Учебное пособие 800360

ную точку А плоской фигуры S. Фигура S при движении может поворачиваться относительно точки А. Ниже точку А называют полюсом. Можно представить себе, что через точку А проходит ось вращения фигуры S относительно подвижных осей Аx1 и А1y1 . Если плоскую фигуру S мысленно скрепить с подвижными осями, то она будет двигаться вместе с ними поступательно.

Для выяснения сущности плоскопараллельного движения рассмотрим два положения 1 и 2, которые заняло сечение тела S в моменты вре-

мени t1 и t2 t1 t (рис. 3.3). Очевидно, что сечение S, а с ним и все тело, можно перевести из положения 1 в положение 2 в два приема. Сначала можно перенести тело поступательно, так, чтобы полюс А двигался по его траектории из точки A1 в

точку A2 . При таком движении отрезок А1В1, двигаясь парал-

лельно самому себе, переместится в положение A2B2 . Затем следует повернуть сечение S вокруг полюса А2 на угол , от-

считанный от отрезка A2B2 . Рассмотренные движения можно реализовать и в обратном порядке.

Отсюда следует, что плоскопараллельное движение твердого тела можно считать состоящим из поступательного движения, при котором все точки тела движутся так же, как и полюс, и вращательного движения тела относительно этого полюса.

Оба составляющих движения происходят одновременно и в результате, как образуют в каждый момент времени вращательное движение вокруг особой точки - мгновенного центра скоростей, неподвижной в данный момент времени относительно неподвижной системы Оху.

20

Поступательная часть движения плоской фигуры S характеризуется поступательным движением одной из точек тела, например полюса А, и определяется уравнениями: x01 = x01(t), y01 = y01(t). Отрезок АВ за время t поворачивается вместе с фигурой S вокруг полюса А (относительно подвижной системы координат) на некоторый угол . Вращение плоской фигуры S относительно полюса А определяется функцией = (t).

Уравнениями (законом) плоскопараллельного движения тела называют уравнения

x01 = x01(t), y01 = y01(t), = (t). (3.1)

Очевидно, что если взять за полюс некоторую другую точку С сечения S и провести из полюса С параллельно отрезку АВ другой отрезок, то за время t он повернется на тот же угол , что и отрезок АВ, так как эти отрезки по построению остаются все время параллельными друг другу. Таким образом, угол поворота плоской фигуры вокруг любого полюса не зависит от выбора этого полюса.

3.2. Скорости точек тела в плоскопараллельном движении Поскольку угол поворота плоской фигуры вокруг любого полюса не зависит от выбора этого полюса, угловые скорость

В этом выражении вектор drA vA характеризует измене- dt

ние вектора rA в системе координат Оху и определяет скорость

полюса А в этой системе координат. Величина dr vBA ха- dt

рактеризует изменение вектора r в системе координат Ах1у1 и определяет скорость точки В относительно точки А, то есть скорость точки В относительно полюса

Проекции скоростей любых двух точек плоской фигуры, движущейся в своей плоскости, на прямую, соединяющую эти точки, равны. Это утверждение верно только для абсолютно твердого тела, поскольку в деформируемом теле точки А и В могут двигаться друг относительно друга за счет деформаций.

3.2.1. Мгновенный центр скоростей В каждый момент времени, когда угловая скорость плоской фигуры, движущейся в своей плоскости, не равна нулю, в плоскости фигуры существует точка P, называемая

Рис. 3.6 мгновенным центром скоростей, 22

скорость которой в этот момент равна нулю.

Для определения положения мгновенного центра скоростей, надо вектор скорости vA повернуть на 90° в сторону вращения фигуры и отложить в его направлении отрезок

Скорости точек плоской фигуры прямо пропорциональны их расстояниям от мгновенного центра скоростей. На рис. 3.7, а - в даны примеры определения полюса P по двум заданным векторам скоростей двух точек тела для частных слу-

чаев.

Если скорости vA и vB двух точек плоской фигуры, движущейся в своей плоскости, в данный момент параллельны, то скорости всех точек плоской фигуры в данный момент равны между собой, и угловая скорость фигуры равна нулю, т. е. мгновенный центр скоростей P не существует.

С течением времени мгновенный центр скоростей меняет свое положение относительно фигуры S. Движение фигуры S можно представить как последовательность бесконечно малых поворотов вокруг постоянно меняющихся мгновенных центров скоростей.

3.3. Ускорения точек тела в плоскопараллельном движении Дифференцируя первое выражение (3.2) по времени, по-

23

лучаем ускорение точки В aB aA aBA, где aA = ddtvA ddt2r2A - ускорение точки А относительно неподвижной системы (рис.

вижной системы (рис. 3.8).

Поскольку ускорение aBA можно разложить на нормальное и касательное ускорения, получаем

Ускорение aBAn направлено из точки В в точку А (рис. 3.8),

а ускорение aBA перпендикулярно отрезку АВ. Эти ускорения определяются по формулам

Итак, ускорение любой точки тела, совершающего плоское движение, можно представить в виде векторной суммы вектора ускорения полюса и вектора ускорение этой же точки относительно полюса, которое в

свою очередь можно представить в виде суммы векторов нормального и касательного ускорений точки относительно полюса.

24

Глава 4. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ.

ДВИЖЕНИЕ СВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

4.1. Движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку

Пусть твердое тело закреплено так, что одна его точка О остается во все время движения неподвижной относительно неподвижной системы отсчета Ox1 y1z1 . Такое движение совершает, например, волчок, у которого неподвижна только его опорная точка о плоскость, или любое другое тело, закрепленное в точке О шаровым шар-

ниром.

Для определения положения тела Рис. 4.1 в пространстве с телом жестко связывают систему координат Oxyz, по положе-

нию которой можно судить о положении тела (рис. 4.1). Линия ОК, вдоль которой пересекаются плоскости Oxy и Ox1 y1, называется линией узлов.

Положение осей системы Oxyz относительно осей систе-

мы Ox1 y1z1 , как и положение тела, можно определить углами:

KOx, x1OK , z1Oz.

Эти углы называемые углами Эйлера, имеют следующие названия, взятые из небесной механики: φ - угол собственного вращения, ψ - угол прецессии, θ - угол нутации. Положительные направления отсчета этих углов показаны на рис. 4.1 стрелками. При изменении угла φ тело совершает поворот вокруг оси Oz (собственное вращение), при изменении угла ψ – происходит поворот тела вокруг оси Oz1 (прецессия) и при изменении угла θ – тело поворачивается вокруг линии узлов ОК (нутация).

Чтобы знать движение тела, надо знать его положение

25

правление и в пространстве и относительно самого тела все время меняет-

ся. Переместившись поворотом вокруг Рис. 4.3 оси ОР в соседнее положение, тело из этого положения в соседнее положение перемещается поворо-

том вокруг новой мгновенной оси вращения OP1 и т. д. Таким образом, движение твердого тела вокруг неподвижной точки сводится к серии последовательных элементарных поворотов вокруг мгновенных осей вращения, проходящих через эту неподвижную точку (рис. 4.2).

Следует помнить, что конечный угол поворота тела не является вектором. Вектором может быть только бесконечно малый угол поворота тела.

Поворот вокруг мгновенной оси OP можно представит в

26

виде суммы элементарных поворотов на углы d , d , a вокруг соответствующих осей (рис.(4.3).

Рассмотрим кинематические характеристики этого движения.

1)Угловая скорость , с которой тело совершает элементарный поворот вокруг мгновенной оси вращения, называется угловой скоростью тела в данный момент времени или мгновенной угловой скоростью тела. Мгновенную угловую скорость можно изобразить соответствующим вектором , направленным вдоль оси ОР. Поскольку направление оси ОР непрерывно изменяется, модуль и направление вектора также изменяться и его конец А описывает в пространстве некоторую кривую AD, являющуюся годографом вектора

(рис. 4.2).

2)Угловое ускорение тела в данный момент времени или мгновенное угловое ускорение определяет в данном случае

изменение вектора угловой скорости и является вектором

d

. dt

Угловое ускорение можно определять как скорость, с которой конец вектора перемешается вдоль кривой AD (см. рис. 4.2). В частности, направление совпадает с направлением касательной к кривой АD в соответствующей точке. Следовательно, при вращении тела относительно неподвижной точки, в отличие от случая вращения тела вокруг неподвижной оси, направления векторов и различны.

Векторы и являются основными кинематическими характеристиками движения тела вокруг неподвижной точки. Интегрирование этих векторов дает законы изменения угловой скорости и угла поворота тела относительно мгновенной оси.

4.2. Скорости и ускорения точек тела Так как при движении вокруг неподвижной точки тело

имеет в каждый момент времени мгновенную ось вращения ОР, модуль скорости некоторой его точки М (рис. 4.4) будет в

27

где - угловая скорость тела, h - расстояние от точки М до мгновенной оси вращения.

Вектор скорости v направлен перпендикулярно плоскости МОР, проходящей через мгновенную ось ОР и точку М, в сторону вращения тела.

Формулой (4.2) не всегда удобно

где r - вектор - радиус, проходящий из неподвижной точки О в точку М

Вектор v определяется по его проекциям на оси координат, например на оси Oxyz , жестко связанные с телом и движущиеся вместе с ним (см. рис. 4.4). Эти оси имеют то преимущество, что в них координаты х, у, z точки М будут постоянными величинами, не зависящими от времени. Учитывая,

Отсюда следуют выражения для проекций вектора скорости точки М на оси подвижной системы координат Oxyz :

28

Вектор a1 направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через точку M и вектор . Его мо-

нечно, и при вращении тела вокруг неподвижной оси, когда оба вектора и будут направлены вдоль оси вращения.

4.3. Производные от ортов подвижных осей

При решении задач механики в ряде случаев, в частности при изучении сложного движения (см. гл. 5), пользуются подвижны-

Рис. 4.6 ми осями Oxyz . Когда такие оси движутся

29