Учебное пособие 800360

На автомобиль действуют сила тяжести mg и реакция

моста N . Уравнение движения автомобиля имеет вид an mg N .

В проекции на нормаль (перпендикуляр) к поверхности дороги, получаем mv2/R mg - N .

Отсюда N m(g -v2/R).

Сила давление на мост равно по модулю N , но направлена вниз.

Задача 8.4. Кривошип ОА длины l, вращаясь равномерно с угловой скоростью, перемещает без трения кулису К, движущуюся поступательно вдоль горизонтальной направляющей 1 (рис. 8.4). Найти

силу давления Q ползуна А на кулису, если ее масса равна m.

Решение. Положение кулисы определяется координатой x lcos . Так как

t , то кулиса будет двигаться по закону x lcos t . Составляя для кулисы уравнение (8.5) в проекциях на ось

Ох, получим max Qx .

чаем m 2x Qx , Q m 2 x .

Следовательно, давление ползуна на кулису изменяется пропорционально ее расстоянию x от центра О.

Из рассмотренных примеров видно, что первая задача динамики решается довольно просто. Если ускорение движущейся точки не задано, то оно определяется методами кинематики.

70

8.6. Прямолинейное движение точки Из кинематики известно, что при прямолинейном движе-

нии скорость и ускорение точки всегда направлены вдоль одной и той же прямой. Так как направление действия силы и ускорения совпадают, при постоянном направлении силы свободная МТ будет двигаться прямолинейно. Скорость точки также будет направлена же вдоль силы.

Пусть МТ, движется прямолинейно под действием прило-

женной к ней силы R Fk . Положение точки на траектории

определим ее координатой х (рис. 8.5). Основная задача динамики в этом случае состоит в определении закона движения

точки, т. е. функции x f(t) по функции R(t ). Проецируя обе части уравнения (8.3) на ось Ох, получим

max Rx Fkx .

d2x

Поскольку ax dt2 x,

Уравнение (8.6) называется дифференциальным уравнением прямолинейного движения точки. Часто уравнение (8.6) удобно заменять системой дифференциальных уравнений первого порядка

dx

dt vx x.

Для определения зависимости скорости непосредственно от координаты х, а не от времени t, а также при силах, зависящих от x, первое уравнение (8.7) преобразуют к переменной vx(x)

71

Тогда вместо первого уравнения (11.7) получим

Решение основной задачи динамики состоит в определении по известным силам закона движения точки, т. е. x= f(t). путем интегрирования соответствующих дифференциальных уравнений.

Силы, входящие в правую часть (8.6) могут зависеть от времени t, от координаты точки x и от ее скорости, т. е. от vx x, (см. задачу 8.1). Следовательно, в общем случае урав-

нение (8.6) является дифференциальным уравнением 2-го порядка

Решение этого уравнения определяется по структуре его правой части. При интегрировании уравнения (11.9) в решение войдут две произвольные постоянные интегрирования C1 и

Для определения C1 и C2 используются так называемые начальные условия (условия Коши).

Всякое движение начинается или рассматривается с некоторого начального момента времени. От этого момента обычно отсчитывают время движения, считая, что в начальный момент t = 0. Начальные условия движения точки определяются ее положением и скоростью при t = 0, называемыми начальным положением и начальной скоростью точки. Если в начальный момент точка двигалась, то ее начальная скорость отлична от нуля. Следовательно, для решения основной задачи динамики необходимо, кроме действующих сил, знать еще и начальные условия движения точки.

В случае прямолинейного движения начальные условия

По начальным условиям можно определить постоянные C1 и C2 и найти частное решение уравнения (8.9) в виде

Эта функция называется общим решением уравнения (8.9) для данной задачи.

Для определения постоянных интегрирования используем начальные условия в виде (8.11). Решения (8.13) и (8.14) должны быть верны в любой момент времени, включая и t= 0. Поэтому, подставляя в (8.13) и (8.14) вместо t нуль, получаем

Как видно из (8.15), точка под действием постоянной силы совершает равнопеременное движение, что можно было пред-

сказать заранее, так как если Q= const , то и a = const . В частности, таким является движение точки под действием силы тяжести при небольших перемещениях. Если ось Ох направить вертикально вниз, то уравнение (8.15) для свободно падающей

материальной точки x x0 v0xt 0,5gt2 .

73

8.7. Решение задач Решение задач динамики интегрированием дифференци-

альных уравнений движения сводится к следующим операциям.

1.Составление дифференциального уравнения движения. Для чего необходимо:

а) Выбрать начало отсчета, как правило, совместив его с начальным положением точки. Если под действием приложенных сил точка может находиться в каком - либо положении в равновесии, то начало отсчета удобно помещать в положении равновесия. Выбрать координатную ось вдоль линии движения, направляя ее, как правило, в сторону движения.

б) Изобразить движущуюся точку в произвольном положении, проще всего при x 0, и обозначить все действующие на точку силы.

в) Сумму проекций всех сил на координатную ось подставить в правую часть дифференциального уравнения движения. При этом все функции, входящие в уравнение, следует выразить через те величины (t, х или v), oт которых зависят силы. Силы, зависящие от скорости, следует перенести в левую часть

ивыразить скорость через t или х.

2.Интегрирование дифференциального уравнения движения. Оно производится методами, известными из курса высшей математики в зависимости от свойств уравнения и вида его правой части (8.9). В тех случаях, когда на точку, кроме постоянных сил, действует одна переменная сила, зависящая только от одной из переменных t, х или v, уравнение прямолинейного движения можно проинтегрировать методом разделения переменных (см. задачи 8.5- 8.7). Если в задаче требуется определить только скорость движения, то часто можно ограничиться интегрированием уравнения (8.7) или (8.8).

3.Определение произвольных постоянных интегрирования. Для этого надо по данным задачи установить начальные условия в виде (8.11). Значения постоянных по начальным условиям находятся так же, как в 8.6.

74

Если дифференциальное уравнение движения является уравнением с разделяющимися переменными, то вместо введения постоянных интегрирования можно брать сразу от обеих частей равенства определенные интегралы в соответствующих пределах. Такой подход использован в задаче 8.7.

4. Определение искомых величин и исследование полученных результатов. Для исследования решения, а также косвенной проверки результатов методом размерностей, надо все решение проводить до конца в алгебраическом виде, подставляя числовые данные только в конечные формулы.

Изложенные выше методики применимы и к криволинейному движению.

Примеры решения задач.

8.7.1. Сила зависит от времени

Задача 8.5. Тело массой m начинает движение из состояния покоя вдоль гладкой горизонтальной плоскости под действием силы R , модуль которой растет пропорционально времени по закону R kt . Определить закон движения тела.

Решение. Пусть начало отсчета О совпадает с начальном положением тела и ось Ох направлена в сторону движения (см. рис. 8.5). Тогда начальные условия будут: при t= 0 х= 0, vx= 0.

Изображаем в произвольном положении тело и действующие

Умножая обе части этого равенства на dt , снова разделим переменные и, интегрируя, определим x C2 kt3 /6m.

75

Из начальных данных следует C2 0, и закон движения тела принимает вид x kt3 / 6m .

8.7.2. Сила зависит от расстояния Задача 8.6. Пренебрегая трением и сопротивлением возду-

ха, определить, в время прохождения тела по прорытому сквозь Землю вдоль хорды АВ каналу от его начала А до конца В (рис. 8.6). Считать, что радиус Земли R = 6370 км.

Указание. В теории притяжения доказывается, что тело, находящееся внутри Земли, притягивается к ее цен-

тру с силой F , прямо пропорциональной расстоянию r до этого центра. Поскольку при r= R (т. е. на поверхности Земли) сила F равна силе тяжести тела G mg , получим, что внутри Земли F mgr / R, где r MC - расстояние от точки М до центра Земли.

Решение. Поместим начало отсчета О в середине хорды АВ. Тело находящееся в покое в этой точке, было бы в равновесии. Направим ось Ох вдоль линии ОА. Пусть 2а -длина хорды АВ. Движение начнется при условиях: при t 0 x a,

vx 0 .

Впроизвольном положении на тело действуют силы F и

N . Из рис. 8.6 видно, что rcos x. Тогда,

Fkx Fcos mgrcos / R mgx/ R .

Как видно, действующая сила зависит только от координаты x точки М. Для разделения переменных в дифференциальном уравнении движения, представим его в виде (8.8). Тогда,

сокращая на m и обозначая k2 g / R, получим

vx dvx k2x. dx

76

Умножением обеих частей этого равенства на dx перемен-

ные разделяются. Интегрируя, находим 0,5vx2 0,5k2x2 C1.

По начальным условиям определяем C1 0,5k2a2. Подставляя C1, получаем vx ka2 x2 .

Поскольку в рассматриваемом положении скорость направлена от М к О, т. е., vx 0, берем перед корнем знак ми-

нус. Заменяя vx через x, получим

x ka2 x2 , или (a2 x2 ) 0,5dx kdt .

Интегрируя, получаем kt arccos( x/ a) C2 .

Подставляя сюда начальные данные (при t = 0 х = а), находим, что C2 0 и закон движения тела в канале принимает вид x acoskt .

Следовательно, тело в канале АВ совершает гармонические колебания с амплитудой а (см. гл. 11) относительно точки

О.

Для определения времени t1 движения тела до конца В канала подставим координату точки В хВ = - а в уравнение движения. Тогда coskt1 1, kt1 и t1 / k .

Поскольку k g / R , t1 R/ g 42 мин 11 с.

Как видно, время движения t1 по каналу АВ при условиях задачи не зависит от его длины.

Из выражения для vx видно, что vmax vx при x= 0, т. е.

в точке О vmax ka ag / R .

8.7.3. Сила зависит от скорости

Задача 8.7. Лодке, массой m= 40 кг, толчком, сообщают начальную скорость v0 = 0,5 м/сек. Сила сопротивления воды

при малых скоростях пропорциональна первой степени модуля скорости и изменяется по закону R v, где коэффициент со-

77

противления = 91 Н/с. Определить, через какое время скорость лодки уменьшится вдвое и какой она за это время пройдет путь. Найти также путь, пройденный лодкой до потери скорости.

Решение. Совместим начало отсчета O с начальным положением лодки и направим ось Ох в сторону движения (рис.

8.7). Тогда начальные условия

примут вид: при t =0 х= 0, vx v0 . Чтобы правильно определять, какие силы действительно действуют на тело при ее движении, на-

Рис. 8.7 до помнить, что силы есть результаты взаимодействия данного тела с другими телами. Если никакие другие тела на лодку при ее

движении не действуют, значит, никаких других действующих сил нет. В данном случае на лодку действует сила тяжести mg , вызванная действием на лодку Земли. Вода действует на

лодку с силой сопротивления R и выталкивающей силой N , являющейся вертикальной силой реакции воды. Сила, толкнувшая лодку, действовала на лодку до момента t= 0. Результат этого действия учитывается заданием начальной скорости v0 , которую сила сообщила лодке за время толчка. Поэтому

эту силу при рассмотрении движения лодки учитывать не нужно.

Проекция равнодействующий силы на направление скоро-

сти

Fkx R v.

Поскольку в данном случае vx v, получим, дифференци-

альное уравнение (8.7) имеет вид

С учетом начальных условий при t = 0 v v0.

Левая часть интегрируется по v, а правая - по t. Тогда

78

Искомое время t1, определим, положив v 0,5v0 . Это время, очевидно, не зависит от величины v0 . Так как ln2=

0,693, то t1 (m/ )ln2 3 с.

Для определения пройденного пути целесообразнее использовать дифференциальное уравнение движения в виде (8.8), так как это уравнение позволяет сразу установить зависимость между x и v. Тогда

mv dv v . dx

Отсюда, сокращая на v 0 , разделяя переменные, и учитывая, что при х = 0 v v0, получим

t . Это означает, что при принятом линейном законе сопротивления R kt лодка будет к своей конечной координате x2 , приближаться асимптотически вдоль оси времени. Очевидно, что в действительности время движения лодки до остановки будет конечным, так как с уменьшением скорости закон R(t ) может измениться.

79