Книги и конспекты / Горьковой Дискретная Математика

являются корнями многочлена f (X). Минимальная функция для αj равна просто X − αj , так что

Степень многочлена g(X) равна d − 1. В результате получается код длмны n с d − 1 проверочными символами и с минимальным расстоянием, равным d [4].

8.4 Процедура исправления ошибок

Здесь рассматривается процедура исправления ошибок для БЧХ-кода. Эта процедура позволяет исправлять любые комбинации из t0 или меньшего числа ошибок, если d0 ≥ 2t0 + 1.

На первом этапе построения процедуры исправления ошибок нужно найти способ описания информации об ошибках, которую дают проверочные соотношения, т.е. синдром. Предположим, что передан кодовый вектор f (X), при передаче произошли ошибки и принят вектор r(X) = f (X) + e(X). Рассмотрим результат подстановки αm0 , α , ..., α в многочлен r(X). Поскольку f (X) — кодовый вектор и, следовательно, эти элементы будут его корнями, то в результате подстановки получим

( m0 ) ( m0+1) ( m0+2t0−1). e α , e α , ..., e α

Вектор ошибок e(X) можно задать перечнем значений его ненулевых компонент и позиций, на которых они расположены. Эти позиции будут определяться номерами позиций ошибок; для (n−j)-го символа это просто αj . Каждая ненулевая компонента e(X) описывается парой элементов Yi (величиной ошибки) и Xi (номером позиции ошибки); здесь Yi — элемент GF (q), а Xi — элемент GF (qm). Если произошло ν ощибок, то e(X) имеет ν ненулевых компонент и, следовательно, для описания ошибок требуется ν пар (Xi, Yi).

Тогда

i=1

и значения Sj = e(αj ) задаются проверками при m0 ≤ j ≤ m0 + 2t0 − 1. Заметим, что согласно теоремам 49 и 53

146

В двоичном случае возможно некоторое упрощение. Так как величина Yi не равна 0, то она должна быть равна 1. Для исправления ошибки необходимо знать лишь ее положение, и поэтому вектор ошибок полностью описывается перечнем номеров позиций ошибок. Из принятого вектора вычисляются t0 величин Sj , m0 ≤ j ≤ m0 + 2t0 − 1, и, для того чтобы исправить ошибки, должна быть найдена пара (Yi, Xi) для каждой из t0 или меньшего числа ошибок. Уравнения

i

связывают известные и искомые величины, и любой метод решения этих уравнений составляют основу процедуры исправления ошибок.

Предположим, что в действительности происходит ν ≤ t0 ошибок. Они описываются ν парами (Yi, Xi), причем ни Yi, ни Xi не равны 0. Пусть уравнение

определяет величины σ1, σ2, ..., σν , являющимися элементарными симметрическими функциями от Xi. Заметим, что если в урав-

нение (8.7) вместо X подставить Xi, то обе его части обратятся в нуль. Оказывается тогда, что величины Sj и σi связаны системой линейных уравннений и это позволяет определить σi. Значения Xi могут быть найдены последовательной подстановкой всех элементов всех элементов поля в уравнение (8.7). При известных значениях Xi уравнения Xi уравнения (8.4) линейны относительно Yi и могут быть решены.

Следующий этап состоит в нахождении соотношения, связывающего SJ и σi и доказательстве того, что решение всегда сущест-

Суммируя эти уравнения по всем значениям i, 1 ≤ i ≤ ν, и используя выражения (8.4), получим соотношения, связывающте σi и Sj :

147

где все Sj изветсны для m0 ≤ j ≤ m0 + 1t0 − 1 − ν.

невырождена, если величины Si образуются точно из ν различных ненулевых пар (Yi, Xi). Матрица вырождена, если Si об-

разуются из меньшего чем ν числа ненулевых пар (Yi, Xi).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Используя уравнения (8.4) можно

Матрица M невырождена тогда и только тогда , когда каждая из матриц в (8.11) невырождена. Первая и последняя матрицы — это матрицы Вандермонда, и они не вырождены тогда и только тогда, когда X1, X2, ..., Xν различны. Средняя матрица диагональная и невырождена тогда и только тогда, когда все Xi и Yi ненулевые. Таким образом, матрица M невырождена тогда и только тогда, когда все пары (Yi, Xi) различны и не равны нулю.

148

Для того чтобы из степенных сумм и номеров позиций ошибок можно было определить значения Yi, необходимо, чтобы ν уравнений (8.4) были линейно независимы. Рассмотрим первые ν уравнений относительно Yi:

Определитель системы равен

Определитель в правой части есть определитель Вандермонда. Поэтому, если все Xi различны и ненулевые, а в данном случае так оно и есть, то правая часть не равна нулю. Следовательно, уравнения (8.12) линейно независимы и, если X1, X2, ..., Xν найдены, они могут быть решены относительно неизвестных Y1, Y2, ..., Yν . Из (8.13) видно, что эти значения ошибок могут быть определены посредством обращения матриц.

Исправление ошибок может быть проведено следующим образом:

1. По принятому вектору вычисляются значения Sj , m0 ≤ j ≤ m0 + 2t0 −1. По существу вычисляются проверочные соотношения.

149

2.Орпеделяется максимальное число последовательных уравнений, являющихся линейно независимыми. Оно равно числу ν действительно произошедших ошибок.

3.Все σν+1, σν+2, ..., σt полагаются равными нулю, и решаются первые ν уравнений относительно σ1, σ2, ..., σν .

4.Каждый ненулевой элемент GF (qm) подставляется в много-

член

корни многочлена будут номерами позиций ошибок X1, X2, ..., Xν . 5. (Этап не нужный в двоичном случае.) Номера позиций ошибок, полученные на четвертом этапе, подставляются в первые ν уравнений (8.4) и находятся соответствующие неизвестные величины Yi. Определитель матрицы коэффициентов не равен нулю. Следовательно, эти уравнения линейно независимы. Знания зна-

чений Xi и Yi достаточно для исправления ошибок.

П р и м е р 35. Пусть {f (X)} принадлежит коду тогда и только тогда, когда α, α2, ..., α6 являются корнями многочлена f (X), причем α — примитивный элемент поля GF (24), α15 = 1. Длина кода равна 15. Было получено

g(X) = m1(X)m3(X)m5(X)

Это (15,5)-БЧХ-код, исправляющий все комбинации из трех или меньшего числа ошибок. Предположим, что произшло две ошибки на позициях, соответствующих α3 и α10. Тогда вычисления проверок на четность принятонго вектора {r(X)} дают (см. табл. 5.1)

150

Умножая первое уравнение на α8 = α−7, второе — на α12 = α−3 и третье — на α5 = α−10, получаем

Складывая первое уравнение с каждым из остальны, получим два

Эти уравнения отличаются только множителем α5, и, следовательно, второе уравнение зависит от первого. Поэтому последнее из трех уравнений (8.17) должно зависить от первых двух, и, следовательно, произошло две ошибки. Полагая в уравнениях (8.18) σ3 = 0, получаем α10σ2 = α8, или σ2 = α13. Из любого уравнения (8.17) находим σ1 = α12. Номера позиций ошибок будут корнями уравнения

Легко проверить, что этому уравнению удовлетворяют элементы α3 и α10 и только они. Так как рассматриваемый код двоичный, знания номеров позиций ошибок достаточно для исправления этих ошибок — значения ошибочных символов нужно просто изменить на противоположные.

151

О Г Л А В Л Е Н И Е

1.1. Множества и подмножества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Булевы алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 УПРАЖНЕНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3. Функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4. Обратные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5. Функции из S в S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 УПРАЖНЕНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6. Суммы, произведения, степени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.7. Аксиомы Пеано . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.8. Финитная индукция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 УПРАЖНЕНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

153

4.3. Операции над представлениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

ГЛАВА 5. МИНИМАЛЬНАЯ РАСКРАСКА И КРИТИЧЕС-

КИЕ ГРАФЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.1. Основные понятия и определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.2. О 5-критических графах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.1. Фукции алгебры логики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 6.2. Формулы и функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 6.3. Эквивалентность. Принцип двойственности . . . . . . . . . . 93 6.4. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма . . . . . 96 6.5. Полнота. Замкнутость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.6. Важнейшие замкнутые классы. Теорема о полноте . . 102

7.1. Идеалы. Классы вычетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 7.2. Идеалы и классы вычетов мнонгочленов . . . . . . . . . . . . . 113 7.3. Поля Галуа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 7.4. Мультипликативная группа поля Галуа . . . . . . . . . . . . . 120

7.5. Векторные пространства и линейные преобразования ко-

нечных полей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 УПРАЖНЕНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

8.1. Циклические коды и идеалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 8.2. Матричное представление циклических кодов . . . . . . . 140 8.3. Коды Боуза-Чоудхури-Хоквингема (БЧХ) . . . . . . . . . . . 144 8.4. Процедура исправления ошибок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

154