Учебное пособие 800360

Рабочее число оборотов мотора должно быть значительно больше n1. Если по каким то условиям скорость вращения ротора увеличить нельзя, необходимо увеличивать жесткость (массивность) балки.

Задача 11.5. Исследовать вынужденные колебания груза, подвешенного к пружине (задача 11.1), если верхний конец А

Следовательно, груз будет совершать вынужденные колебания, так как полученное уравнение совпадает с уравнением

h 0 . Амплитуда вынужденных колебаний и сдвиг фаз определяются формулами (11.32).

При p << k верхний конец пружины колеблется очень медленно. Тогда 0 и А =a0 а сдвиг фаз = 0. Груз будет при этом колебаться так, как если бы пружина была жестким стержнем, что соответствует условию k p. При p k на-

160

ступает резонанс и амплитуды колебаний начнут сильно возрастать. Если частота р станет больше k ( 1), то груз будет колебаться так, что когда конец. пружины идет вверх, груз бу-

дет опускаться вниз и наоборот (сдвиг фаз = 180 ). При этом амплитуда колебаний будет тем меньше, чем больше р. Наконец, когда р будет много больше k ( 1), амплитуда A 0 . При этом, хотя верхний конец пружины и совершает колебания с амплитудой a0 , груз будет оставаться в равновесии (в

точке О). В этом случае частота этих колебаний столь велика, что груз не успевает за ними следовать.

11.4. Задачи для самостоятельного решения

11.4.1.Материальная точка массой т = 0,4 кг совершает гармонические колебания по горизонтальной оси Ох по закону

x20sin(0,5 t ) (x выражено в см, tсм, t - в с.). Найти зави-

симость силы, действующей на точку от x .

11.4.2. Груз, сила тяжести которого G mg 20 Н подвешен на пружине, которая в естественном состоянии имеет длину l0 = 40см. Статическое удлинение пружины под дейст-

вием этого груза равно c = 4 см. Груз приведен в положение

при котором длина пружины составила 42 см и отпущен без начальной скорости. Определить период колебаний груза и наибольшую силу натяжения пружины.

11.4.3. К свободному концу А упругой горизонтальной балки, другой конец которой закреплен неподвижно, подвешен на пружине груз массой

m . Упругая сила балки пропорциональна стреле прогиба f , а сила натяжения пружины пропорциональна ее удлинению , причем жесткость балки равна c1 , а жесткость пружины равна c2 . Определить период колебаний груза, пренебрегая массами балки и пружины (рис. 11.17).

161

11.4.4. Материальная точка совершает прямолинейные колебания в вязкой среде под действием силы, пропорциональной расстоянию от этой точки до неподвижного центра О.

лебания около неподвижной точки A0 по закону yA AA0

0,05sin5 t2 , причем yA выражено в метрах, t - в секундах. Сила сопротивления жидкости при движении груза про-

порциональна его скорости v и при v 1 м/с равна 15,7 Н. Найти амплитуду вынужденных колебаний (рис. 11.18).

11.4.6. Колеблющаяся масса вибрационного грохота, установленного на наклонной плоскости с углом наклона (рис.

тать, что ползун В движется по тому же закону, что и проекция точки А кривошипа на ось x . Масса грохота равна m . Определить закон вынужденных колебаний грохота, пренебрегая потерями на трение, если кривошип вращается по законуt . При каком числе оборотов в минуту кривошипа насту-

162

пит резонанс?

11.4.7. Материальная точка массой m == 50 кг движется по горизонтальной прямой, притягиваясь к неподвижному

центру О силой F , пропорциональной расстоянию точки от этого центра, причем коэффициент пропорциональности с = 200 н/м. Кроме того, на точку действует возмущающая сила F 2sin 2t , выраженная в ньютонах. Найти закон движения точки, если в начальный момент x x0 0; v v0 1 см/сек и возмущающая сила F в начале движения (при t 0,5 ) совпадает по направлению с начальной скоростью.

11.4.8. Груз массы m = 0,14 кг колеблется на пружине с жесткостью k= 56 Н/м с амплитудой A= 40 мм. Найти: 1) полную механическую энергию W ; 2) потенциальную энергию U в точке с координатой x= 0; 3) кинетическую энергию K в той же точке; 4) скорость прохождения этой точки грузом.

11.4.9.Если к некоторому грузу, колеблющемуся на пружине, подвесить гирю массой m = 100 г, то частота колебаний уменьшится в n= 1,41 раза. Какой массы груз был первоначально подвешен к пружине?

11.4.10.Период вертикальных колебаний висящего на пружине тела T01 = 1 с. Увеличение его массы изменило пери-

од колебаний до значения Т02 = 1,5 с. Определить смещение

положения равновесия конца пружины под действием дополнительного груза.

11.4.11.Как изменится период вертикальных колебаний груза, висящего на двух одинаковых пружинах, если их последовательное соединение заменить параллельным?

11.4.12.В открытые сообщающиеся сосуды с площадями поперечного сечения S и 2S налита ртуть массой М. Столбик ртути в одном из сосудов вывели из положения равновесия, вследствие чего ртуть начала колебаться. Найти период колебаний ртути.

11.4.13.С какой частотой колеблется палка массой m = 2

кг и площадью поперечного сечения S= 5 см2 , плавающая на

163

поверхности воды в вертикальном положении? (Принять во внимание, что период колебания груза на пружине

T0 2 m/ k , где k - коэффициент жесткости пружины). 11.4.14. После загрузки корабля период его колебаний по

вертикали увеличился с T01 = 7 с до T02 = 7,5 с . Какова масса

груза? Сечение корабля по ватерлинии S = 500 м2.

11.4.15. Ареометр, состоящий из шарика, заполненного дробью, и цилиндрической трубки с поперечным сечением S, помещен в жидкость с плотностью . Найти период колебаний ареометра около положения равновесия. Как будет изменяться период при увеличении его массы, уменьшении диаметра трубки, при увеличении плотности ?

11.4.16. Ареометр массой 0,2 кг плавает в жидкости. Если его немного погрузить в жидкость, а затем отпустить, то он начнёт совершать колебания с периодом 3,4 с. Считая колебания ареометра гармоническими и незатухающими, найдите плотность жидкости, в которой он плавает. Радиус вертикальной цилиндрической трубки ареометра равен 5 мм.

164

Глава 12. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ТЕЛ

12.1. Механическая система. Силы внешние и внутренние Механической системой материальных точек или тел на-

зывается совокупность существенно взаимодействующих между собой материальных точек или тел.

Материальное тело также можно рассматривать как систему материальных частиц (точек), образующих это тело.

Классическими примерами механических систем являются солнечная система, в которой все тела связаны силами взаимного притяжения, а также любые машины или механизмы, в которых все тела связаны различными геометрическими связями - шарнирами, стержнями, тросами, ремнями и т. п. Различные силы в таких системах передаются через связи.

Совокупность тел, между которыми нет никаких существенных сил взаимодействия (например, группа летящих в воздухе самолетов), механической системой не является. В дальнейшем будут рассматриваться только механические системы тел, называемые далее просто системами.

В соответствии с изложенным, силы, действующие на точки или тела системы, можно разделить на внешние и внутренние.

Внешними называются силы, действующие на точки системы со стороны точек или тел, не входящих в эту систему.

Внутренними называются силы, действующие на точки системы со стороны других точек или тел этой же системы.

Пусть Fe - внешняя сила, а Fi - внутренняя сила (индексы е и i oт начальных букв слов exterieur - внешний и interieur - внутренний).

Как внешние, так и внутренние силы - могут быть в свою очередь или активными, или реакциями связей. Разделение сил на внешние и внутренние является условным и зависит от того, движение какой системы тел рассматривается. Например, если рассматривать движение солнечной системы в целом, то сила притяжения Земли к Солнцу будет внутренней; при изу-

165

чении же движения Земли по ее орбите вокруг Солнца та же сила должна считаться внешней.

Внутренние силы имеют следующие свойства:

1. Векторная сумма (главный вектор) всех внутренних сил системы равна нулю. Действительно, по третьему закону динамики любые две точки системы действуют друг на друга с равными по модулю и противоположно направленными сила-

ми Fkmi и Fmki , сумма которых равна нулю. Такой же результат получается для любой другой пары точек системы. Поэтому

Fkmi 0 .

2.Сумма моментов (главный момент) всех внутренних сил системы относительно любого центра или оси равен нулю. Действительно, если взять произвольный центр О, то из рис.

m0 Fkmi 0 и mx Fkmi 0 .

Из изложенного не следует, однако, что внутренние силы взаимно уравновешиваются и не влияют на движение тел системы, так как эти силы приложены к разным материальным точкам или телам и могут вызвать взаимные перемещения этих точек или тел. Внутренние силы взаимно уравновешены только в абсо-

лютно твердом теле (аксиома первая).

Рис. 12.1

12.2. Масса системы. Центр масс Движение системы зависит не только от действующих сил,

но и от ее суммарной массы и распределения масс ее тел или материальных точек.

Масса системы равна сумме масс всех точек или тел, образующих систему

M mk .

166

В однородном поле тяжести, для которого g= const, сила тяжести любой частицы тела пропорциональна ее массе. Поэтому о распределении масс в теле можно судить по положению его центра тяжести. На основании формул, определяющих координаты центра параллельных сил, с учетом того, что Gk mk g , G Mg после сокращения на g, получается

этих точек. Следовательно, положение точки С (хс, ус, zc) действительно характеризует распределение масс тела или любой механической системе, если под mk , xk , yk , zk понимать со-

ответственно массы и координаты точек этой системы.

Точка С с координатами, определенными по (15.1), называется центром масс или центром инерции механической сис-

где rk - векторы - радиусы точек системы.

Оси координат, проходящие через центр масс тела или системы тел, называются центральными.

Хотя для небольших тел и систем тел, находящихся в однородном поле тяжести, центры масс и тяжести совпадают, понятия эти не являются тождественными. Определение центра тяжести, как точки, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести, имеет смысл только для системы, находящейся в однородном поле тяжести. Определение же центра масс, как характеристики распределения масс в системе, имеет смысл для любой системы материальных точек или тел. Оно сохраняет свой смысл независимо от того, находится ли система под действием сил тяжести или нет.

167

12.3. Момент инерции тела относительно оси. Радиус инерции Положение центра масс характеризует распределение масс системы не полностью. Например, если в системе, изображенной на рис. 12.2, при одинаковых шарах А и В увеличить вели-

чину h, то положение центра масс системы не изменится, но распределение масс станет другим и это можно обнаружить при вращении вокруг оси Oz.

Поэтому в механике используется еще одна характеристика распределения масс - момент инерции. Моментом инерции тела (системы) относительно данной оси Oz (или осевым моментом инерции)

называется скалярная величина, равная сумме произведений масс всех точек тела (системы) на квадраты их расстояний от этой оси

Осевой момент инерции является мерой инертности тела во вращательном движении. В дальнейшем будет показано, что роли осевого момента инерции при вращательном движении тела и массы тела при поступательном движении аналогичны.

По определению момент инерции тела относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции всех его частей относительно той же оси. При удалении материальной точки на

168

Например, квадрат расстояния от оси Ох будет yk2 zk2 и

т. д. Тогда моменты инерции относительно осей системы Oxyz

Радиусом инерции тела относительно оси Oz называется линейная величина

где М - масса тела.

Из определения следует, что если в некоторой точке сосредоточена масса всего тела и если момент инерции этой точки относительно оси Oz равен моменту инерции всего тела, то радиус инерции равен расстоянию от оси до этой точки.

Формулы (12.2) и (12.3) верны как для твердого тела, так и для системы материальных точек. При разбиении сплошного тела объема V и плотности на элементарные части объемов

dV с массой dm dV (12.2) в пределе станет интегралом

Интегрирование ведется по объему V тела, с учетом зависимости плотности и расстояния h от координат точек тела. Аналогично для сплошных тел формулы (12.3) примут вид

При постоянной плотности выносят из-под знака интеграла.

Определим моменты инерции некоторых однородных тел.

169