Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 1852

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

2.48 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1614 15 16 > Следующая >>>

б) если + i является корнем характеристического уравнения, то частное решение уравнения (6.23) следует искать в виде

y xe x [U (x) cos x V (x) sin x].

Следует отметить, что указанные формы частных реше-

ний сохраняются и в том случае, когда в правой части уравне-
ния (6.23) один из многочленов P(x) или Q x		тождественно
равен нулю,	то есть когда правая часть	имеет вид
P(x)e x cos x	или Q(x)e x sin x .

Рассмотрим важный частный случай. Пусть правая часть линейного уравнения второго порядка имеет вид:

f (x) M cos x N sin x ,

где M и N – постоянные числа.

а) Если i не является корнем характеристического уравнения, то частное решение уравнения (6.23) следует искать в виде y Acos x B sin x .

б) если i является корнем характеристического уравнения, то частное решение уравнения (6.23) следует искать в ви-

де y x[ Acos x B sin x] .

Пример. Найти общее решение линейного неоднородно-

го уравнения

y 2 y 5y 2 cos x.

Решение. Общее решение будет иметь вид y y y .

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Составим характеристическое уравнение и найдем его

корни k 2 2k 5 0,			k	1	1 2i, k			2	1 2i.

Тогда общее решение соответствующего однородного
уравнения		e x (C	cos2x C
	y					2	sin 2x).
	1
Правая часть данного неоднородного уравнения 2 cos x ,
очевидно, что i =1i не является							корнем характеристического

уравнения, частное решение будем искать в форме

130

y Acos x B sin x ,

где А и В – постоянные коэффициенты, подлежащие определению.

Найдем производные y :

y Asin x B cos x, y Acos x B sin x.

Подставляя выражения y и производных в заданное

уравнение, будем иметь

Acos x B sin x 2( Asin x B cos x) 5(cos x B sin x) 2 cos x

Приравнивая коэффициенты при cos x															и sin x , получим
два уравнения для определения А и В:
					A 2B 5A 2,					B 2A 5B 0 ,
откуда		A 2 / 5,					B 1/ 5.		Следовательно,							частное реше-
ние y	2		cos x		1	sin x .Общее решение y									y будет иметь
	2				1								y
	5				5								y
	5				5
вид				e x (C			cos2x C		sin 2x) +		2	cos x			1	sin x .
		y						2			2				1
		y
					1					5				5
										5				5

Пример. Найти общее решение линейного неоднородно-

го уравнения

y 4 y cos2x.

Решение. Общее решение будет иметь вид y y y .

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Составим характеристическое уравнение и найдем

его корни	k 2 4 0,			k	1	2i,	k	2	2i.
					1			2
Тогда общее решение соответствующего однородного
уравнения			C1 cos2x C2 sin 2x.
уравнения		y	C1 cos2x C2 sin 2x.

Правая часть данного неоднородного уравнения cos2x , очевидно, что i =2 i является корнем характеристического уравнения, частное решение будем искать в форме

131

y x( Acos x B sin x),

где А и В – постоянные коэффициенты, подлежащие определению. Найдем производные y :

y 2x( Asin 2x B cos2x) ( Acos2x B sin 2x),


y 4x( Acos2x B sin 2x) 4( Asin 2x B cos2x).
Подставляя				выражения	y и	производных в			заданное
уравнение и приравнивая коэффициенты при cos2x									и	sin 2x ,
получим два уравнения для определения А и В:
4B 1,	4A 0 , откуда A				0,	B 1/ 4.
Следовательно, частное					решение y		1	x sin x .		Общее
Следовательно, частное					решение y			x sin x .		Общее
						4
решение y			y	будет иметь вид
решение y		y	y	будет иметь вид

yC1 cos2x C2 sin 2x + 14 x sin x .

6.3.Линейные системы дифференциальных уравнений

спостоянными коэффициентами

Система линейных дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных, называ-

ется нормальной системой и имеет вид

dx1		(t)	f1	t, x1 , x2 , , xn ,
	dt		f1	t, x1 , x2 , , xn ,
	dt
		t
dx2		t	f 2		t, x1 , x2 , , xn ,
						(6.28)
	dt
	dt


		t
dxn		t	f t, x1 , x2 , , xn .
	dt		f t, x1 , x2 , , xn .
	dt

Если правые части нормальной системы дифференциальных уравнений являются линейными функциями относительно

132

x1, x2 , , xn ( неизвестные функции переменной t), то система

называется линейной.

Рассмотрим случай, когда такую систему дифференциальных уравнений можно свести к одному дифференциальному уравнению n-го порядка, содержащему одну неизвестную функцию путем дифференцирования одного из уравнений системы и исключением всех неизвестных. Такой метод называется методом исключения.

Пример. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

	dx			2x y

		dt
			.
		dy		x
				x
	dt
Решение.	Продифференцируем				первое уравнение
x 2x y .	Подставляя в полученное				выражение второе

уравнение из системы дифференциальных уравнений, имеем x 2x x . Таким образом, получили x 2x x 0 одно-

родное дифференциальное уравнение второго порядка. Составляя и решая для него характеристическое уравнение, име-

ем	k 2 2k 1 0 ,		k				1,		x t C e x			xC	2		ex . Тогда про-
				1,2						1			2
дифференцировав x t							и подставив			x t и		x t			в первое урав-
нение системы, получим y t C ex										C	ex xC			2		ex 2x .
									1	2				2
	В итоге решение дифференциального уравнения имеет
	x t C e x xC				2	e x
вид		1			2					.
вид										.
	y t C e x C			2	e x xC			2	e x 2x
		1		2				2

Задачи для самостоятельного решения /6, №№ 4155-4162, 4163, 4167-4175/. /6, №№ 4268-4278/.

133

		Задачи для самостоятельного решения
	Найти общие решения уравнений:
1.	y xe x .			2. y 2sin x cos2 x sin3 x .				3.	y ln x .
4.	y 3	y	x .	5. xy y ln	y	.	6. (1 x2 ) y xy 2 .

		x			x

7. (1 x2 ) y ( y )2 1 0 . 8. yy 2 y 2 0 . 9. y (2y 3) 2y 2 0 .

10.

yy y 2

y 2 ln y .

11. y (1 y) y 2 y .

12.

2 yy 3( y )2

4 y2 .

Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие

указанным начальным условиям:

13.

y (x 2 1) 2xy ,

y(0) 1,

y (0) 3 .

14.

xy x( y )2 y 0 ,

y(2) 2 ,

y (2) 1.

15.

x 2

y(2) 0 ,

y (2) 4 .

16.

2y 3y 2 ,

y( 2) 1,

y ( 2) 1.

17.

yy ( y )2 ( y )3 ,

y(1) 1,

y (1) 1.

Решить уравнения:

18. y 5y 4y 0.

19. y 6y 9y 0.

20. y 8y 25y 0.

21. y 3y 2y 0.

22. y 4y 4y 0.

23. y 2y 2y 0.

24. y 4y 3y 0.

25. y 4y 0.

266. y 4y 0.

27. y 3y 2y 0.

28. y 2ay a2 y 0. 29. y 2y 5y 0.

134

30. y y 0.	31. y y 0.		32. y 2 y y e x .
33. y 3y 2y e x . 34. y y 2y 6x2 . 35. y 3y 9x.
36. y 2 y xe x	37. y 4 y 8x3.		38. y 5y 6y 13sin 3x.
39. y y 2,5y 25cos 2x.			40. y 4y 3sin 2x.
41. y 4y sin 2x.			42. y y x cos x.
43. y 2y 3y e x cos x.		44. y 3y 10y sin x 3cos x.

45.y 3y 2 y e3x (x2 x).

46.y 2y 2y e x 2cos x 4x sin x .

47.y 4 y ex 4x 4 cos x 2x 6 sin x .

48.y y x 2e x . 49. y 2 y y 3e x x 1.

50. y 6y 8y e x e2x . 51. y 2 y 3y 2xe 3x x 1 ex .


52. y sin 2x.		53. xy 2y 0. 54. xy y 0. 55. xy y 0.
56. y 9y 0.		57. y 9y 0.		58. y y 0.
59. y 25y 0.		60.	y 25y 0.		61. y 8y 0.
62. y 25y 0.		63. y 2y y 0.			64. y 6y 9y 0.
65. y 4y 10y 0. 66. y 100y 0.				67. 2y 3y 2y 0.
68. y 3y 0.		69. y y 12y 0.			70. y 4y 4y 0.
71. y 4y 7 y 0. 72. y y e x . 73. y 4 y 4e4x .
74.	y 3y 2 y 3e2x .		75.		y y y 3cos 2x.

76. y 3y 2y 5e5x .	77. y y sin 5x.
79. y 9y cos 3x. 80.	y y 2y 2e 2x e2x

82. y 2y 3y x2 . 83. y y cos x sin 5x.

135

78. y y cos x.

. 81. y y 4 x.


84. y 4 y x e 4x .		85. y 4y e2x	3e 2x .
86. y 9y 4sin 3x x.		87. y 3y x3	2.	88. y 3y 1.
89. y y x cos x.	90. y y xe x . 91. y y x sin x.

Решить системы уравнений:

92. dt

95. dt

4x y,

x 2 y.

x 2 y,

x y.

dy y 2z,

93.dx

dz 3y 4z.

dy z,

96.dx

dz y.

94. dt

97. dx

2x y,

x 2 y.

y 2z,

y z.

1. y (x 2)e x

		x2
3.	y		ln x
3.	y		ln x
		2

Ответы

C x C			.			2.	y	1	sin3 x C				x C				.
C x C		2	.			2.	y		sin3 x C				x C			2	.
	1	2					3				1					2
							3
3										x4	x3
	C x C				.	4.	y C					C			.
	C x C				.	4.	y C					C			.
2	1			2			1 4				3			2

5. y			1		xe1 C1 x		1		e1 C1 x C						.	6.	y arcsin 2 x C			arcsin x C				.
5. y					xe1 C1 x				e1 C1 x C				2		.	6.	y arcsin 2 x C			arcsin x C			2	.
		C1					C 2						2						1				2
		C1					C 2
							1
7.	y (1 C 2 ) ln					x C			C x C		2		.			8.	y	1	.
																		1


			1				1		1									C1x C2
				1														C1x C2		e x .
9.	y			1	ln(2 y 3) C x C						.					10. ln y C e x C
9.	y				ln(2 y 3) C x C					2	.					10. ln y C e x C			2
			2					1		2								1	2
			2
11. ln C ( y 1) 1 C (x C												2		) .		12. y cos 2 (x C ) C					2	.
			1					1				2						1			2
													136

			3														2 ln	x2										2				2					16
	y x		3	3x 1.											y			x2								y		2		x		2		2x			16
13.													14.								.		15.																	.
13.													14.						4		.		15.					5									5			.
																			4									5									5
16.	y			4		.							17.			y x 2 ln				y		.
				4

		(x 4)2
		(x 4)2															y e3x C C								x .
18.	y C e x C							2		e4x . 19.							y e3x C C							2	x .
			1					2											1					2
20.	y e 4x C				cos 3x C									2		sin x . 21.			y C ex							C			e2x .
				1										2									1				2
22.	y e2x C C								2		x . 23.					y ex C cos x C										2	sin x .
				1					2								1									2
24. y C e x C							2		e3x .25. y C e2x										C e 2x . 26.											y C						C		2		e 4x .
	1						2										1		2																1			2
27.	y C e 2x				C							2	e x .				28. y C x C													2	e ax.
			1									2												1						2
29.	y e		x C		cos 2x C											2	sin 2x .		30.				y C e x							C			2		e x .
				1												2											1						2
31.	y C cos x C												sin x.						32.				y (C x C												)e x				1		e x .
31.	y C cos x C											2	sin x.						32.				y (C x C										2		)e x						e x .
			1									2															1						2							4
																																								4

33. y C1e2x C2 x e x .34. y C1e x C2e 2x 3(x2 x 1,5).

35.y C1 C2e 3x 32 x2 x.

36.y C1ex 2 C2e x 2 (x 2)e x .

37.y C1e2x C2e 2x 2x3 3x.

38.y C1e2x C2e3x 16 5cos 3x sin 3x .

	y e	x / 2		3x	C2 sin	3x	6 cos 2x 8sin 2x.
39.			C1 cos
				2		2

40.y C1 cos 2x C2 sin 2x 34 x cos 2x.

41.y C1 cos 2x C2 sin 2x 14 x cos 2x.

137


42.	y C	cos x C					sin x			1	x cos x				1	x2 sin x.
42.	y C	cos x C				2	sin x				x cos x					x2 sin x.
	1					2			4			4
									4			4
	y e x (C												x)	e x			5cos x 4sin x .
43.			1	cos	2x C			2	sin			2		e x
43.				cos	2x C				sin			2
												41
												41

44.y C1e5x C2e 2x 132 sin x 399 cos x.

45.y C1e x C2e2x 12 e3x (x2 2x 2).

46.y e x C1 cos x C2 sin x x2e x cos x.

47.y C1e2x C2e 2x e x x cos x sin x .

48.y C1 cos x C2 sin x x e x .

49.y 32 e x x2 x 3 e x C1x C2 .

50.y 13 e x 12 xe2x C1e2x C2e4x .

51.y C1e 3x C2e x 18 (2x2 x)e 3x 161 (2x2 3x)e x .

52. y		1	sin 2x C x C										.	53.	y C x3	C			.
52. y			sin 2x C x C										.	53.	y C x3	C			.
	4							1				2			1			2
	4
54.	y C ln x C						.							55.	y C x2	C			.
	1				2										1			2
56.	y C sin 3x C									cos 3x.				57.	y C e3x	C		2	e 3x .
	1							2							1			2
58.	y C		C	2	e x .									59.	y C sin 5x C						2	cos 5x.
	1			2											1						2
60.	y C		C	2	e 25x .									61.	y C e2	2 x C						e 2 2 x .
	1			2											1					2
62.	y C e5x C					e 5x .								63.	y e x C	C		2	x .
	1				2										1			2
	y e3x C							x .						y e 2x (C sin
64.	y e3x C			C		2		x .				65.		y e 2x (C sin			6x C					2	cos 6x).
			1			2									1							2
66.	y C sin10x C								2		cos10x.			67.	y C e2x C					e x / 2 .
	1								2						1			2
															y C e3x C					e 4x .
68.	y C sin				3x C					2		cos 3x. 69.			y C e3x C					e 4x .
	1									2					1			2
														138

	y e 2x C						x .									y C e 2								x C		e 2					x .
70.	y e 2x C			C		2	x .							71.		y C e 2						11		x C	2	e 2				11	x .
			1			2													1						2
72.	y C	C		e x				1		e x .					73.		y e4x C						x C					.
72.	y C	C	2	e x						e x .					73.		y e4x C						x C			2		.
	1		2				2														1					2
							2
74.	y C e 2x C					e x						1	e2x .
74.	y C e 2x C				2	e x							e2x .
	1				2		4
							4

									3									3			6						9
75.	y e x / 2 C sin								3		x C				cos			3		x	6		sin 2x				9		cos 2x.
75.	y e x / 2 C sin										x C			2	cos					x			sin 2x						cos 2x.
				1			2							2			2				13					13
							2										2				13					13

76.y C1e 2x C2e x 425 e5x .

77.y C1 sin x C2 cos x 241 sin 5x.

78.y C1 x / 2 sin x C2 cos x.

79.y C1 x / 6 sin 3x C2 cos 3x.

			2				1
80.	y C			x e 2x C		e x		e2x .
80.	y C			x e 2x C		e x		e2x .
		1	3		2		4

81. y C1 C2e x x2 5x. 2

82. y C1e x C2e3x x2 4 x 14 . 3 9 27

83.y C1 x / 2 sin x C2 cos x 241 sin 5x.

84.y e 4x C1 x / 4 x2 / 8 x /16 C2 .

			x			3
85.	y e2x C			e 2x C			x .
85.	y e2x C			e 2x C			x .
		1	4		2	4


						2							x
86.	y C1 sin 3x C2							x cos 3x						.
86.	y C1 sin 3x C2					3		x cos 3x					9	.
						3							9
87.	y C	C		e3x	x4			x3		x2		20			x.
87.	y C	C	2	e3x											x.
	1		2	12			9		9		27
				12			9		9		27

139

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1614 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20222.46 Mб7Учебное пособие 1848.pdf
#
30.04.20222.47 Mб1Учебное пособие 1849.pdf
#
30.04.2022316.27 Кб2Учебное пособие 185.pdf
#
30.04.20222.47 Mб10Учебное пособие 1850.pdf
#
30.04.20222.48 Mб3Учебное пособие 1851.pdf
#
30.04.20222.48 Mб3Учебное пособие 1852.pdf
#
30.04.20222.49 Mб9Учебное пособие 1853.pdf
#
30.04.20222.49 Mб4Учебное пособие 1854.pdf
#
30.04.20222.49 Mб3Учебное пособие 1855.pdf
#
30.04.20222.5 Mб6Учебное пособие 1856.pdf
#
30.04.20222.51 Mб7Учебное пособие 1857.pdf