Книги и конспекты / Горьковой Дискретная Математика

и поэтому e делится на e′. Аналогично

βe′ = (βqm )e′ = βqj qm−j e′ = [(βqj )e′ ]qm−j = 1qm−j = 1,

так что e′ делится на e. Поскольку e и e′ — целые положительные числа, то e′ = e. Ч. т. д.

Порядок корней неприводимого многочлена называется показателем, которому принадлежит этот многочлен. Если неприводимый многочлен принадлежит показателю e, то он является делителем многочлена Xe − 1, но не является делителем многочлена вида Xn − 1 при n < e. Неприводимый многочлен степени m над полем GF (q) называется примитивным, если его корнем является примитивный элемент поля GF (qm). Тогда этот корень и, следовательно, все его корни имеют порядок qm − 1, и по предыдущей теореме все они — примитивные элементы. Неприводимый многочлен степени m является примитивным тогда и только тогда, когда он принадлежит показателю qm − 1. Наконец, неприводимый многочлен степени m является примитивным тогда и только тогда, когда он не является делителем многочлена Xn − 1 ни при каких n, меньших чем qm − 1.

Содержание предыдущих теорем проиллюстрируем на примере разложения на множители многочлена X63 − 1 над полем GF (2).

Все ненулевые элементы поля GF (64) могут быть представлены как степени некоторого примитивного элемента α. Этими элементами являются 1, α, α2, α3, ..., α62 и

X63 − 1 = (X − 1)(X − α)(X − α2)...(X − α62).

Далее, так как (α21)3 = α63 = 1, то порядок элемента α21 равен 3. Тот же самый порядок имеет элемент α42. Аналогично, (α9)7 = α63, так что порядок элемента α9 равен 7, и таков же порядок элементов

α18, α27, α36, α45 и α54. Порядок элементов α7, α14, α28, α35, α49, α56

равен 9. Заметим, что (α21)9 = 1, но порядок элемента α21 равен 3, а не 9, поскольку порядок элемента β равен наименьшему e, такому, что βe = 1. Аналогично любая степень α, показатель которой делится на 3, но не делится на 7 или на 9, является элементом порядка 21. Таких элементов 12. Остальные 36 элементов должны иметь порядок 63. Определим теперь круговой многочлен ψi(X) = (X − β1)(X − β2)...(X − βr ), где β1, β2, ..., βr — набор всех элемен-

тов порядка i. Тогда ψ1 = X − 1, ψ3 = (X − α21)(X − α42), ψ7 = (X −α9)(X −α18)(X −α27)(X −α36)(X −α45)(X −α54) и т.д. Кроме

126

того,

X63 − 1 = ψ1(X)ψ3(X)ψ7(X)ψ9(X)ψ21(X)ψ63(X).

Корнями многочлена X21 − 1 являются все элементы β, для которых β21 = 1, и поэтому этот многочлен содержит в качестве множителей ψi(X) для всех i, на которые делится 21.

Таким образом,

X21 − 1 = ψ21(X)ψ7(X)ψ3(X)ψ1(X),

и аналогично

X9 − 1 = ψ9(X)ψ3(X)ψ1(X),

X7 − 1 = ψ7(X)ψ1(X),

X3 − 1 = ψ3(X)ψ1(X),

X − 1 = ψ1(X).

Эти равенства могут быть переписаны в виде

Степень ψi(X) совпадает с числом элементов порядка i, которое было уже вычислено. Кроме того, степень многочлена ψ1, очевидно, равна 1. Степень ψ3 равна разности между степенью X3 − 1 и степенью знаменателя ψ1(X) и т. д.

Элементы порядка 3 должны обладать минимальными многочленами над GF (2) степени 2, поскольку они являются элементами GF (22). Это значит, что многочлен ψ3(X) неприводим над GF (22). Действительно, ненулевыми элементами GF (22) являются корни многочлена X3 − 1, т.е. 1, α21 и α42. Аналогично элементы порядка 7 принадлежат GF (23) и обладают минимальными многочленами степени 3, поэтому многочлен ψ7(X) должен разлагаться на два неприводимых многочлена степени 3. Все остальные элементы

127

GF (26) не являются элементами какого-либо подполя, и, следовательно, все их минимальные многочлены являются многочленами степени 6. Кроме того, заметим, что поскольку все корни неприводимого многочлена имеют один и тот же порядок, то, если один из корней неприводимого многочлена p(X) имеет порядок i, все его корни имеют порядок i и являются, следовательно, корнями ψi(X). В этом случае многочлен ψi(X) делится на p(X). Таким образом, многочлен ψ9(X) должен быть неприводим. Многочлен ψ21(X) должен иметь два множителя степени 6, а многочлен ψ63(X) должен иметь шесть множителей степени 6.

Если β — корень неприводимого многочлена p(X), то его остальные корни равны β2, β4, β8, β16, β32. Обозначим через mi(X) минимальный многочлен для αi. Тогда

m1(X) = (X − α)(X − α2)(X − α4)(X − α8)(X − α16)(X − α32), m3(X) = (X − α3)(X − α6)(X − α12)(X − α24)(X − α48)(X − α33)

Заметим, что (α48)2 = α96 = α33, поскольку α63 = 1. Кроме того, заметим, что (α32)2 = α64 = α, поскольку α63 = 1, и, таким образом, процесс последовательного возведения в квадрат порождает только шесть различных корней многочлена m1(X). Аналогично

(α33)2 = α66 = α3. Далее, (α9)2 = α18, (α18)2 = α36, (α36)2 = α72 =

α9, и, таким образом, последовательное возведение в квадрат дает только три различных корня многочлена m9(X). Это согласуется с тем фактом, что степень многочлена m9(X) должна быть равна 3, так как все элементы порядка 7 принадлежат GF (23).

7.5. Векторные пространства и линейные

преобразования конечных полей

Пусть f (X) — многочлен с коэффициентами из GF (2m) следующего вида

i=0

Он задает линейное преобразование в себя поля GF (qm), рассматриваемое как векторное пространство над GF (q). Так как преобразование является линейным, то и совокупность корней, и совокупность различных значений являются подпространствами пространства GF (qm).

128

Здесь будут даны ответы на следующие вопросы:

1.Можно ли любое подпространство пространства GF (qm) описать как совокупность корней многочлена f (X), полностью разлагающегося на множители в поле GF (qm)?

2.Можно ли любое подпространство пространства GF (qm) описать как совокупность значений, которые получаются при подстановке всех элементов из GF (qm) в некоторый многочлен f (X), полностью разлагающийся на множители в GF (qm)?

Здесь L используется для обозначения отображения поля GF (qm) в себя, которое переводит каждый элемент поля β в элемент βq :

Lβ = βq .

Теорема 64. Любое линейное преобразование пространства GF (qm) в себя может быть однозначно представлено в виде

f (L), где f (X) — многочлен степени, не превосходящей m − 1.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку число всевозможных преобразований пространства GF (qm) в себя равно qm2 и число различных многочленов f (X) степени, не превосходящей m −1, с коэффициентами из GF (qm) также равно qm2 , то достаточно показать, что f (L) =6 g(L), если f (X) =6 g(X). Это в свою очередь эквивалентно тому, что f (L) =6 0, если f (X) =6 0 и степень f (X) ≤ m − 1.

Итак, пусть f (X) = a0 + a1X + ... + asXs, где s ≤ m − 1, ai

GF (qm) и не все ai = 0. Если β GF (qm), то

f (L)(β) = a1β + a0βq + ... + asβqs .

Так как qs < qm и не все ai = 0, то должен найтись отличный от нуля элемент β GF (qm), на котором многочлен

a0X + a1Xq + ... + asXqs

не обращается в нуль. Для этого β преобразование f (L)(β) =6 0, и, следовательно, f (L) =6 0. Ч.т.д.

Введем следующие обозначения. При

s

f (X) = X aiXi

i=o

Обозначим через f (X) многочлен

s

f (X) = X aiXqi .

i=0

129

Так как каждое пространство одновременно является областью значений для некоторого линейного отображения пространства GF (qm) и нулевым пространством для этого же отображения, то справедливо следующее следствие из теоремы 64:

Следствие. Любое подпространство пространства GF (qm) может быть представлено в виде совокупности нулей и области

значений некоторого многочлена вида f (X).

Рассмотрим совокупность многочленов с коэффициентами из GF (qm). Сложение многочленов определим, как обычно, а в качестве умножения рассмотрим операцию , определенную правилами:

Можно доказать, что относительно этих операций совокупность многочленов образует некоммутативное кольцо. Это кольцо не содержит делителей нуля, т.е. если f (X) g(X) =6 0, то ни f (X), ни g(X) не равны нулю. Заметим, что при выбранном определении умножения линейные преобразования [f (X) g(X)]X=L и f (L)·g(L) тождественны.

Теорема 65. Пусть f (X) и g(X) — многочлены с коэффициентами из GF (qm), и пусть g(X) =6 0. Тогда существуют однозначно определенные многочлены q(X) и r(X), такие, что

f (X) = q(X) g(X) + r(X),

причем либо r(X) = 0, либо степень многочлена r(X) меньше

степени многочлена g(X).

В некомутативном кольце левый идеал определяется как подкольцо I, такое, что если f (X) принадлежит I и a(X) — произвольный многочлен кольца, то a(X) f (X) тоже принадлежит I. Далее тем же самым методом, который используется при доказательстве теоремы об идеале многочленов, можно показать, что всякий левый идеал является главным левым идеалом, т.е. что во всяком идеале I существует единственный нормированный многочлен g(X) наименьшей степени и любой многочлен из I может быть представлен в виде f (X) g(X) для некоторого f (X).

Пусть теперь V — векторное k-мерное подпростарнство пространства GF (qm), рассматриваемого как векторное пространство над GF (q). Обозначим через I совокупность всех многочленов

130

f (X), таких, что f (L)V = 0. Тогда эта совокупность является левым идеалом, так как

[a(X) f (X)]X=LV = a(L)f (L)V = 0,

и, следовательно, для любого многочлена a(X) произведение a(X) f (X) принадлежит I. Кроме того, очевидно, что если f1(X) и f2(X) принадлежат I, то f1(X) + f2(X) тоже принадлежит I. Таким образом, в совокупности I найдется единственный нормированный многочлен g(X) наименьшей степени k, причем любой другой многочлен из I является левым кратным для g(X).

В соответствии с утверждением теоремы 64 существует многочлен f (L), совокупность нулей которого совпадает с подпространством V , т.е. такой, что f (L)β = 0 тогда и только тогда, когда β V . Тогда f (X) принадлежит I, откуда вытекает, что f (X) = f1(X) g(X). Итак, f1(L)g(L)β = 0 тогда и только тогда, когда β V , и, следовательно, g(L)β = 0 тогда и только тогда, когда β V .

Многочлен Xm − 1 также является элементом I, поскольку для любого элемента поля β

(Lm − 1)β = βqm − β = 0.

Следовательно, существует многочлен h(X), такой, что

Xm − 1 = h(X) g(X)

и

g(X) (Xm − 1) = g(X) h(X) g(X).

Более того, для любого элемента поля β справедливо равенство βqm = β, и поэтому Xmβ = βXm. Отсюда вытекает, что для любого многочлена f (X) справедливо равенство Xm f (X) = f (X) Xm. Таким образом,

g(X) (Xm − 1) = (Xm − 1) g(X) = g(X) h(X) g(X),

и поскольку ни один из сомножителей не равен нулю, то на g(X) можно сократить, так что

Xm − 1 = h(X) g(X) = g(X) h(X).

Обозначим теперь через U подпространство пространства GF (qm), состоящее из всех элементов, которые появляются в результате применения преобразования g(L) к элементам поля, т.е.

U = g(L)GF (qm).

131

Если в качестве g(L) рассматривать матрицу, то V будет нулевым пространством, и поскольку размерность V равна k, то ранг по строкам g(L) равен m−k. В этом случае U является пространством столбцов матрицы g(L), и поскольку ранги пространства строк и столбцов любой матрицы равны, то размерность U также равна m − k. Далее,

h(L)g(L)GF (qm) = h(L)U = 0.

Поскольку все элементы пространства V являются корнями g(X), то степень g(X) равна по меньшей мере qk и поэтому степень многочлена g(X) равна по меньшей мере k.

Аналогично все элементы U являются корнями многочлена h(X), следовательно, степень h(X) равна по меньшей мере qm−k , а степень многочлена h(X) равна по меньшей мере m − k. Однако степень g(X) h(X) = Xm − 1 равна m, откуда вытекает, что степень g(X) должа равняться k, а степень h(X) должна быть равна m − k. Это значит, что степень g(X) должна быть равна qk , т.е. что все элементы пространства V являются корнями g(X) и многочлен g(X) разлагается на qk линейных множителей в пространстве GF (qm). Аналогично корнями многочлена h(X) являются все элементы пространства U, h(X) разлагается на множители и размерность U равна m − k.

Окончательно имеем

g(L)h(L)GF (qm) = 0,

и, следовательно, h(L)GF (qm) принадлежит пространству V . Поскольку U , нулевое пространство для h(L), является пространством размерности m − k, то размерность пространства значений должна быть равной k и, следовательно, оно должно совпадать с пространством V . Таким образом, справедлива следующая теорема:

Теорема 66. Пусть V −k-мерное подпространство пространства GF (qm), рассматриваемого как векторное пространство над GF (q). Тогда существует единственное m − k-мерное подпространство U , однозначно определенные нормированные многочлены g(X) степени k и h(X) степени m − k, такие, что V является нулевым пространством для g(L) и областью значений h(X), а U является нулевым пространством для h(L), и областью значений g(L). Более того, g(X) h(X) = h(X) g(X) =

Xm − 1.

132

Следствие. Многочлен g(X) степени qk полностью разлагается на линейные множители, причем все элементы пространства V являются его корнями, а все элементы простанства U являются значениями, которые многочлен g(X) принимает при подстановке в него вмместо X всех элементов GF (qm). Аналогично все элементы пространства U являются корнями многочлена h(X), а элементы пространства V — его значениями. На-

конец,

g[h(X)] = h[g(X)] = Xqm − X.

УПРАЖНЕНИЯ

7.1.Постройте таблицу сложения и умножения элементов поля GF (7). Найдите порядок каждого элемента. Какие элементы являются примитивными?

7.2.Найдите все неприводимые мнонгочлены степени 5 или меньше над полем GF (2). Заметим, что если многочлен степени m не является неприводимым, то он обладает делителем, степень которого не превосходит m/2. Найдите неприводимый многочлен степени 5 над GF (3).

7.3.Сколько идеалов существует в алгебре многочленов по модулю X 6 − 1 над полем GF (2)? Перечислите порождающие их многочлены.

7.4.Многочлен X 4 + X3 + X2 + X + 1 = p(X) неприводим над GF (2), и поэ-

тому алгебра многочленов по модулю p(X) совпадает с полем GF (24). Пусть через α обозначен класс вычетов {X}. Покажите, что α не является примитивным элементом и, следовательно, p(X) — не примитивный многочлен. Покажите, что α + 1

— примитивный элемент и найдите его минимальный многочлен, который является примитивным многочленом.(Ответ: минимальный многочлен для α + 1 равен

X4 + X3 + 1.)

7.5.Составьте таблицы, аналогичные табл. 5.1, для полей GF (23) и GF (32).

7.6.Определите какие многочлены являются множителями в разложениях следующих многочленов: X 15 − 1, X 31 − 1, X127 − 1, X 255 − 1. Для каждого из круго-

вых многочленов определите число и степень неприводимых множителей над полем

GF (2).

7.7.Многочлен f (X), двойственный некоторому многочлену f (X), определяется как f (X) = X m f (1/X), где m — степень f (X). Докажите следующие утветждения:

а. Многочлен f (X) неприводим тогда и только тогда, когда неприводим многочлен f (X ).

б. Если f (X) неприводим, то f (X) и f (X) принадлежат одному и тому же показателю. Следовательно, f (X ) примитивен тогда и только тогда, когда примитивен f (X).

в. Если f (X) = f (X) и степень f (X ) больше 2, то f (X ) не является примитивным.

г. Если f (X) = g(X)h(X ), g(X ), h(X) — неприводимые многочлены и f (X) = f (X), то либо h(X) = g (X ), либо g(X) = g (X ) и h(X) = h (X).

7.8.Покажите, что в векторном пространстве наборов длины n с элементами из

GF (p), где p — простое число, любая подгруппа по сложению является подпростран-

ством.

133

8

ЦИКЛИЧЕСКИЕ КОДЫ

8.1.Циклические коды и идеалы

Оп р е д е л е н и е 69. Подпространство V наборов длины n называется циклическим подпространством или цикли-

ческим кодом, если для любого вектора v = (an−1, an−2, ..., a0) из подпространства V вектор v′ = (a0, an−1, an−2, ..., a1), получаемый в результате циклического сдвига компонент вектора v на

единицу вправо, также принадлежит подпространству V .

В этой главе наборы длины n будут рассматриваться как элементы алгебры многочленов по модулю Xn −1, которую обозначим через An. Элементами алгебры являются классы вычетов многочленов, которые здесь обозначаются через {f (x)}.

Каждому набору (an−1, an−2, ..., a0) длины n соответствует многочлен f (X) = an−1Xn−1 + an−2Xn−2 + ... + a0 степени, меньшей n; соответствующим классом вычетов является класс {an−1Xn−1 + an−2Xn−2 + ... + a0}. Этот класс вычетов и соответствующий вектор из n компонент будем рассматривать просто как различные способы представления одного и того же математического объекта — элемента алгебры An многочленов по модулю Xn − 1.

Теорема 63. В алгебре многочленов по модулю Xn − 1 подпространство является циклическим подпространством тогда

итолько тогда, когда оно является идеалом.

До к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, что умножение на {X} эквивалентно циклическому сдвигу вектора:

X(an−1Xn−1 + an−2Xn−2 + ... + a0) =

= an−1(Xn − 1) + an−2Xn−1 + ... + a0X + an−1,

и, следовательно,

{X}{an−1Xn−1 + an−2Xn−2 + ... + a0} = ={an−2Xn−1 + an−3Xn−2 + ... + a0X + an−1}.

134

Если подпространство V — идеал и элемент v принадлежит V , то произведение {X}v также принадлежит V , и поскольку {X}v

— циклический сдвиг вектора v, то V — циклическое подпространство.

Предположим, что V — циклическое подпространство. Тогда для любого вектора v, принадлежащего V , произведение {X}v принадлежит V , и, следовательно, для любого j произведение {X}j v = {Xj }v также принадлежит V . Поскольку V — подпространство, то любая линейная комбинация

cn−1{Xn−1}v + cn−2{Xn−2}v + ... + c0v = ={cn−1Xn−1 + cn−2Xn−2 + ... + c0}v

будет принадлежать V . Таким образом, произведение любого элемента из V на любой элемент алгебры An принадлежит V , т.е. подпространство V — идеал. Ч. т. д.

Структура идеала алгебры An сводится к следующему. Пусть g(X) — нормированный многочлен наименьшей степени, такой, что класс вычетов {g(X)} принадлежит идеалу J . Если f (X) — многочлен степени, меньше чем n, который делится на g(X), то класс вычетов {f (X)} принадлежит J , и, наоборот, если {f (X)} принадлежит идеалу J , то многочлен f (X) делится на многочлен g(X). Кроме того, многочлен Xn − 1 делится на g(X), и любой нормированный многочлен, на который делится Xn −1, порождает свой идеал J в алгебре An.

Таким образом, циклический код полностью задается многочленом g(X), на который делится многочлен Xn − 1. С другой стороны, этот же код может быть полностью определен условием, что он является нулевым подпространством идеала, порожденного многочленом h(X) = (Xn − 1)/g(X). Если многочлен g(X) — многочлен степени r, то размерность кода равна k = n − r. Элемент {f (X)} принадлежит коду тогда и только тогда, когда многочлен f (X) делится на g(X).

Многочлен h(X) называется проверочным многочленом для кода, порожденного многочленом g(X). Поскольку Xn − 1 делится на h(X), то многочлен h(X) может быть использован в качестве многочлена, порождающего циклический код.

П р и м е р 28. Пусть задан многочлен X7 − 1 = (X − 1)(X3 + X + 1)(X3 + X2 + 1) над полем Галуа GF (2). Многочлен g(X) = X3 + X2 + 1 порождает циклический (7,4)-код. Элементы

135