1.3. Математическое описание объектов проектирования

При решении задач автоматизированного проектирования техни­ческих устройств и технологических процессов разработчику при­ходится иметь дело с построением двух типов моделей проектируе­мого объекта:

- структурной, отражающей состав элементов объекта и их связи между собой;

- математической, описывающей с помощью математических по­нятий (чисел, матриц, множеств, отображений и т.д.) и отношений между ними количественные свойства объекта, существенные с точ­ки зрения решаемой задачи проектирования. В дальнейшем будем считать, что структурная модель проектируемого объекта задана.

Несмотря на всю сложность и разнообразие объектов проектиро­вания, процесс построения их математических моделей содержит следующие общие этапы:

- формализация задачи проектирования;

- анализ и выделение существенных свойств объекта,

- построение математического описания объекта, отражающего взаимосвязь значений существенных свойств друг с другом.

Исходной информацией при этом являются данные о назначе­нии, условиях применения и режимах функционирования проекти­руемого объекта задаваемые с помощью технического задания. Эти данные позволяют определить основную цель (задачу) проектиро­вания и формализовать технические требования, предъявляемые к объекту проектирования.

Предположим, что конкретный объект может быть охарактеризо­ван конечной совокупностью каких-то свойств, которые соответст­вуют целям проектирования и могут быть объективно измерены (или вычислены). При выделении существенных свойств необходи­мо пренебрегать теми свойствами, которые не влияют на решение поставленной задачи проектирования. Количественная оценка су­щественных свойств объекта, режимов его работы или внешней сре­ды, в которой он должен функционировать, осуществляется с по­мощью величин, называемых параметрами. При построении мате­матического описания объекта проектирования выделяют следую­щие типы параметров.

Внешние параметры — величины, характеризующие свойства внешней по отношению к объекту среды и оказывающие влияние на его функционирование. Обычно они считаются постоян­ными величинами (температура окружающей среды, внешнее дав­ление, напряжения источников питания т.д.). В том случае, когда внешние параметры не являются постоянными величинами, они на­зываются внешними переменными, например, приложенные к объ­екту извне силовые или кинематические воздействия, изменяющие­ся с течением времени. Обозначим внешние параметры вектором:

Внутренние параметры (проектные парамет­ры) — величины, характеризующие свойства отдельных элементов проектируемого объекта, определение значений которых является одной из целей проектирования. Обозначим их вектором:

Геометрической интерпретацией пространства внутренних пара­метров является n-мерное векторное пространство, в котором для каждого из п внутренних параметров х_i, выделена координатная ось.

В свою очередь, внутренние параметры подразделяются на элект­рофизические, топологические, электрические и режимные (кон­центрация примесей в подложке, коэффициент теплопроводности, модуль упругости, твердость, геометрические размеры, электриче­ское сопротивление резистора, емкость конденсатора, параметры транзисторов и т.д.).

Совокупность внешних и внутренних параметров называется входными параметрами.

Величины, характеризующие свойства объекта проектирования в целом, как системы, и определяющие степень выполнения объектом своего функционального назначения, называют выходными пара­метрами. Обозначим их вектором:

Выходные параметры можно только измерять (наблюдать или контролировать), но непосредственно изменять нельзя (мощность рассеяния, коэффициент усиления, расход топлива, КПД двигателя и т.д.).

Внутренние и выходные параметры определяют свойства проектируемого устройства (процесса) как объекта проектирования, а внешние параметры характеризуют внешнюю среду, в которой функционирует рассматриваемый объект.

Входные параметры играют роль независимых переменных, а выходные параметры являются зависимыми от них величинами. Соотношения, выражающие эти зависимости, будем называть математическим описанием объекта проектирования:

или в векторной форме

(1.1)

Вид функциональных зависимостей (1.1) определяется структурной моделью объекта проектирования. В общем случае выражение (1.1) представляет собой отображение между двумя множествами параметров: , которое может быть получение с помощью одной из следующих математических моделей объекта проектирования:

- функциональной модели, представляющей собой систему уравнений, которая отображает физические или информационные процессы в объекте проектирования;

- аналитической модели, представляющей собой совокупность аналитических выражение и зависимостей входных и выходных параметров;

- алгоритмической модели, представляющей собой алгоритм вычисления выходных параметров по значению входных параметров;

- имитационной модели, частном случаю алгоритмической модели, отражающей поведение проектируемого объекта при заданных меняющихся во времени внешних параметрах.

В дальнейшем нас не будет интересовать вид математической модели, реализующей математической описание объекта проектирования (1.1). В связи с чем, будем рассматривать выражения (1.1) как «черный ящик», по численным значениям внешних параметров и внутренних параметров на входе которого получаются численные значения выходных параметров .

Выражения (1.1), которые устанавливают однозначное соответствие между входными и выходными параметрами, являются детерминированным математическим описанием объекта проектирования.

Однако на практике параметры могут иметь стохастический характер из-за нестабильности внешних параметров, для которых в техническом задании указываются допустимые диапазоны изменения или законы распределения, и случайных величин внутренних параметров вследствие производственных погрешностей изготовления и изменения свойств исходных материалов. Поэтому в наиболее общей постановке внутренние параметры должны задаваться как случайные величины, выбираемые согласно заданному закону распределения вероятностей из гиперпараллелепипеда:

(1.2)

где - номинальное значение внутреннего параметра , под которым понимают его математическое ожидание;

- допуск на значение внутреннего параметра под которым понимают половину интервала со значением в центре.

Обозначим вектором

совокупность неконтролируемых параметров, которые являясь случайными величинами, влияют на значения выходных параметров. Тогда математическое описание объекта проектирования примет следующий вид:

(1.3)

Выражения (1.3), в которых выходные параметры являются случайными величинами, разброс которых при постоянных значениях входных параметров определяется распределением вероятностей неконтролируемых факторов , образуют стохастическое математическое описание объекта проектирования.

Процедуру построения математического описания объекта проектирования можно охарактеризовать следующей последовательностью действий.

1. Выделение существенных свойств проектируемого объекта, ко­торые подлежат отображению в математическом описании объекта, и разделение их на внешние, внутренние, выходные и неконтроли­руемые параметры.

2. Выбор математической формы записи (метатеории) для выра­жения функциональных зависимостей выходных параметров от входных и неконтролируемых параметров.

3. Построение математического описания (1.1) или (1.3) в терми­нах выбранной метатеории в виде математической модели (функ­циональной, аналитической, алгоритмической или имитационной).

4. Программная реализация математической модели в виде "чер­ного ящика", позволяющего по заданным значениям входных пара­метров получать либо численные значения выходных параметров (для детерминированного математического описания - 1.1), либо оценки рассеяния выходных параметров (для стохастического мате­матического описания - 2.3).

5. Проведение математического моделирования, позволяющего проверить сделанные на предыдущих этапах предположения и до­пущения на основании исследования свойств физического объекта с помощью построенного математического описания.

6. Оценка точности и сложности математического описания с целью обеспечения компромисса между ожидаемой точностью ре­зультатов математического моделирования и затратами вычисли­тельных ресурсов (машинного времени и памяти).

Для каждого объекта проектирования можно построить несколь­ко математических описаний, которые в зависимости от цели (зада­чи) проектирования отражают те или иные его существенные свой­ства. Однако общее требование к любому математическому описа­нию состоит в том, что оно должно быть адекватно реальному физи­ческому объекту, т.е. математическое описание должно с заданной точностью отражать существенные свойства, присущие объекту проектирования. Здесь под точностью математического описания понимают степень совпадения значений выходных параметров реального объекта и значений тех же параметров , рассчитанных с помощью выражений (1.1):

, (1.4)

где

Точность математического описания полностью определяет достоверность тех результатов, которые будут получены в процессе автоматизированного проектирования.

Наличие математического описания в виде выражений (1.1) или (1.3) позволяет реализовать при автоматизированном проектирова­нии следующие типовые проектные процедуры анализа, имеющие целью получение информации о свойствах заданного объекта про­ектирования:

- одновариантный анализ, позволяющий по заданным значениям входных параметров при однократном обращении к выражениям (1.1) определять значения выходных параметров ;

- многовариантный анализ, позволяющий исследовать свойства объекта проектирования путем многократного выполнения одновариантного анализа при варьировании внутренних и (или) внешних параметров;

- статистический анализ, позволяющий с помощью вы­ражений (1.3) и статистических сведений о неконтролируемых па­раметрах получать гистограммы распределений выходных пара­метров и числовые оценки этих распределений (математические ожидания, дисперсии и т.д.) при заданных значениях входных па­раметров