1.2. Методы структурной и параметрической оптимизации в сапр

Методы структурной оптимизации в качестве основного призна­ка этого класса задач учитывают комбинаторный характер форми­рования проектных вариантов.

Одним из подходов является полный перебор. Он предпо­лагает предварительный синтез вариантов, которые можно пол­учить путем формирования всех возможных комбинаций элементов ОП. Для формализации комбинаторного порождения вариантов об­ращаются к идее морфологического ящика (таблице фрагментов, которые могут входить в состав проектируемой системы, позволяю­щей формировать их допустимые комбинации) или к подобным ме­тодам. Затем для каждой реализации системы рассчитываются зна­чения показателей и осуществляется выбор оптимального варианта. Положительной стороной полного перебора является просмотр всех разрешенных комбинаций, что обеспечивает высокую надежность принятия оптимального решения.

Указанный подход имеет недостатки, которые накладывают огра­ничение на его применение. Во-первых, отсутствие математических моделей, учитывающих системные связи ОП, требует формализа­ции разрешенных комбинаций для каждой частной задачи, что су­щественно увеличивает затраты на предварительную подготовку автоматизированного решения. Во-вторых, полное число вариантов ОП оказывается достаточно большим, и машинное время, необхо­димое для их генерирования, становится неприемлемо велико. В-третьих, в случае множественности технико-экономических тре­бований поиск оптимальной системы приводит к дополнительным затратам на повторный перебор и анализ в области компромиссов.

Подходом, направленным на ограничение числа предварительно синтезируемых вариантов, является сокращенный перебор на осно­ве случайного поиска. Однако из-за отсутствия математических мо­делей структурной оптимизации ОП невозможно построить целе­направленные поисковые процедуры, прогнозирующие положение системы в пространстве показателей, что снижает надежность не­полного перебора. Кроме того, не удается обосновать условие оста­нова процесса случайного поиска.

Формализованный подход к учету комбинаторного характера структурного синтеза достигается на основе методов дискретной оп­тимизации, так как варьируемые компоненты структуры заданы на дискретном множестве (рис. 1.1). Их решение основано на мето­дах дискретного (целочисленного, булевого) и динамического про­граммирования.

Применение методов дискретного программирования связано с вычислительной сложностью переборных задач, к которым сводятся задачи структурной оптимизации. Переборные задачи — разделя­ются на классы (индивидуальная задача из некоторого класса имеет конечное число вариантов решения и может быть решена (во вся­ком случае, теоретически) с помощью полного перебора). По край­ней мере один из параметров переборной задачи (например, ее раз­мерность) неограничен. Таким образом, число индивидуальных за­дач в классе бесконечно. Индивидуальные задачи различаются ис­ходными данными, значениями численных параметров условий за­дачи.

Такие известные задачи структурной оптимизации, как задача коммивояжера, задачи о покрытии, о раскраске, о максимальном разрезе, трехиндексная задача о назначении и другие являются за­дачами переборного типа. Их называют универсальными (NP - пол­ными). Получение точного решения этих задач неэффективно, по­скольку трудоемкость поиска экспоненциально зависит от их раз­мерности. В связи с этим широко используются методы приближен­ного решения целочисленных задач, которые можно разделить на два класса: приближенные методы, порожденные известными точ­ными методами, и методы, с самого начала ориентирующиеся на приближенное решение задачи.

Методы второго класса в свою очередь, подразделяются на следу­ющие группы: детерминированные методы; методы, использующие случайный поиск; методы, использующие специфику задачи и эв­ристические приемы; комбинированные методы.

От разработчика САПР требуется понимание разнообразия клас­сов задач и методов решения задач дискретной оптимизации, по­скольку до сих пор не существует приемлемой классификации за­дач целочисленного (даже линейного) программирования, позволя­ющее, например, по специфике исходных условий подобрать подхо­дящий приближенный алгоритм решения задачи.

При параметрической оптимизации наряду с экстремальными требованиями, в форме экстремума некоторого показателя, возни­кающими из содержательной постановки задач совмещения, цент­рирования, назначения допусков, идентификации и т.п., имеется ряд граничных условий, заданных областью работоспособности как в пространстве показателей ОП, так и в пространстве параметров элементов. Поэтому решение перечисленных задач сводится к по­иску экстремальных значений параметров на допустимом множест­ве ограничений. В качестве методов решения используются методы математического программирования (линейного, нелинейного, выпуклого) (рис. 1.1). В случае параметрического синтеза в пространстве выходных показателей возникают экстре­мальные требования ко многим показателям, т.е. приходится решать задачи многокритериальной (векторной) оптимизации. Алгоритмической базой наиболее распространенного класса задач нелинейного программирования служат методы безусловной оптимизации.

Особенностью параметрической оптимизации является необхо­димость учета случайных характеристик элементов, входящих в ОП, т.е. исходной является стохастическая задача. При проектиро­вании, в отличие от управления по текущей информации о парамет­рах объекта статистические характеристики случайных исходных данных известны. Используя совместное распределение случайных параметров, можно вычислить математическое ожидание (среднее значение) показателя, к которому предъявляются экстремальные требования, и вероятность выполнения ограничений, заданных областью работоспособности. Полученная в результате этих преобра­зований задача оптимизации называется детерминированным эк­вивалентом исходной стохастической задачи. Если стохастиче­ская задача, помимо вероятностных ограничений содержит детер­минированные условия, то они переносятся в эквивалентную зада­чу.

Указанный переход является эффективным главным образом в тех случаях, когда детерминированные эквиваленты представляют собой задачи линейного или выпуклого программирования. Имеют­ся достаточные условия выпуклости детерминированных эквива­лентов. Так если условия, заданные областью работоспособности; представляют собой совместное вероятностное ограничение и со­ставляющие вектора ограничений — независимые случайные вели­чины, то пользуются следующим утверждением.

Для того, чтобы совокупность вероятностных ограничений высекала выпуклую область, достаточно, чтобы распределение случайных величин вектора ограничений было любым из следую­щих распределений: равномерное; нормальное; экспоненциальное; гамма-распределение; распределение Вейбулла.

В ряде задач параметрической оптимизации (многоэкстремаль­ных, слабоформализуемых) применяется обратный подход. Искус­ственно (путем генерирования на ЭВМ) вводятся случайные пара­метры, т.е. осуществляется рандомизация исходной задачи. Затем осуществляют ее сглаживание — переход к поиску экстремума ма­тематического ожидания показателя ОП. Для решения сглаженной задачи используются методы стохастической оптимизации (адап­тивные алгоритмы, алгоритмы случайного поиска).