Типы дюраций

На сегодняшний день существует четыре типа дюрации [6, 11, 23]:

• Маколея,

• модифицированная,

• эффективная,

• на основе ключевых процентных ставок.

Текущая рыночная цена P₀ облигации, имеющей m купонных выплат в год, определяется по формуле

, (10)

где С – годовые процентные выплаты, определяющиеся номинальным процентным доходом (купонной ставкой); i – требуемая норма доходности; m – частота выплат процентов в году; i/m – величина доходности к погашению; C_t/m – купонные выплаты; M_mn – номинал облигации; n – число лет до погашения облигации.

1. Дюрация Маколея

Дюрация Маколея – средневзвешенный срок до погашения потоков наличности от облигации, в котором в качестве весов выступают текущие стоимости потоков наличности, деленные на цену [9, 20].

Дюрация любой облигации высчитывается по формуле

, (11)

где CF_t – денежный поток в момент времени t; P₀ - рыночная цена облигации;

t – период времени, в течение которого поступает денежный поток, t=1, 2, .., n лет; денежный поток в момент t составляют купонные выплаты C_t и номинал M_n; n – количество лет, в течение которых поступают купонные выплаты; i – годовая доходность к погашению. Иначе:

. (12)

Если начисление купонных выплат производится раз в полгода, то в этом случае величина длительности удваивается. Длительность бескупонных облигаций оценивается следующим образом. Так как для этих облигаций все величины С_t=0, то

. (13)

Следовательно, длительность бескупонных облигаций всегда равняется сроку погашения этой облигации – n лет.

Дюрация Маколея высчитывается путем сложения результатов, полученных при умножении текущей цены каждого денежного потока на время его получения, деленных на стоимость ценной бумаги. Дюрация Маколея равна

, (14)

где n – количество денежных потоков; t – время до погашения; C – денежный поток; i – требуемая доходность; M – номинальная стоимость облигации; P – цена облигации.

2. Модифицированная дюрация

Модифицированная дюрация является модифицированной версией модели Маколея, которая учитывает изменение процентной ставки. Поскольку процентная ставка влияет на доходность, то ее колебание повлияет и на дюрацию.

Модифицированная дюрация показывает, как она меняется при изменении доходности на 1 % [17, 18, 20]. Для облигаций без особенностей встроенного опциона⁴ цена облигации и процентная ставка движутся в обратном направлении, то есть существует обратная связь между модифицированной дюрацией и изменением доходности на 1 %.

Модифицированная дюрация показывает, как изменяется дюрация облигации по отношению к движениям процентной ставки. Формула (13) может применяться для расчета волатильности какой-то конкретной облигации. Модифицированная дюрация рассчитывается по формуле

, (15)

где YTM – доходность к погашению; m – количество купонных выплат в год.

Формула показывает, как будет меняться дюрация, если процентная ставка поднимется на 100 базисных пунктов. Модифицированная дюрация всегда будет ниже, чем дюрация Маколея.

3. Эффективная дюрация

Формула модифицированной дюрации предполагает, что ожидаемые денежные потоки будут оставаться постоянными, даже если преобладающие процентные ставки изменятся.

С другой стороны, денежные потоки от ценных бумаг со встроенными опционами или с особенностями выкупа долговых обязательств будут меняться при изменении процентной ставки.

Для того чтобы высчитать дюрацию этих двух типов облигаций, самым уместным будет воспользоваться эффективной дюрацией. Эффективная дюрация требует использования биноминального дерева процентных ставок, чтобы высчитать спрэд с учетом опциона. Существует множество программ, доступных для инвесторов, желающих рассчитывать эффективную дюрацию.

4. Дюрация на основе ключевых процентных ставок

Дюрация на основе ключевых процентных ставок, при постоянном удерживании доходности для всех остальных погашений, позволяет рассчитывать дюрации портфеля при изменении на один базисный пункт процентных ставок. Дюрация на основе ключевых процентных ставок равна:

, (16)

где С₊₁ – цена облигации после повышения доходности на 1 %; С_-1 – цена облигации после падения доходности на 1 %; P₀ – первоначальная цена облигации.

Чаще всего метод ключевого процента используется для таких портфелей, как «ступенчатая облигация», которая состоит из ценных бумаг с фиксированным доходом и с разными сроками погашения. Таким образом:

• если необходимый уровень дохода превышает установленную по облигации купонную ставку, то стоимость облигации будет ниже ее номинальной стоимости;

• если необходимый уровень дохода уступает установленной по облигации купонной ставке, то текущая стоимость облигации будет выше ее номинальной стоимости;

• если требуемый уровень дохода равен установленной по облигации процентной ставке, то текущая стоимость облигации будет равна ее номинальной стоимости.

Пример 1 

Необходимо определить текущую стоимость облигации с оставшимся сроком до погашения 6 лет, номинальной стоимостью 100000 д.е., приносящей 6%-й купонный доход при требуемом уровне доходности 10 %.

Текущая стоимость основного долга (100000 д.е.), выплачиваемого в конце шестого года равна 56400 д.е. (100000 × 0,564).

Текущая стоимость аннуитета – 6000 д.е. (6 % от 100000 д.е.) в течение 6 лет под 10 % равна 26130 д.е. (5000 × 4355);

Текущая стоимость облигации равна 82530 д.е. (56400 + 26130).

Пример 2 

Если вместо 10 %-го требуемого уровня доходности взять 4 %-й, то стоимость облигации будет следующая.

Текущая стоимость основного долга равна 79000 д.е. (100000 × 0,790).

Текущая стоимость аннуитета равна 31452 д.е. (6000 × 5242).

Текущая стоимость облигации равна 110452 д.е. (79000 + 31452).

Пример 3 

Оценить текущую стоимость облигации нарицательной стоимостью 200000 д.е., купонной ставкой 15 % годовых и сроком погашения через 5 лет, если рыночная норма дохода 12 %. Процент по облигации выплачивается дважды в год.

При выплате же процентов по облигациям несколько раз в году уравнение (10) примет следующий вид:

, (17)

где m – частота выплат процентов в году.

Денежный поток в данном случае необходимо представить десятью периодами. Поскольку рыночная норма дохода составляет 12 %, то в расчете на полугодовой период она составит 6 %.

Текущая стоимость аннуитета 15000 д.е. (15 % от 200000 д.е.: 2) в течение 10 периодов под 6 % = 15000 × 7360 = 110400 д.е.

Текущая стоимость основного долга, выплачиваемого в конце 10 периода под 6 % = 200000 × 0,558 = 111600 д.е.

Текущая стоимость облигации = 110400 + 111600 = 222000 д.е.

Вопросы

1. Что такое «облигация»?

2. Какие виды облигаций вы знаете?

3. Что такое «дюрация облигаций»?

4. Как определяется дюрация традиционных облигаций?

5. Как рассчитывается дюрация Маколея?