Книги и конспекты / Горьковой Дискретная Математика

О п р е д е л е н и е 49. Будем говорить, что фактор-степень вершины x из Ci относительно раскраски π(m) равна r ≤ m − 1, если имеется ровно r классов (Ci1 , Ci2 , ..., Cir ), таких, что F x ∩ Cij =6 , j =

1, r, i =6 ij .

Соотношение ASB будет означать в дальнейшем, что A и B из X содержат по крайней мере одну пару смежных вершин.

Под преобразованием в дальнейшем будем подразумевать некоторое перераспределение вершин по классам данной раскраски π(m), сохранющее ее правильность, которая определяется как раскраска, у которой каждая вершина графа содержится в некотором классе и каждый класс не содержит смежных вершин. В частности, элементарными преобразованиями будем называть следующие способы перераспределения вершин по классам.

1. Перемещение вершин {xk } Ci π(m) факторстепени меньше m-1 из одного класса Ci в другой Cj , с вершинами которого они не смежны.

Например, раскраска π(3) = {(1), (2, 3), (4, 5)} графа G, задаваемого таблицей

такова, что перемещение вершины 3 из C2, или вершины 4 из C3 в C1, есть элементарное преобразование — перемещение, изменяющее фактор-степень вершин 4, 5 или 2, 3 соответственно.

2. Пусть x Ci и y Cj пара смежных вершин.

80

Так, в предыдущем примере инверсия двудольного связного подграфа, состоящего из пары смежных вершин 1 и 2, изменяет фактор-степень вершин 4 и 5.

О п р е д е л е н и е 50. Минимальную раскраску π(m) будем называть 1-приведенной относитель-

ют фактоp-степень m − 1 и никакие преобразования на (C1, ..., Ci−1 , Ci+1, ..., Cm ) не изменяют их факторстепеней.

В частности, минимальная раскраска графа G на рис. 5.1 является приведенной относительно C4, так как никакие преобразования над (C1, C2, C3 ) не изменяют фактор-степеней вершин из C4.

Если минимальная раскраска π(m) приведена относительно Ci и никакие преобразования на π(m) − {Ci, Cj } не изменяют фактор-степеней вершин из Cj , равных m − 2 относительно раскраски π(m) − Ci, то раскрас-

Если уже определена (r − 1)-приведенная последовательно относительно классов Ci1 , Ci2 , ..., Cir−1 раскрас-

как раскраска, для которой никакие преобразования над π(m) −(Ci1 , Ci2 , ..., Cir ) не изменяют фактор-степеней вершин из Cir , равных m − r относительно раскраски

π(m) − (Ci1 , Ci2 , ..., Cir−1 ).

81

Таким образом, процесс приведения раскраски π(m) относительно некоторого класса, например C1 , сводится к проведению различных преобразований над (C2 , C3, ..., Cm ) и перемещения после каждого такого преобразования вершин, фактор-степени которых оказались меньше m − 1, из класса C1 в классы, с вершинами которых они не смежны.

О п р е д е л е н и е 51. Подмножества Xi и Xj соответственно из классов Ci и Cj раскраски графа G будем называть R-связным (рис. 5.2) и обозначать XiRXj , если в Ci и Cj существуют под-

О п р е д е л е н и е 52. Два подмножества вершин Ci и Ck из классов Ci и Ck раскраски π(m) будем

c

максимальным по числу вершин связным двудольным

графом над f f

Ci Ck.

82

соответствующий максимальный связный двудольный

классами Ci и Ck.

Очевидно, из Z-связности следует R-связность, но не наоборот.

Пусть π(m) = (C1, C2 , ..., Cm ) — минимальная рас-

краска графа , тогда любой подграф (( i j ) ˜) =6

G C C , F , i

j, с точностью до вершин, образующих пустой подграф, представляется объединением Z-ок.

Так, минимальная раскраска графа G на рис. 5.1 обладает указанным свойством. Действительно, напри-

класса Ck , k = r j, порожденный разбиением пары

l ≤ q.

На рис. 5.1 множество вершин {3,4} есть 31 {1 2} =

C31 , ,

11 {5} = 21 = 21 {6} = 22 = 22 {1} = 12 и т. д. C13 , C21 C23 , C21 C23 , C12

Пусть 1 — минимальная раскраска, приведенная

π(m)

относительно, например, Cm , m ≥ 3. Тогда:

Z1. Для любой вершины x из Cm в силу инвариантности фактор-степени x относительно инверсий Z-ок

Πl 1 − 1, для некоторого выполняется со- rj , r, j , m l

этом случае, что опирается на Πl , а саму Z-ку Πl

x rj rj

будем называть опорной для x.

83

T

j=1

5.1 видно, что {6} = x22, {5} = x21, {4} = x32, {3} =

x31, {1} = x12, {2} = x11.

Пусть = 3 и 1 = ( 1 2 3 ) — минимальная m π(3) C , C , C

раскраска графа G, приведенная относительно C3 . Тогда в силу Z1 для любой вершины x из C3 при некотором

Подграф ( Πi ) с указанными связями обозначим че- x, 12

рез GΠ(3)( ). Если ( 1i ) ( 2i ), то в Πi x xS y C12 , xS z C12 12

существует простая цепь из z в y, содержащая четное

84

число вершин, которые вместе с x образуют простой нечетный цикл. Так как минимальная раскраска нечетного цикла состоит из трех классов, то все 3-критические графы исчерпываются циклами нечетной длины.

5.2. О 5-критических графах

Как отмечал Харари, если гипотеза четырех красок не верна, то должен существовать 5-хроматический планарный граф и, следовательно, проблему четырех красок можно сформулировать следующим образом: всякий 5-критический граф содержит подграф, стягиваемый к полному 5-вершинному графу F5. А так как в силу теоремы, являющейся двойственной формой теоремы Понтрягина – Куратовского [4], всякий 5-хроматический граф, стягиваемый к F5, непланарен, то указанная формулировка эквивалентна формулировке гипотезы четырех красок.

Начнем с напоминания некоторых начальных сведений из теории графов, которые мы будем использовать в дальнейшем.

Пусть π(m) = {C1 , C2, ..., Cm } минимальная m- раскраска связного графа G = (X, F ), где X множество вершин графа G, Ci, i = 1, m, классы одноцветных вершин, а F : X → X отображение, при котором каждому x X отвечает подмножество F x X.

Пусть задан граф G = (Y, P ) и π(m) его минимальная раскраска. Будем говорить, что граф G = (X, F ) является гомоморфным образом графа G, если G получается из G в результате склеивания некоторых вершин, принадлежащих одним и тем же классам раскрас-

85

ки π(m). Описанное преобразование будем называть гомоморфизмом : Y → X.

Если G критический граф и πm) его минимальная раскраска, приведенная относительно Cm, то Cm содержит всего одну вершину x. Действительно, если бы в Cm имелось две вершины x и y, то, в силу инвариантности фактор-степеней x и y относительно любых преобразований над π(m) −Cm, одну из них можно было бы удалить из Cm , что не повлияло бы на хроматическое число графа G.

В частности, если G 3-критический граф и m = 3,

рая содержит вершины 1r и 2r смежные с , y C12 z C12 x

и вместе они образуют простой цикл нечетной длины. А так как хроматическое число любого простого цикла нечетной длины равно трем, то все 3-критические графы исчерпываются циклами нечетной длины.

x11SxSx21 , x12SxSx32 }.

На рисунке 5.5. изображен граф GΠ(4)(x), у которого Z-ки обозначены ребрами.

86

Теорема 29. Если G = (X, F ) 4-критический граф, то он содержит подграф, с точностью до гомоморфизма совпадающий с GΠ(4)(x).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как G критический, то класс C4 содержит всего одну вершину x. В силу 2-приведенности π(4), вершина x C4 опирается над каждой парой классов (C1, C2 ), (C1, C3 ), (C2, C3 ) на

соответствующие -ки. А так как 2 приведена от-

Z π(4)

носительно C1, то любая вершина из C1 опирается на Z-ку над (C2, C3).

31) 12 ( 22 = 22 ∩ 22)

C23 , x Z x C12 C23 .

Очевидно, x31Zx11Zx21Rx31 и x32Zx12Zx22Rx32. Так

как фактор-степень x C4 инвариантна относительно любых преобразований над (C1 , C2, C3 ), то инверсия Z- ки x11Zx31 не должна изменить фактор-степень x. Следовательно, так как вершина x должна опираться после инверсии на Z-ку над (C1, C2 ), а в исходном графе она опирается на Z-ку над (C2 , C3),

87

должно выполняться, с точностью до гоморфизма (т.е.

склеивания всех вершин из 31 с вершинами из 31),

C23 x

соотношение x22Zx˜31, где x˜31 — результат указанного склеивания вершин.

Аналогично обстоит дело и с инверсией Z-ки

12 22. Только здесь склеиваются вершины из 22 с x Zx C23

вершинами из x22.

должна опираться над (C2 , C3) на Z-ку, следует, что вершина x может быть смежной со всеми вершинами

из 21 и 32. C23 C23

88

Теорема 30. Граф GΠ(4)(x) содержит подграф, стягиваемый к полному четырех вершинному графу

F4.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть GΠ(4)(x) зада-

ется формулой (5.2.1) (рис. 5.5), и (y x11)Sx, (z x21)Sx. Так как x32Rx22Zx31, то существует вершина t x31, связанная с x C4 простой цепью. А так как x11Zx21Rx31Zx11, то существует простой цикл над

(C1 , C2, C3 ) и вершины y′ x11, z′ x21, t′ x31, принадлежащие этому циклу, такие, что вершины y и y′, z и

z′, t и t′ связаны между собой непересекающимися простыми цепями. Следовательно, вершина x связана с y′, z′ и t′ непересекающимися простыми цепями. Таким образом, простой цикл, содержащий вершины y′, z′, t′ вместе с простыми цепями, связывающими эти вершины с x, образуют конструкцию, стягиваемую к F4.

Обозначим через G k -ю конструкцию GΠ(4)( ), у

W(4) k x

которой ребра инцидентные вершине x C5 заменены

-ми Π1 Π1 Π2 Π2 . Через (Πr ) будем обозначать

Z 41, 42, 43, 41 k ij

-ку над парой классов ( i j ), принадлежащую G k .

Z C , C W(4)

жество вершин из класса Cp , p = i j, порожденное разбиением двудольного подграфа графа G над (Ci, Cj ) на некоторое количество Z-связных подмножеств, принад-

лежащее G k , причем = 1 2 есть номер конструк-

W(4) r ,

ции G r , принадлежащей G k . Будем обозначать ее

W(3) W(4)

(G r ).

k W(3)

Положим

89