Учебное пособие 800360

колка на землю одновременно? Сопротивление воздуха не учитывать.

13.5.11. Снаряд разорвался в верхней точке траектории на высоте h= 19,6 м на две одинаковые части. Через время = 1 с после взрыва одна часть падает на землю под местом взрыва. Определить расстояние S2 между точкой падения второй час-

ти и орудием, если первая часть упала от орудия на расстоянии S1 = 1000 м. Сопротивление воздуха не учитывать.

13.5.12. Однородный стержень длиной l нижним концом касается гладкой горизонтальной поверхности стола (рис. 13.8). Верхний конец стержня подвешен на нити, так что стержень образует с горизонтальной плоскостью угол . Нить пережигают. В какую сторону и на сколько сместится нижний

должно быть между углами и , чтобы шарикам можно было сообщить эти скорости? Как будет происходить движения системы? На какую высоту поднимется центр масс системы?

200 Н, t- время в секундах. С какой скоростью будет двигаться центр масс плота? На какое расстояние переместится центр масс плота к моменту окончания движения второго человека, если его масса равна 80 кг. Сопротивления воды и воздуха и воды не учитывать.

190

Глава 14. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ ИМПУЛЬСА

14.1. Импульс системы Импульсом системы материальных точек называется век-

тор L, равный векторной сумме (главному вектору) импульсов всех точек системы (рис. 14.1)

При произвольных векторах скоростей точек системы век-

т. е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость центра масс системы. Этим результатом особенно удобно пользоваться при вычислении импульсов твердых тел.

Из (14.2) видно, что если тело (или система) движется, но его центр масс остается в покое, то импульс тела равен нулю. Например, импульс тела, вращающегося вокруг неподвижной центральной оси равен нулю.

Если же движение тела является сложным, то вектор L не будет характеризовать вращательную часть движения вокруг

центра масс. Например, для катящегося колеса L MvC , неза-

висимо от того, как вращается колесо вокруг его центра масс С. Таким образом, импульс характеризует только поступательное движение системы. При непоступательном же движении

191

вектор L характеризует только поступательную часть движения системы со скоростью центра масс.

14.2. Теорема об изменении импульса Из системы дифференциальных уравнений движения сис-

тема из n материальных точек (13.1) следует

mkak Fki Fke .

Поскольку сумма внутренних сил равна нулю и

Соотношение (14.3) выражает теорему об изменении импульса системы в дифференциальной форме: производная, по времени от импульса системы равна векторной сумме всех действующих на систему внешних сил. В проекциях на координатные оси получим

Выражение (14.5) формулирует теорему об изменении импульса системы в интегральной форме: изменение импульса системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов, действующих на систему внешних сил, за тот же промежуток времени.

В проекциях на координатные оси получим

192

L1x L0x pkxe , L1y L0y pkye ,L1z L0z pkze . (14.6)

Между этой теоремой и теоремой о движении центра масс существует связь. Подставляя L Mvc в (14.3), и учитывая,

(13.4). Следовательно, теоремы о движении центра масс и об изменении импульса системы - это, по существу, две разные формы одной и той же теоремы. В тех случаях, когда изучается движение твердого тела (или системы тел), когда можно определить центр масс системы, можно в равной мере пользоваться любой из этих форм, причем уравнением (13.4) обычно пользоваться удобнее.

Для сплошных сред (жидкость, газ) понятие о центре масс всей системы практически теряет смысл. В этих случаях для решения задач пользуются теоремой об изменении импульса системы. Важные приложения эта теорема имеет в теории удара (глава 17) и при изучении реактивного движения (14.5).

Теоремы об изменении импульса системы важны потому, что позволяют исключить из рассмотрения заранее неизвестные внутренние силы (например, силы взаимодействия друг с другом частиц сплошной среды).

14.3. Закон сохранения импульса Из теоремы об изменении импульса системы получаются

практически важные следствия:

1) Пусть сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю: Fke 0. Тогда из (14.3) следует, что

L const. Следовательно, если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то импульс системы будет постоянным.

2) Пусть внешние силы, действующие на систему, таковы, что сумма их проекций на некоторую ось Ох равна нулю:Fkxe 0 . Тогда из (14.4) следует, что Lx const . Следова-

тельно, если сумма проекций всех действующих внешних сил

193

на некоторую ось равна нулю, то проекция импульса системы на эту ось остается постоянной.

Эти результаты и выражают закон сохранения импульса системы. Из них следует, что внутренние силы не могут изменить суммарный импульс системы. Это следует из примеров.

а) Явление отдачи или отката. Если рассматривать винтовку и пулю как одну систему, то давление пороховых газов при выстреле создаст внутренние силы. Эти силы не могут изменить суммарный импульс системы. Поскольку пороховые газы, действуя на пулю, сообщают ей импульс, направленный вперед, то они одновременно должны сообщить винтовке такой же импульс в обратном направлении. Это вызовет движение винтовки назад, т. е. так называемую отдачу. Аналогичное явление - откат получается при стрельбе из артиллерийского орудия.

б) Работа гребного винта (пропеллера). Винт сообщает некоторой массе сплошной среды (воздуха или воды) движение вдоль оси винта, отбрасывая эту массу назад. Если рассматривать отбрасываемую массу и самолет (или судно) как одну систему, то силы взаимодействия винта и среды как внутренние не могут изменить суммарный импульс этой системы. Поэтому при отбрасывании массы воздуха (воды) назад самолет (или судно) движется вперед со скоростью, при которой общий импульс рассматриваемой системы остается равным нулю, так как до начала движения импульс системы был равен нулю.

Аналогичный эффект достигается действием весел или гребных колес.

в) Реактивное движение. В реактивном снаряде (ракете) газообразные продукты горения топлива с большой скоростью выбрасываются из реактивного двигателя ракеты. Действующие при этом силы давления являются силами внутренними и не могут изменить суммарный импульс системы ракета - продукты горения топлива. Поскольку вытекающие газы имеют импульс, направленный назад, ракета получает движение вперед. Величина этой скорости определена в 14.5.

194

Следует помнить, что винтовой двигатель сообщает объекту, например самолету, движение за счет отбрасывания назад частиц той среды, в которой он движется. В безвоздушном пространстве такое движение невозможно. Реактивный же двигатель сообщает движение за счет отброса назад масс - продуктов горения, вырабатываемых в самом двигателе. Такое движение возможно и при отсутствии сплошной среды.

14.4. Решение задач Теоремой об изменении импульса обычно пользуются для

изучения движения среды (жидкости, raзa).

Применение теоремы позволяет исключить из рассмотрения все, заранее неизвестные, внутренние силы. Поэтому рассматриваемую систему надо стараться выбирать так, чтобы все (или часть) заранее неизвестные силы оказались внутренними.

Закон сохранения импульса удобно применять, когда по изменению поступательной скорости одной части системы надо определить скорость другой части. В частности, этот закон широко используется в теории удара.

Следует помнить, что, при вычислении полного импульса системы нужно использовать только абсолютные скорости движения ее частей относительно одной и той же системы.

Задача 14.1. Пуля массы m , летящая горизонтально со скоростью u , попадает в установленный на тележке ящик с песком (рис. 14.2). С какой скоростью нач-

нет двигаться тележка после удара, если

Рис. 14.2

масса тележки вместе с ящиком равна M.

Решение. Пусть пуля и тележка входят в систему. Это позволит при решении задачи исключить силы, которые возникают при ударе пули о ящик. Сумма проекций приложенных к системе внешних сил на горизонтальную ось Ох равна нулю. Следовательно, Lx const или Lx1 Lx0 , где Lx0 - импульс

системы до удара, Lx1 - после удара. Так как до удара тележка

195

неподвижна, то Lx0 = mu . После удара тележка и пуля дви-

жутся с общей скоростью v . Тогда Lx1 = (m M )v. Приравнивая выражения Lx1 и Lx0 , получим v mu/(m M ).

Задача 14.2. Определить скорость свободного отката орудия, если масса откатывающихся частей равен M , масса снаряда m , а скорость снаряда относительно канала ствола в момент вылета равна u .

сопротивлением откату и силами Mg и N , которые очень малы по сравнению с силами давления пороховых газов, получим, что сумма приложенных к системе внешних сил равна нулю (рис. 14.3); откатывающиеся вместе со стволом части не

показаны). Тогда L const и Lx const . Поскольку до вы-

стрела система неподвижна (L0 0) то и в любой момент вре-

мени Lx 0 .

Пусть v скорость откатывающихся частей в конечный момент времени. Тогда абсолютная скорость снаряда в этот момент равна u v . Следовательно

vx mwx / M .

196

14.5.Движение тела переменной массы

Вклассической механике масса каждой точки или частицы системы считается при движении постоянной. Однако в некоторых случаях, когда отдельные частицы могут отделяться от системы или присоединяться к ней, состав частиц, образующих эту систему, изменяется. Вследствие этого изменяется и суммарная масса рассматриваемой системы. Задачи, в которых происходит подобное присоединение или отделение отдельных масс, уже рассматривались (см. выше задачи 14.1, 14.2 или задачу 8.1).

Ниже рассмотрен другой, важный случай, когда процесс отделения от тела или присоединения к нему частиц

происходит непрерывно. Тело, масса М которого непре-

рывно изменяется во времени вследствие присоединения к нему или отделения от него материальных частиц, называется телом переменной массы. Для тела переменной массы M f(t), где f(t) - непрерывная функция времени.

Подобными телами являются ракета или реактивный самолет при расходе топлива.

Переменность массы понимается здесь совершенно в ином смысле, чем в теории относительности, и является следствием изменения состава рассматриваемого тела.

Если при движении тела переменной массы его размерами по сравнению с проходимым телом расстоянием можно пренебречь, то это тело можно считать материальной точкой переменной массы.

Пусть u - скорость истечения продуктов горения из ракеты относительно ракеты. Чтобы исключить силы давления, выталкивающие продукты горения, сделав их внутренними, рассмотрим в некоторый момент времени t систему, состоящую из ракеты и частицы, отделяющейся от нее в течение

198

dm = dM dM . Уравнение (14.3) для рассматриваемой сис-

где Fe - главный вектор приложенных к ракете внешних сил. Если скорость v ракеты за время dt изменяется на dv , то

приобретает за то же время скорость u , равную скорости истечения продуктов горения топлива относительно ракеты. В результате этого приращение импульса системы ракета – час-

тица

dL (M dm)(v dv ) dm(v dv u ) Mv Mdv dmu .

При получении этого соотношения учтено, что M dm .

Следовательно, dL Mdv dmu Mdv dMu . Подставляя

dL в (14.7) получим

Уравнение (14.8) -это записанное в векторной форме дифференциальное уравнение движения точки переменной массы или уравнение Мещерского.

Последнее слагаемое в правой части (14.8) по размерности

dt

Следовательно, реактивный эффект сводится к тому, что

на ракету при ее движении дополнительно действует сила R, называемая реактивной силой.

199