Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

Математика

Файл:

Руководство к проведению практических занятий по курсу «Математика» во втором семестре. Бырдин А.П., Сидоренко А.А

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

2.48 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 163 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

R x Pn x

Qm x

2.7. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей. Интегрирование правильных рациональных дробей

Пусть имеется правильная дробно-рациональная функ-

ция:

(2.2)

(m>n) и знаменатель её разложен на действительные множители:

Qm x am x x1 k x x2 l ... x2 p1x q1 s x2 p2 x q2 p ...

Тогда дробь (2.2) можно представить и притом единственным образом в виде следующей суммы простейших дро-

бей:

Pn x

...

Qm x

x x1

x x 2

x x k

...

x x2

x x

M1x N1

M 2 x N2

...

M S N S

x2 p1x q1

p1x q1

p1x q1 s

P x Q

P Q

...

x2 p2 x q2

p2 x q2 2

x2 p2 x q2

Здесь A1, A2 ,...Ak ; B1, B2 ,...Be ,...M1, N1, M 2 , N2

и т.д.

- некоторые коэффициенты.

Число простейших дробей, соответствующих каждому множителю знаменателя, равно кратности соответствующего корня.

x 2

Пример. Вычислить интеграл dx . (x 2)2 (x 1)

Подынтегральная функция представляет собой рациональную дробь. Разложим ее на сумму простейших дробей:

x 2	A	B	C	.
x 2 2 x 1	x 2 2
		x 2	x 1

Приведем правую часть равенства к общему знаменателю и приравняем числители.

x 2 2

x 2

x 1

A x 1 B x 2 x 1 C x 2 2

x 2 2 x 1

Ax A Bx 2 Bx 2Bx 2B Cx 2 4Cx 4C

x 2 2 x 1

B C x 2 A B 4C x A 2B 4C x 2.

Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые степени и коэффициенты при одинаковых степенях равны. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, имеем

x 2	B C 0		C B		1		1

x1	A B 4C 1		A 3B 1	;9B 1; B		; C		;3A 4;
					9		9
x0	A 2B 4C	2	A 6B 2

A 43 .

Подставим найденные коэффициенты в разложение

x 2	4 1	1 1	1	1	.

x-2 2 x 1	3 x 2 2
		9 x 2	9 x 1

Окончательно получим:

			x 2					dx		4				dx					1				dx		1	dx

	x-2			2	x	1				3			x 2					2	9				x			x
	x-2				x	1				3			x 2						9				x	2 9		x	1
		4 1					1	ln	x 2					1	ln		x 1			c.
		4 1					1							1

		3 x 2
						9								9
						9								9
Пример. Вычислить интеграл																									1				dx .

																					(x 1)(x 1)					(x2 1)
Разложим дробь на простейшие
					1							A						B				Cx D

x 1 x 1 x 2 1											x 1					x 1							x 2 1
	A x 1 x 2 1 B x 1 x 2 1																					Cx D x 2 1						.
										x 2 1 x 2 1																		.
										x 2 1 x 2 1

					Приравняем числители:
					A x3 x2 x 1 B x3 x2 x 1 C x3
											4 A 1 A								1		,
x3			A B C 0																1
x3			A B C 0
																4
x	2		A B												1
x			A B				D 0				B				1	; C 0,
x1			A B C 0
															4
															4
	0		A B				D 1								1
x											D					.
x											D				2	.
		1						1 1			1 1				2		1			1			.
		1						1 1			1 1						1			1

								4 x 1				4 x 1
x 4 1								4 x 1				4 x 1					2 x 2 1
					В результате
		1							1		1					1					1				1
								dx						dx										dx
				x4 1				dx	4				x 1	dx				4				x 1		dx	2
		1				x 1			1	arctgx c.
		1			ln	x 1			1
		4			ln	x 1			2
		4				x 1			2

x D x2 1 1.

1dx

x2 1

2.8. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций

I. Универсальная тригонометрическая подстановка

Пусть надо вычислить интеграл от тригонометрической функции, рациональной относительно sinx и cosx:

R cos x,sin x dx .

Спомощью замены переменной tg 2x t ( универсальная

тригонометрическая подстановка) вычисление данного инте-

грала сводится к вычислению интеграла от дробно – рациональной функции относительно t, при этом функции sinx, cosx и dx выражаются через t и dt:

	2tg	x
					2t
sin x		2			2t		;	cos x
sin x		2 x			1 t 2		;	cos x
1 tg
1 tg		2
		2
x 2arctgt; dx				2dt		.
x 2arctgt; dx						.
			1 t 2

1 tg 2		x
			1 t 2
		2	1 t 2	;
1 tg	2		1 t 2	;
	2	x	1 t 2
		2
		2

Примеры.

2dt

c ln

sin x

1 t 2

t 2

sin x

, dx

2dt

;

t 2

1 t 2

3sin x 2 cos x 2

2dt

1 t 2

					2dt													2dt

			2t					1 t			2				6t 2 2t				2	2 2t			2
1 t 2			2t				2	1 t				2			6t 2 2t					2 2t
		3
		3			2						2
			1 t		2			1 t			2
			1 t					1 t
	2dt					dt			1	ln		3t	2	c		1	ln	3tg		x	2	c.



	6t 4			3t 2					3							3				2
	6t 4			3t 2					3							3				2

Однако пользоваться универсальной тригонометрической подстановкой не всегда целесообразно, так как часто она приводит к громоздким выкладкам. Поэтому в некоторых частных случаях используют другие подстановки.

II. Частные случаи интегрирования тригонометрических выражений.

1) Если интеграл имеет вид R sin x cos xdx , то подста-

новка sinx=t; cosxdx=dt приводит этот интеграл к виду

R t dt.

2) Если интеграл имеет вид R cos x sin xdx , то подста-

новка cosx = t, sin x dx= dt приводит интеграл к интегралу от рациональной функции.

Пример.

sin x cos xdx

cos x t

tdt

2 cos2 t 1

2t 2 1

sin xdx dt

4tdt

2t 2

2 cos2 x 1

c .

2t 2 1

3) Если подынтегральная функция зависит только от tgx,

то замена tgx = t ,

x arctgt, dx

приводит интеграл к

1 t 2

интегралу от рациональной функции.

4) Если интеграл имеет вид R(sin x, cos x)dx , но

sinx и

cos x входят только в четных степенях,

то применяется под-

становка tgx = t,

,так как

cos2

sin2

2 x

t 2

; cos2 x

tg 2 x

1 t 2

tg 2 x

1 t 2

После подстановки получаем интеграл от рациональной

функции.

Пример.

tgx t

sin

x cos

1 t 2

1 t 2 2

1dt

t c

tgx c.

3tg 3 x

tgx

Пример.

tgx t

1 t 2

cos2 x 4

1 4t 2 4

1 t 2

arctg

4t 2 3

arctg

2tgx

sinm

5) Пусть интеграл имеет вид sinm x cosn xdx . Рассмот-

рим два случая.

а) sinm x cosn xdx , где m и n таковы, что по крайней

мере одно из них нечетное неотрицательное число. Допустим для определенности, что n нечетное. Положим n=2р+1 и преобразуем интеграл:

sinm x cos2 p 1 xdx sinm x cos 2 p x cos xdx

sin m x(1 sin2 x) p cos xdx.

Делаем замену переменной sinx = t, cos xdx=dt. Тогда

x cosn xdx = t m 1 t 2 p dt, а это есть интеграл от ра-

циональной функции от t.

Пример.

sin 3 x

sin 2 x sin xdx

cos

1 t 2 dx

3cos 3

cos x

cos x t


	sin xdx dt

31t 3 1t c

б) sinm x cosn xdx , где m и n неотрицательные и

четные.

Для вычисления интеграла используем тригонометрические формулы:

sin2 x 12 (1 cos 2x), cos2 x 12 (1 cos 2x). 26

Пример. sin 4 xdx	1	(1 cos 2x)2 dx
	2
	2

14 (1 2 cos 2x cos 2 2x)dx 14 [x sin 2x 12 (1 cos 4x)dx]

1 ( 3 x sin 2x sin 4x ) c. 4 2 8

2.9. Интегрирование некоторых иррациональных выражений

1. Рассмотрим интеграл


		R x, m x, n x,... dx =

									R

1	m , x	1
x, x	m , x		n ,... dx.

Пусть k – общий знаменатель дробей 1/m, 1/n, ... Сделаем

подстановку x= t k , dx ktk 1dt.

Тогда каждая дробная степень х выразится через целую степень t, и подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от t.

Пример.

x t 6

6t 5 dt

t 3 dt

2 6

t 1

dx 6t

t 3 1 1

dt 6 t

t 1 dt

t 3

t ln

2t 3 3t 2 6t ln t 1 c 2x 33 x 66 x ln 6 x 1 c;

t 6 x.

a ct N


			ax b			ax b
2. Рассмотрим интеграл вида		m	ax b	;	n	ax b
2. Рассмотрим интеграл вида	R x;		cx d	;		cx d	;... dx .
			cx d			cx d

Ничего не изменяется по сравнению с предыдущим случаем, если все подкоренные выражения являются одной и той же дробно – рациональной функцией. В этом случае делаем

замену: ax b t N , где N – наименьшее общее кратное чисел cx d

m, n. Выражаем х: ax b cxt N dt N ; x t N d b t .

Здесь х = φ(t) – рациональная функция от t, поэтому t

– тоже рациональная функция. Значит, и dx t dt является

рациональным выражением. В результате получим интеграл от дробно-рациональной функции.

Пример.

t 3

1 2

6t 2 dt

x 1

t 3 1

3t 4

x 1

t 3

; x

1 xt 3 t 3 ; x

t 3 1

;

x 1

t 3

3t 2 t 3 1 t 3 1 3t 2

6t 2 dt

;

t 3 1 2

x 1

t 3

1 t 3

t 3

t 3 1

t 3

Задачи для самостоятельного решения: [1, гл.10, №№ 17, 27, 33, 40, 62, 112, 124, 129, 130; 4, №№ 1337 1351, 1368 1370, 1372 1378, 1392 1396, 1410 1418].

Задачи для самостоятельного решения: [1, гл. 10, №№

159, 162, 166, 171, 174, 194, 197, 211], [4, №№ 1428 1435, 1453 1457, 1489, 1492, 1494 1497, 1501], [6, №№ 1707-1780, 1781-1789, 1832-1849, 2012-20217, 2022-2028, 2036-2042, 2090-2112].

Задачи для самостоятельного решения

		Вычислить неопределенные интегралы:
																																																							1						1
																																																							1						1
1. (x2 3x3															x 1)dx.															2.					x4				5 x 3										x														dx.
1. (x2 3x3															x 1)dx.															2.					x4				5 x 3										x														dx.
																																																							x2						x
																																																							x2						x
							2								3																																						x						e		x
							2								3																				x					x													x						e

3.			1			x				2						1 x				2	dx. 4. (2															3					)dx.					5.		e						2						x		3		dx.
			1			x										1 x																																												x
																												x									x	2																	cos 2x
6. (sin x 5cos x)dx. 7.																						sin								cos											dx.					8.																			dx.
6. (sin x 5cos x)dx. 7.																						sin						2		cos							2				dx.					8.				cos					2		x sin					2			dx.
																												2									2													cos							x sin							x
9.				x4					dx.					10.					3 2 ctg2 x										dx.					11.				1 sin3 x									dx.. 12.										ctg2 xdx.
9.	1 x							2	dx.					10.						cos				2		x			dx.					11.							sin	2			x		dx.. 12.										ctg2 xdx.
	1 x																			cos						x															sin				x

13.			sin 2										x	dx.				14.								1 x2									1 x2									dx.					15.												x2					dx.
13.			sin 2											dx.				14.																										dx.					15.												2					dx.
											2																					1			x4																							x					1
								1										1																							1										1
								1										1																							1										1
16.						2		25															dx.						17.																				2			3				dx.
16.						2											x	2					dx.						17.										4 x				2					x	2							dx.
	x																x			5																			4 x									x
			x		2			2													1				1								1															1									1
			x					2													1				1								1															1									1
18.												dx. 19.																								dx.					20.																			dx.
						2		1																			2							3
				x		2																				x	2				x			3															x						4 3
				x																x						x					x																		x								x
																																																									x

		4	x
		4
21. 4x	3				dx.
21. 4x	3		x	3	dx.
			x

22. e x 1

	e x				5x8 1

	cos	2		dx. 23.	x	4 dx.
	cos		x		x
29

<<< < Предыдущая 1 23 / 163 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математика