2.2. Математическое описание объектов оптимального проектирования с использованием модели надежности

В ряде случаев изменение свойств системы при ее длительном функционировании приводит к отказам. Различают внезапные и постепенные отказы. Внезапные отказы характеризуются скачкообразным изменением значения одного или нескольких параметров экономической системы. Постепенные отказы характеризуются постепенным изменением значений одного или нескольких параметров экономической системы и связаны с достижением выходным параметром y граничного значения С отказами связано свойство надежности элементов и системы в целом.

Надежность – это свойство сложной системы выполнять заданные функции с заданными характеристиками в определенных условиях для определенного промежутка времени.

Поскольку отказ является случайным событием, то интервал времени от момента начала функционирования системы до первого отказа (наработка до первого отказа) представляет случайную величину . Основной количественной характеристикой безотказности принято считать вероятность безотказной работы на заданном временном интервале т.е. вероятность того что наработка до первого отказа превышает заданную величину t.

Принимая момент начала для функционирования за начало отсчета записываем вероятность безотказной работы в виде

Ф ункция p (t) монотонно убывает от единицы до нуля. График функции p (t)показан на рис. 2.1.

Рис. 2.1. Функции распределения p и q

Вероятность того, что отказ произойдет после начала функционирования через время, не превышающее заданного значения t, т.е. что как вероятность события, противоположного тому, при котором равна:

(2.13)

Функция (рис. 2.1) представляет функцию распределения случайной величины . Если функция дифференцируема, то безотказность можно характеризовать также плотностью вероятности момента первого отказа (рис. 2.2), которая равна:

(2.14)

Рис. 2.2. Плотность вероятности

Из числовых характеристик случайной величины чаще всего используют математическое ожидание которое обозначают символом и называют средней наработкой до отказа (или средним временем безотказной работы):

(2.15)

Для оценки надежности кроме перечисленных количественных показателей распространена функция:

(2.16)

которую называют интенсивностью отказов. Вероятность безотказной работы и интенсивность отказов связаны взаимно-однозначным соответствием:

(2.17)

Влияние отказа элементов на системы определяется двумя основными соединениями элементов с точки зрения надежности: последовательным и параллельным. Соединение элементов называют последовательным, если отказ хотя бы одного элемента приводит к отказу системы в целом. Вероятность безотказной работы последовательно соединенных элементов рассчитывается следующим образом:

(2.18)

где вероятность безотказной работы го элемента,

Соединение элементов называют параллельным, если отказ системы происходит тогда и только тогда, когда откажут все элементы. Вероятность безотказной работы:

(2.19)

где вероятность безотказной работы го элемента, Параллельные элементы в системе являются избыточными. Однако система, обладающая избыточностью по отношению к системе с минимальной структурой, необходимой для выполнения заданных функций, будет и более надежной. Метод повышения надежности экономической системы введением избыточных элементов называют резервированием.

Вероятность безотказной работы с учетом внезапных и постепенных отказов:

p (2.20)

где вероятность безотказной работы по внезапным отказам; вероятность безотказной работы по внезапным отказам за счет накапливающихся необратимых изменений; время до наступления внезапного отказа, связанного с необратимыми изменениями; вероятность безотказной работы по постепенным отказам за счет достижения параметром y граничного значения время достижения параметром y граничного значения

Для расчета надежности по внезапным отказам используется экспоненциальное распределение вероятности безотказной работы (экспоненциальная модель отказов). Определение количественных характеристик надежности по отказам, связанным с постепенными и необратимыми изменениями, осуществляется на основе квазидетерминированной модели необратимых изменений параметров сложной системы.

Рассмотрим расчет надежности с использованием экспоненциальной модели отказов. Экспоненциальное распределение вероятности безотказной работы Экспоненциальный закон определяется одним параметром , представляющим постоянную интенсивность отказов. Верно и обратное утверждение: если интенсивность отказов постоянна, то вероятность безотказной работы как функция времени подчиняется экспоненциальному закону.

Среднее время безотказной работы в этом случае:

(2.21)

т.е. равно величине, обратной интенсивности отказов.

Для экспоненциальной модели может быть определена интенсивность отказов последовательно соединенных элементов

(2.22)

где интенсивность отказов j-го элемента.

Рассчитаем надежность с использованием квазидетерминированной модели необратимых изменений параметров сложной системы. Учитывая, что на линейный коэффициент изменения выходного параметра оказывает влияние большое число случайных факторов, примем для гауссовское распределение с параметрами

(2.23)

Для удобства расчетов введем следующие параметры:

- коэффициент необратимых изменений параметра y:

(2.24)

где

(2.25)

нормированное время достижения граничного значения выходного параметра при начальном уровне

(2.26)

где случайные значения времени достижения

Плотность распределения случайной величины имеет вид:

(2.27)

Интенсивность постепенных отказов:

(2.28)

а вероятность безотказной работы по постепенным отказам:

(2.29)

Для внезапных отказов функцию распределения удобно нормировать относительно Тогда:

(2.30)

где

Интенсивность внезапных отказов, обусловленная накоплением необратимых изменений параметров:

(2.31)

а вероятность безотказной работы:

(2.32)