x, y) F x×{y} {x}×P y =

Lz.

О п р е д е л е н и е 40. Граф K = (Z, R) называется композицией графов G и H и обозначается K = G H, если

где z = (x, y) Z, x X, y Y .

Рассмотрим графы G и H из первого примера и вычислим их композицию. Как и ранее, Z = (z1, z2, z3, z4, z5, z6), а отображение R : Z → Z задается системой равенств

Rz1 = (F x1 × Y ) (X × P y1) = (z1, z3, z4, z5, z6),

Rz2 = (F x1 × Y ) (X × P y2) = (z2, z4, z5, z6),

Rz3 = (F x1 × Y ) (X × P y3) = (z1, z2, z4, z5, z6), Rz4 = Rz5 = Rz6 = (F x2 × Y ) S(X × P y1) = (z1, z2, z3, z4z5, z6),

или в табличной форме

64

Теорема 21. Пусть T = (Z, M ) = G H и G = (X, F ), H =

(Y, P ). Тогда

(z = (x, y) M z) (x F x y Y ) (y P y x X).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из того, что z = (x, y) M z = F x × Y X ×P y, следует, что (x, y) F x ×Y и, значит x F x y Y ,

либо (x, y) X × P y, и тогда y P y x X.

И наоборот, если x F x y Y , то (x, y) F x × Y. А если

y P y x X, то x, y X × P y. Следовательно, z = (x, y)

F x × Y X × P y = M z.

Оказывается, операции умножения, суммирования и композиции обладают некоторыми общими свойствами, позволяющими выделить их в общий класс.

Пусть G = (X, F ) и H = (Y, P ) — два графа Бержа. Обозначим через A множество операций {×, +, }, а произвольную операцию из A — через ◦ .

О п р е д е л е н и е 46. Граф Ω = G ◦ H = (Z, B) тогдa и

Здесь z = (x, y) Z, x X, y Y, X′ X, Y ′ Y .

Из соотношени (4.1.5) следует, что различные алгебраические операции из A отличаются друг от друга выбором элементов из

X′ и Y ′.

Если X′ = {x}, Y ′ = {y}, то (4.1.5) определяет операции суммирования Bz = (F x × {y}) ({x} × P y).

В том случае, когда X′ = F x, а Y ′ = P y, (4.1.5) определяет операцию умножения Bz = F x × P y.

Наконец, если X′ = X, а Y ′ = Y , получаем операцию композиции графов G и H : Bz = (F x × Y ) (X × P y).

Очевидно, операция ◦ ассоциативна и вместе с операцией объединения подчиняется дистрибутивному закону .

65

Можно определить множество алгебраических операций, двойственных операциям из A.

Так как каждая операция полностью определяется соответствующим отображением, то вычисление операций, двойственных к

ем по отображению до соответствующего насыщенного графа, у которого для любого z Z, Bz = Z.

Вдальнейшем черта над множеством будет означать дополнение до соответствующего множества вершин графа.

Всилу соотношения (X ×Y ) \(X′ ×Y ′) = ((X −X′) ×Y ) (X ×

(Y − Y ′)), где X′ X, Y ′ Y ,

((X × Y ) \ (F x × Y ′)) ∩ ((X × Y ) \ (X′ × P y)) =

(((X \ F x) × Y ) (X × (Y \ Y ′))) ∩ (((X \ X′) × Y ) (X×

двойственную к операции ◦, которая графам G и H сопоставляет граф S = G◦¯H, причем S = (Z, B), где Z = X × Y , а

Оказывается, операция композиции является двойственной к операции умножения. Подставляя в (4.1.6) F x и P y, получаем

что является композицией дополнений по отображению исходных графов.

Аналогично, вычисляя операцию, двойственную операции композиции, получаем операцию умножения дополнений по отображению исходных гpафов.

66

Оказывается, что графы G H и G ×H представляются в виде разложения по операциям , × и ∩, соответственно:

4.2. Бинарные отношения и операции над графами

Пусть G = (X, F ) — граф Бержа, где X — конечное множество, а F : X → X такое, что F x X.

Функции F : X → X можно сопоставить бинарное отношение

αна X следующим образом: yαx y F x, x, y X. Тогда определение графа Бержа можно сформулировать так:

Графом Бержа называется пара G = (X, α), где X — конечное множество, а α — бинарное отношение на X.

Пусть α — бинарное отношение на X, а β — на Y , тогдa γ =

α× β есть бинарное отношение на X × Y , такое, что

(x, y)γ(z, t) xαz & yβt, x, z X, y, t Y.

Определим бинарное отношение δ = α + β на X ×Y следующим образом:

(x, y)δ(z, t) (x = z & yβt) (xαz & y = t).

Здесь x, z X, y, t Y .

Бинарным отношением ε = α β на X × Y называется отношение, определяемое следующим образом:

(x, y)ε(z, t) (xαz yβt).

Пусть G = (X, F ) и H = (Y, P ) — два графа Бержа и Q = G × H, N = G + H, M = G H — произведение, сумма и композиция графов.

Теорема 22. Пусть G = (X, α) и H = (Y, β). Тогда Q =

G×H = (Z, γ) тогда и только тогда, кoгда Z = X ×Y и γ = α×β.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть G = (X, F ), H = (Y, P ) Q = (Z, R) = G × H, где Z = X × Y . Тогда по функциям F : X → X, P : Y → Y R : Z → Z построим бинарные отношения α, β, γ над множествами X, Y Z соответственно:

x′αx x′ F x, y′βy y′ P y z′γz z′ Rz,

67

где z = (x, y), x X, y Y.

Имеет место следующая последовательность импликаций: z′ = (x′, y′) R(x, y) = Rz = F x × P y x′ F x &

&y′ P y x′αx & y′βy (x′, y′)γ(x, y),

откуда γ = α × β.

Инаоборот, если γ = α × β, то по бинарным отношениям α, β

иγ построим функции F : X → X, P : Y → Y и R : Z → Z, где Z = X × Y , следующим образом

F x = {x′ X : x′αx}, P y = {y′ Y : y′βy}

и

Rz = {z′ Z : z′γz}.

Тогда

(x′, y′)γ(x, y) (x′αx & y′βy) (x′ F x & y′ P y)

(x′, y′) F x × P y,

и, следовательно, Rz = F x × P y. Если положить

G = (X, F ), H = (Y, P ) и Q = (Z, R), то граф Q будет иметь вид Q = G × H.

Теорема 23. Пусть G = (X, α) и H = (Y, β).Тогда N = G+H = (Z, δ) тогда и только тогда, когда Z = X ×Y и δ = α+β.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть G = (X, F ), H = (Y, P ) и N = (Z, L) = G + H. По функциям F ,P и L, как и в теореме 22, построим бинарные отношения α, β δ. Тогда имеем

z′ = (x′, y′) L(x, y) = Lz = F x × {y} {x} × P y (x′, y′)

F x × {y} (x′, y′) {x} × P y (x′ F x & y′ = y) (x′ =

= x & y′ P y) (x′αx & y′ = y ) (x′ = x & y′βy) (x′, y′)δ(x, y) и, следовательно, δ = α + β.

Инаоборот, если δ = α + β, то по бинарным отношениям α, β

иδ построим, как в теореме 22, функции

F : X → X, P : Y → Y, L : Z → Z,

68

где Z = X × Y. Тогда

(x′, y′)δ(x, y) (x′αx & y = y′) (x′ = x & y′βy) (x′

F x & y′ = y) (x′ = x & y′ P y) (x′, y′) F x × {y}

(x′, y′) {x} × P y (x′, y′) F x × {y} {x} × P y

Lz = L(x, y) = F x × {y} {x} × P y.

Если положить G = (X, F ), H = (Y, P ) и N = (Z, L), то N =

G + H.

Теорема 24. Пусть G = (X, α) и H = (Y, β). Тогда M =

(Z, ε) = G H тогда и только тогда, когда Z = X ×Y и ε = α β.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть G = (X, F ), H = (Y, P ) и M = (Z, T ) = G H, где Z = X × Y. Как и ранее, по функциям F, P и T построим бинарные отношения α, β и ε. Тогда

(x′, y′) T (x, y) = T z = F x × Y X × P y

(x′, y′) F x × Y (x′, y′) X × P y (x′ F xy′ P y) (x′αx y′βy) (x′, y′)ε(x, y)

и, следовательно, ε = α β.

И наоборот, если ε = α β, то по бинарным отношениям α, β, ε можно, как и ранее, построить функции F, P и T . В результате получим

(x′, y′)ε(x, y) (x′αx y Y y′βy x X) (x′ F x

y Y y′ P y x X) (x′, y′) F x × Y (x′, y′) X× ×P y (x′, y′) F x × Y X × P y T z = T (x, y) =

= F x × Y X × P y.

Если положить G = (X, F ), H = (Y, P ) и M = (Z, T ), где

Z = X × Y, то M = G H.

4.3. Операции над представлениями

Пусть ΠG = (TX , AF ) и ΠH = (TY , AP ) — представления графов

G и H [2], где TX = {(α, β)x}x X , TY = {(γ, δ)y }y Y .

Очевидно, представление графа Ω = (Z, B) = G ◦ H есть пара ΠΩ = (TZ , AB ), где AB : TZ → TZ и для любой пары (ξ, η)z TZ имеют место равенства

ξ = α|Y ′| + γ|X′| − |(F x × Y ′) ∩ (X′ × P y|,

69

η = β|Y ′| + σ|X′| − |(F −1x × Y ′) ∩ (X′ × P −1y|.

Для каждой операции из A определим представление соответствующего графа Ω = G ◦ H.

Теорема 25. Представление графа Q = (Z, U ) = G × H есть пара ΠQ = (TZ , AU ), где TZ = TX •TY – множество всевозможных произведений пар из TX и TY , таких, что

(α, β)x • (γ, δ)y = (αγ, βδ)z = (ξ, η)z ,

(α, β)x TX , (γ, δ)y TY ,

а AU : TZ → TZ таково, что

AU (ξ, η)z = AF (α, β)x • AP (γ, δ)y ,

x X, y Y, z = (x, y) Z.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно,

(ξ, η)x = (|U z|, |U −1z|) = (|F x × P y|, |F −1x × P −1y|) = = (|F x||P y|, |F −1x||P −1y|).

Если α = |F x|, β = |F −1x|, γ = |P y|, δ = |P −1y|, то (ξ, η)z =

(αγ, βδ)z .

Положим по определению, (αγ, βδ)z = (α, β)x • (γ, δ)y .

Так как Z — множество всевозможных упорядоченных пар элементов из X и Y , то TZ есть множество всевозможных произведений пар (α, β)x из TX и (γ, δ)y из TY и, следовательно, TZ = TX •TY .

Определим отображение AU через AF и AP . Очевидно,

AU (ξ, η)z = {(ξ′, η′)z‘}z′ U z=F x×P y .

Так как прямому произведения X × Y соответствует в представлении произведения графов произведение TX • TY , то F x × P y

но, {(γ′, δ′)y′ }y‘ P y = AP (γ, δ)y . Таким образом,

AU (ξ, η)z = AF (α, β)x • AP (γ, δ)y .

70