1.5. Классификация задач оптимального проектирования

В зависимости от вида оптимизационной модели задачи оптимизации и методы их решения делятся на классы.

1. В зависимости от числа управляемых параметров различают задачи одномерной и многомерной оптимизации. В задачах одномерной оптимизации имеется один варьируемый параметр, а в задачах многомерной оптимизации – несколько параметров.

2. По характеру искомого оптимума различают задачи локальной и глобальной оптимизации (унимодальные и многоэкстремальные задачи).

3. В зависимости от наличия ограничений выделяют задачи безусловной и условной оптимизации. В задачах безусловной оптимизации ограничения отсутствуют, и варьируемые параметры могут изменяться в любых пределах.

4. В зависимости от количества критериев оптимальности различают задачи однокритериальной (скалярной) и многокритериальной (векторной) оптимизации. В задачах многокритериальной оптимизации имеется несколько критериев оптимальности.

5. По виду целевой функции и ограничений различают задачи линейной и нелинейной оптимизации. В задачах линейной оптимизации целевая функция и все функции-ограничения линейны. Если хотя бы одна из функций является нелинейной, задача относится к классу задач нелинейной оптимизации.

6. По характеру изменения варьируемых параметров различают задачи непрерывной и дискретной оптимизации. В задачах непрерывной оптимизации параметры изменяются непрерывно в пределах, установленных функциональными ограничениями. В задачах дискретной оптимизации варьируемые параметры принимают дискретные значения.

Частными случаями задач дискретной оптимизации являются задачи целочисленной и булевой оптимизации. В задачах целочисленной оптимизации варьируемые параметры могут принимать только целочисленные значения. В задачах булевой оптимизации . Если D – дискретное конечное множество, то такая дискретная задача называется комбинаторной. Если при оптимизации часть параметров дискретна, а часть имеет непрерывный характер, то рассматривается задача частично дискретной (непрерывно-дискретной) оптимизации.

Одна и та же оптимизационная задача может относиться к нескольким типам (например, являться однокритериальной, линейной и непрерывной). Для различных типов оптимизационных задач разработаны соответствующие методы их решения, классификация которых является аналогичной.

2. МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ ОПТИМАЛЬНОГО

ПРОЕКТИРОВАНИЯ

2.1. Математическое описание объектов оптимального

проектирования с использованием модели

чувствительности

На практике входные (внутренние) параметры сложных систем являются случайными и в общем случае описываются совместной плотностью распределения . В результате преобразования

, (2.1)

имеем случайную выходную величину сложной системы с плотностью распределения . Анализ стабильности функционирования систем, основанный на аналитическом переходе от с использованием преобразования , распространения не получил. Основными методами анализа являются вероятностный метод, основанный на разложении в ряды, метод наихудшего случая и метод статистических испытаний.

Вероятностный метод. Исходной информацией для анализа являются математическая модель (2.1) и статистические характеристики входных параметров: математическое ожидание , дисперсия , коэффициенты парной корреляции . Необходимо математически описать статистические свойства выходного параметра .

Из центральной предельной теоремы следует, что если некоторый параметр зависит от достаточно большого числа случайных величин, подчиненных любым законам распределения, то он приближенно подчиняется нормальному закону распределения. Это выполняется тем точнее, чем больше случайных величин. При наличии 5-10 случайных величин с достаточной для практики точностью закон распределения выходного параметра может считаться нормальным.

Для описания случайных величин, подчиняющихся нормальному закону распределения, достаточно определить математическое ожидание и дисперсию

Разложим функцию (2.1) в ряд Тейлора в окрестности средних значений входных параметров где Получим следующее выражение:

( 2.2)

Реальный уровень отклонений входных параметров от средних значений позволяет ограничиться членами разложения второго порядка Коэффициенты разложения в ряд Тейлора при анализе погрешностей принято называть коэффициентами чувствительности и обозначать:

в модель

Будем считать, что отклонения в (2.2) являются случайными величинами из-за стохастического характера изменений параметров т.е.

(2.3)

Используя свойства математического ожидания случайных величин, на основании зависимости (2.2) и характеристик (2.4) определяем:

(2.4)

Первый член в (2.4) представляет собой выходной параметр при средних значениях входных параметров, второй является поправкой, обусловленной корреляцией входных параметров, третий – поправкой, обусловленной нелинейностью функции (2.1).

Используя свойства дисперсии случайных величин и учитывая только линейные члены разложения, определяем:

(2.5)

Числовые характеристики (2.4) и (2.5) являются количественными оценками стабильности. На их основе рассчитывается показатель того, что выходной параметр укладывается в заданные пределы с заданной вероятностью.

= (2.6)

где нормированная функция Лапласа.

Для упрощенного расчета используется оценка по методу наихудшего случая. Расчет производится для абсолютных или относительных отклонений входных и выходных параметров сложной системы с использованием линейной аппроксимации зависимости (2.1):

-для абсолютных отклонений:

(2.7)

- для относительных отклонений:

(2.8)

Если считать, что:

то наихудшие отклонения выходных параметров с учетом отклонений входных параметров вычисляются по формулам:

(2.9)

(2.10)

Аналогичный расчет можно провести для относительных отклонений.

В случае симметричных отклонений входных параметров

предельное отклонение выходного параметра:

(2.11)

Метод статистических испытаний основан на возможности компьютерного генерирования псевдослучайных последовательностей значений в частоте появления которых отражается плотность распределения случайной величины Основой генерирования является последовательность случайных чисел с равномерным законом распределения на интервале (0,1). Для преобразования этой последовательности в последовательность случайных чисел с функцией распределения необходимо из первой совокупности выбрать случайное число и решить уравнение

(2.12)

относительно Решение (2.12) и представляет собой случайное число из совокупности случайных чисел, имеющих функцию распределения В случае независимых случайных величин такие преобразования получены для большинства встречающихся на практике законов распределения (табл. 2.1).

Таблица 2.1

Тип распределения	Параметры распределения	Метод получения случайного числа	Алгоритм вычисления случайного числа
Равномерное распределение случайной величины в интервале (0,1)	a=0 b=1	Метод Н.М.Коробова	-
Равномерное распределение на интервале (a,b)	a b	Функциональное преобразование случайной величины	a+(b-a)
Экспоненциальное распределение		То же
Распределение Вейбулла		«
Нормальный закон распределения	M	Метод суммирования
-распределение	n- число степеней свободы	То же	где
Распределение Эрланга		Вписывание плотности распределения в единичный квадрат	-

Случайные числа , распределенные по равномерному закону, преобразуются в соответствующие значения входных параметров плотностями распределения На основании этих значений вычисляется по (1.5.1) значение выходного параметра . Такие вычисления проводятся N раз. В результате получаем выборку из N значений случайной величины , по которой находим оценки математического ожидания, дисперсии и вероятность нахождения выходного параметра в заданных пределах. Методами математической статистики может быть восстановлена плотность распределения случайной величины