3.2.2. Метод дихотомии

Если проведено только одно испытание (N = 1), то неопределен­ность относительно расположения точки локального минимума х* на отрезке [0,1] не снимается. Это связано с тем, что информация о значении минимизируемой функции Q(x), полученная при проведении одного испытания, оказывается недостаточной для использо­вания свойства унимодальности при сокращении априорного интер­вала неопределенности. Таким образом, длина апостериорного ин­тервала неопределенности при N = 0 (не сделано ни одного испыта­ния и N = 1 остается постоянной и равной единице: l₀ = l₁ = 1. Чтобы уменьшить исходный интервал [0,1], требуется провести не менее двух испытаний (N=2). Рассмотрим этот случай более подробно.

Согласно принципу гарантированного результата (3.16) при про­ведении двух испытаний (N = 2) точки испытаний х₁, х₂, [0,1] та­кие, что x₁ < х₂, следует выбирать таким образом, чтобы наиболь­шая длина апостериорного интервала неопределенности [а₂, b₂] бы­ла как можно меньше:

(3.17)

при условии, что

. (3.18)

Л инии постоянного уровня функции f (x₁, x₂) = max{х₂,1-x₁} приведены на рис. 3.2, из которого видно, что минимальное значе­ние функции f (x₁, x₂), равное 0,5 в области допустимых значений D_f= { (x₁, x₂) | x₁ ≥ 0, х₂ ≤ 1, x₁ = х₂ }, достигается при x₁ = х₂ = 1/2.

Рис. 3.2. Линии постоянного уровня двумерной

функции f(x₁, x₂) = min {x₂, 1 – x₁}

Однако в силу ограничения (3.18) использовать эту точку испыта­ний не представляется возможным. Поэтому оптимальным решени­ем задачи (3.17) — (3.18) является пара таких точек испытаний, ко­торые расположены симметрично относительно середины априорно­го интервала неопределенности [0,1] и разнесены между собой на величину (рис. 3.3):

(3.19)

Здесь — минимально допустимый сдвиг ( > 0) между точками испытаний х₁ и х₂, при котором можно точно определить знак раз­ности (Q(х₁) - Q(х₂)), т.е. параметр имеет такое значение, что, если |x₁ – х₂| ≥ , то Q(х₁) = Q(х₂)только в том случае, когда x₁ и х₂ находятся по разные стороны от точки локального минимума х* (рис. 3.3, в).

Проведение пары испытаний в точках х₁ и х₂, определяемых из выражений (3.19), в силу унимодальности минимизируемой функ­ции Q(x) позволяет получить апостериорный интервал неопреде­ленности [а₂, b₂], в котором заключена точка локального минимума х* и длина которого меньше исходного интервала [0,1]. При этом возможна одна из следующих ситуаций:

а) если Q(х₁) < Q(х₂) (рис. 5.3, а), то отрезком локализации точки х* является подынтервал [а₂, b₂] = [0, х₂ ], а отрезок [х₂, 1] может быть исключен из дальнейшего рассмотрения;

б) если Q(х₁) > Q(х₂) (рис. 5.3, б), то отрезком локализации точ­ки х* является подынтервал [а₂, b₂] = [х₁, 1], а отрезок [0, x₁] мо­жет быть исключен из дальнейшего рассмотрения;

в) если Q(х₁) = Q(х₂) (рис. 5.3, в), то отрезком локализации точ­ки х является подынтервал [а₂, b₂] = [х₁, х₂], а отрезки [0, х₁] и [х₂, 1] могут быть исключены из дальнейшего рассмотрения. Вклю­чим эту ситуацию, как частный случай, в первую ситуацию при вы­полнении условия Q(х₁) ≤ Q(х₂).

Проведение двух испытаний на отрезке [0,1] позволяет получить гарантированную точность:

(3.20)

Рис. 3.3. Уменьшение априорного интервала

неопределённости [a_k, b_k] путём проведения двух

испытаний в точках

Алгоритм , реализующий процедуру выбора точек испы­таний х₁ и х₂ по формулам (3.19), называется методом дихотомии (методом деления отрезка пополам). Согласно этому алгоритму первая пара экспериментов проводится в точках x₁ = (1 – ) / 2 и х₂ = (1 + ) / 2, расположенных симметрично относительно середины априорного интервала неопределенности [0,1]. Из свойства унимо­дальности минимизируемой функции Q(x) после отбрасывания под­ынтервала, где точка локального минимума х отсутствует, для дальнейшего рассмотрения остается один из текущих интервалов неопределенности [0, (1 + / 2] или [(1 – ) / 2] (рис. 3.4, а), длина которого определяется выражением (3.20). Следующая пара испы­таний, разнесенная между собой на величину минимально допусти­мого сдвига , проводится симметрично относительно середины те­кущего интервала неопределенности, полученного на предыдущем шаге (рис. 3.4, б). По значениям функции Q(x), полученным в этих точках, часть исследуемого интервала неопределенности в силу унимодальности минимизируемой функции исключается из даль­нейшего рассмотрения. В полученном текущем интервале неопре­деленности симметрично относительно его середины проводится но­вая пара испытаний, разнесенная на величину (рис. 3.4, в) и т.д. После проведения [N / 2] пар испытаний, учитывая выражение (3.20), для гарантированной точности метода дихотомии F₁ получа­ем следующее выражение:

(3.21)

где [N/2] — наибольшее целое число, меньшее или равное N/2.

Недостатком метода дихотомии F₁ является то, что на каждом k-м шаге поиска приходится проводить два новых испытания в точках и . Причем информация о значениях функции в этих точ­ках и на (k + 1)-м шаге полностью игнорируется и не используется для определения последующих точек испытаний.

Рис. 3 4. Метод дихотомии

В таблице 3.2 приведены результаты решения задачи оптимизации:

методом дихтомии F₁ для N = 5 и = 0,02.

Таблица 3.2

0	–	–	–	–	0	1	0,5
1	0,49	0,51	-0,0098	0,0102	0	0,51	0,255
2	0,245	0,265	-0,12495	-0,12455	0	0,265	0,1325

Апостериорный интервал неопределенности после проведения пяти испытаний имеет длину: l₅ (F₁) = b₅ – а₅ = 0,265, что совпадает с гарантированной точностью метода дихотомии, вычисляемой по формуле (5.12) при [N/2] = 2.