Книги и конспекты / Горьковой Дискретная Математика

можно выбрать в качестве базисных векторов, и, следовательно, матрицу G можно выбрать в качестве порождающей матрицы для этого кода. Этот код яыляется нулевым подпространством идеала, порожденного многочленом h(X) = (X − 1)(X3 + X + 1) = X4 +

X3 + X2 + 1:

Рассматриваемый код является нулевым подпространством

Легко проверить, что GHT = 0.

Другой способ задания циклических кодов основан на использовании корней (которые, возможно, лежат в расширении поля) многочлена g(X), порождающего идеал. Предположим, во-первых, что все корни α1, α2, ..., αr многочлена g(X) различны. Тогда циклический код полностью определяется условием: вектор {f (X)} принадлежит коду тогда и только тогда, когда α1, α2, ..., αr — корни многочлена f (X). Если обозначить через mi(X) минимальную функцию для αi, то вектор {f (X)} является кодовым вектором тогда и только тогда, когда многочлен f (X) делится на m1(X), m2(X), ..., mr (X) и, следовательно, на их наименьшее общее кратное. Поэтому код является идеалом, порожденным многочленом

g(X) = НОК[m1(X), m2(X), ..., mr (X)].

Так как многочлен Xn − 1 должен делится на многочлен g(X), то элементы α1, α2, ..., αr должны быть корнями многочлена Xn − 1,

136

и, следовательно, число n должно делится на порядок каждого из элементов αi. Таким образом, n можно выбирать равным наименьшему общему кратному порядков элемента αi, так как при таком выборе n каждый элемент αi является корнем многочлена Xn − 1 и этот многочлен делится на g(X) без остатка.

Если корни задаются как степени одного и того же элемента α порядка e, т.е. если установлено, что αi = αui , где ui — заданные целые числа, то число сомножителей и степень каждого из них в разложении многочлена g(X) для целых e и ui могут быть найдены по следующей схеме. Все корни минимальной функции mi(X) содержатся в последовательности αui , αui q , α , ..., так что все корни mi(X) — различные элементы этой последовательности. Показатели степеней в этой последовательности — различные вычеты по модулю e чисел ui, uiq, uiq2, uiq3, ..., и число различных вычетов равно степени ri минимальной функции mi(X). Вполне возможно, что элементы αui и αuj имеют одну и ту же минимальную функцию mi(X) = mj (X). В этом случае совокупности корней функции mi(X) и mj (X) будут совпадать и в качестве сомножителя в разложении многочлена g(X) следует взять только одну из этих функций. Совокупность показателей, связанных с многочленом mi(X), называется циклическим множеством этого многочлена.

Пр и м е р 29. Код, рассмотренный в предыдущем примере, можно определить условием, чтобы каждый кодовый многочлен содержал среди своих корней любой корень α многочлена X3 +X2 +1.

Сдругой стороны, предположим, что известно только, что каждый кодовый многочлен должен содержать среди своих корней α некоторый примитивный элемент поля GF (23). Все примитивные элементы поля GF (23) являются корнями либо многочлена X3+X2+1, либо многочлена X3 + X + 1. Поэтому искомый код — это либо код, рассмотренный в предыдущем примере, либо эквивалентный ему код, порождаемый многочленом X3 + X + 1.

Код, корнями каждого кодового вектора которого являются единица и α — корень многочлена X3 + X2 + 1 — порождается мно-

гочленом g(X) = (X − 1)(X3 + X2 + 1).

Пр и м е р 30. Рассмотрим менее тривиальный пример. Пусть

β= α89, где α — примитивный элемент GF (211). Исследуем двоичный код, для которого β, β2, β3, β4 — корни всех кодовых многочленов. Так как 89 × 23 = 211 − 1, то β23 = 1. Пусть m(X)

137

— минимальная функция для β. Тогда корни многочлена m(X) образуют последовательность β, β2, β4, β8, β16, β32 = β9, β18, β36 =

= 3 6 12 ( 24 = )

β , β β , β , β , β β .

Итак, m(X) — минимальная функция для β, β2, β3, β4, и многочлен принадлежит кодовому пространству тогда и только тогда, когда он делится на m(X). Различным выборам примитивного элемента α из GF (211) соответствуют различные значения β, каждое из которых является корнем одного из двух многочленов:

X11 +X9 +X7 +X6 +X5 +X +1 или X11 +X10 +X6 +X5 +X4 +X2 +1.

П р и м е р 31. Пусть q = 2 и α — примитивный элемент поля GF (24). Тогда α15 = 1. Рассмотрим код, такой, что вектор {f (X)} принадлежит ему тогда и только тогда, когда элементы α, α2, α3, α4, α5 и α6 являются корнями многочлена f (X). Пусть через mi(X) обозначена минимальная функция для αi. Тогда α, α2, α4, α8 — корни многочлена m1(X) и m1(X) = m2(X) = m4(X) = m8(X). Аналогично α3, α6, α12, α24 = α9 — корни многочлена m3(X). Это описание можно сократить, перечисляя только показатели степеней или циклические множества:

Отсюда g(X) = m1(X)m3(X)m5(X), и степень g(X) равна 10. П р и м е р 32. Пусть q = 2 и α — примитивный элемент поля GF (25). Тогда α31 = 1. Рассмотрим код, содержащий вектор {f (X)} тогда и только тогда, когда α, α2, α3, ..., α10 — корни

многочлена f (X). Тогда аналогично предыдущему находим

g(X) = m1(X)m3(X)m5(X)m7(X),

138

так что степень g(X) равна 20.

Если известно, что элемент αi должен быть корнем многочлена f (X) кратности ri, то в разложении многочлена g(X) минимальная функция mi(X) для αi должна повторяться ri раз. Можно показать, что многочлен Xn −1 не имеет кратных корней, если n и q взаимно просты. Если n = qsn1, где n1 и q взаимно просты, то

Xn − 1 = (Xn1 − 1)qs .

Таким образом, все корни многочлена Xn − 1 всегда повторяются одно и то же число раз, а именно qs раз, где qs — наибольшая степень числа q, на которую делится n. Для кратных корней значение n можно найти следующим образом. Пусть n1 — наименьшее общее кратное порядков элементов α1, α2, ..., αr . Каждый из этих элементов — простой корень многочлена Xn1 − 1. Пусть rm — наибольшая кратность среди кратностей всех корней, а s — наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству rm ≤ qs. Тогда n = n1qs.

Приведем два способа отыскания минимальной функции для заданного элемента поля α3, где α — корень примитивного много-

члена X4 + X + 1. (См. табл. 5.1.)

1.Элементы α3, α6, α12, α9 — корни многочлена m3(X), и, следовательно, m3(X) = (X − α3)(X − α6)(X − α12)(X − α9). Производя с использованием таблицы 5.1. умножение, находим m3(X) =

X4 + X3 + X2 + X + 1.

2.Известно, что степень многочлена m3(X) равна 4. Пусть m3(X) = a0 +a1X +a2X2 +a3X3 +X4. Подставляя α3 = (1000) вместо X, α6 = (1100) вместо X2, α9 = (1010) вместо X3 и α12 = (1111)

вместо X4, получаем

или

139

откуда a0 = a1 = a2 = a3 = 1.

8.2. Матричное представление циклических кодов

Если многочлен g(X) = ar Xr + ar−1Xr−1 + ... + a0 порождает код, то все векторы {X g(X)}, {Xn−r−2g(X)}, ..., {g(X)} являются кодовыми векторами. Таким образом, кодовыми векторами являются все строки следующей матрицы:

Очевидно, строки этой матрицы линейно независимы, а ее ранг, совпадающий с размерностью кода, равен n − r. Следовательно пространство строк матрицы G представляет собой кодовое пространство. Условимся, что в любом циклическом коде первые k символов, т.е. коэффициенты при Xn−1, Xn−2, ..., Xn−k ,

— будут всегда выбираться в качестве информационных сим-

Порождающая матрица любого циклического кода может быть следующим образом приведена к модифицированной приведенноступенчатой форме. Пусть ri(X) — остаток от деления Xi на многочлен g(X):

Xi = g(X)qi(X) + ri(X).

Тогда многочлены

Xi − ri(X) = g(X)qi(X)

являются кодовыми векторами. Если эти многочлены при i = n − 1, n −2, ..., n −k выбрать в качестве строк порождающей матрицы, то

G = [Ik , −R],

где Ik — единичная матрица размерности k × k, а −R — матрица размерности k × (n − k), j-ой строкой которой является вектор из

140

коэффициентов многочлена −rn−j (X). Этот код является также нулевым пространством матрицы

H = [RT , In−k ],

причем j-я строка матрицы HT является вектором коэффициентов многочлена rn−j (X) даже при j ≤ n − k.

П р и м е р 33. Для двоичного циклического кода, порожденного многочленом g(X) = X3 + X2 + 1,

Теперь рассмотрим двойственный код, т.е. код, порождааемый многочленом (X7 −1)/g(X) = (X −1)(X2 +X +1) = X4 +X3 +X2 +1.

Для этого порождающего многочлена

141

Матрицы H1 и G2 совпадают, если в одной из них порядок расположения строк и столбцов заменить на обратный. То же самое верно для матриц G1 и H2.

Предположим, что многочлен f (X) принадлежит кодовому пространству тогда и только тогда, когда элементы α1, α2, ..., αr являются его корнями. Если

f (X) = fn−1Xn−1 + fn−2Xn−2 + ... + f0,

то при i = 1, 2, ..., r

и это равенство может быть записано при помощи произведения матриц

Это условие в точности эквивалентно условию, состоящему в том, что αi — корень мнонгочлена f (X). Это условие совпадает также с условием, состоящем в том, что многочлен f (X) делится на минимальную функцию mi(X) для элемента αi. Далее, то что элементы α1, α2, ..., αr являются корнями многочлена f (X), эквивалентно условию, состоящему в том, что соответствующий вектор принадлежит нулевому пространству матрицы

Совокупность всех многочленов, одним из корней которых является элемент αi, совпадает с нулевым пространством матрицы

и поскольку эта совокупность многочленов совпадает с многочленами, которые делятся на минимальную функцию mi(X) степени mi, то они образуют идеал, размерность которого равна n − mi. Так как размерность нулевого пространства матрицы (8.1) равна n −mi, то размерность пространства строк матрицы равна mi. Заметим, что коэффициенты кодовых многочленов принадлежат полю GF (q), а αi — элемент расширения поля, если только mi =6 1.

142

Элементы расширения поля можно рассматривать как векторы с mi компонентами над основным полем. Следовательно, размерность пространства строк матрицы (8.1) надGF (q) равна mi.

Если αi и αj определяют один и тот же минимальный многочлен mi(X) = mj (X), то соответствующие им нулевые пространства совпадают и, следовательно, соответствующие пространства строк определяют одно и то же пространство над полем GF (q). Поэтому при построении матрицы H в разложении многочлена g(X) нужно использовать только один корень каждого неприводимого сомножителя.

П р и м е р 34. Рассмотрим двоичный циклический код, содержащий вектор {f (X)} тогда и только тогда, когда элементы α, α2, ..., α6 являются корнями многочлена f (X). Здесь α — корень многочлена p(X) = X4 + X + 1 и, следовательно, примитивный элемент GF (24). В этом случае

g(X) = m1(X)m3(X)m5(X),

и достаточно потребовать, чтобы корнями любого многочлена f (X), принадлежащего коду, были элементы α, α3, α5. Искомым кодом является нулевое пространство матрицы H, транспонированная матрица к которой равна

или

143

если подставить, пользуясь таблицей 5.1, векторное представление элементов поля.

Далее,

X15 − 1 = (X − 1)(X2 + X + 1)(X4 + X3 + X2 + X + 1)×

×(X4 + X3 + 1)(X4 + X + 1),

и легко проверить, что если α — корень многочлена X4 + X + 1, то α3 — корень многочлена X4 + X3 + X2 + X + 1, α5 — корень многочлена X2 + X + 1. Поэтому ранг матрицы (α14, α13, ..., α0) равен 4 и ранг матрицы (α42, α39, ..., α0) также равен 4, поскольку степени минимальных функций для каждого из элементов α и α3 равны 4. Степень минимальной функции для элемента α5, однако, равна 2, и ранг матрицы (α70, α65, ..., α0) должен быть равен 2. Очевидно, что это так; в матрице HT девятый столбец состоит из нулей, а десятый и одинадцатый столбцы полностью совпадают.

8.3. Коды Боуза – Чоудхури – Хоквингема (БЧХ)

Пусть α — элемент из поля GF (qm). При любых заданных значениях m0 и d0 код, порожденный многочленом g(X), является БЧХ-кодом тогда и только тогда, когда многочлен g(X) является многочленом наименьшей степени над GF (q), для которого

αm0 , α , ..., αm0+d0−2 — корни.

144

Длина кода равна наименьшему общему кратному порядков корней. За исключением того случая, когда задатся только один корень αm0 , длина кода n равна порядку e элемента α. Так как

(αm0 )n = αm0n = 1, (αm0+1)n = αm0n+n = 1

и, следовательно, αn = 1, длина кода n делится на e и n не может быть меньше чем e — порядок элемента α. С другой стороны, если αe = 1, то (αj )e = 1, так что число e делится на порядок каждого элемента αj . Поэтому n не больше e, и, следовательно, n = e.

Наибольшее значение имеют двоичные БЧХ-коды, получающиеся, если в качестве α выбрать примитивный элемент поля GF (2m) и положить m0 = 1, а d0 = 2t0 + 1. Тогда вектор {f (X)} принадлежит коду тогда и только тогда, когда элементы

α, α , α , ..., α

являются корнями многочлена f (X). Однако каждая четная степень α является корнем минимальной функции, являющейся также минимальной функцией для некоторой предшествуюющей нечетной степени α. Например, если mj (X) обозначает минимальную функцию для αj , то α2, α4 — корни m1(X), α6 — корень m3(X), α8

— корень m1(X), α10 — корень m5(X) и т.д. Следовательно, можно дать следующее эквивалентное определение кода: вектор {f (X)} принадлежит коду тогда и только тогда, когда элементы

32t0−1

α, α , ..., α

являются корнями многочлена f (X). Итак, код порождается многочленом

причем степень каждого многочлена mi(X), как следует из теорем 51 и 59, не превосходит m. Таким образом, степень многочлена g(X) не превосходит mt0.

Другим важным подклассом БЧХ-кодов являются коды РидаСоломона, получаемые при m = m0 = 1. Пусть α элемент GF (q) порядка n. (Если α — примитивный элемент, то n равно своему наибольшему значению q − 1.) Пусть вектор{f (X)} является кодовым вектором тогда и только тогда, когда элементы

2d−1

α, α , ..., α

145