Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 1852

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

2.48 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1611 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Задачи для самостоятельного решения

Найти частные производные от функций:

1. z x2 y3 x3 y.

2. z

x y

3. z

x y

z x2 sin y.

z e xy .

z xye x 2 y .

z e y / x .

z xe yx .

z ln(x ln y).

z x

10.

3 x

11.

z ln( x

y ); доказать, что

sin

; доказать, что

12.

13.

z x2 xy 2 ,

x e2t ,

y sin t;

найти

14.

z arctg

x 1

, y e(1 x) 2 ;

найти

y v 2u; найти

15.

, x u 2v ,

16.

z x

2 y2 , x u v,

;

найти

Найти полный дифференциал:

17.

z sin xy 2.

18. z ln(x 5y 2 ).

19.

z y x .

20. Найти производную по направлению биссектрисы

первого

координатного

угла

точке

М(1,

функции

z x3 y 5xy 2 8.

21. Найти производную по направлению функции

z ln(ex e y ). Рассмотреть направление, параллельное биссектрисе первого координатного угла.

100

22. Найти производную по направлению функции

z x2 y2 в точке М(1,1). Рассмотреть	случаи, когда направ-
ление составляет с осью Ох угол:
1) / 3 , 2) / 6 , 3) / 2.
23. Найти производную функции u x2 2xz y2						в точ-

ке М(1,2,1) по направлению вектора MM1 , где M1 точка с
координатами (2,4,3).
24. Найти производную функции	u	x2		y2	z 2	в точ-

	4		9

ке М(2,3,1). Рассмотреть случаи, когда направление совпадает: 1) с направлением радиуса-вектора этой точки; 2) с направле-


нием вектора				a 4i 3			.
						j
	Найти grad z:
25.	z 4 x2		y2 в точке М(1,2).
26.	z	xy			в точке М(0,3).

		x2 y
			2 1
27.	z (x y)2 в точке М(1,1).

28.z e x 2 y 2 в точке М(1,1).

Найти grad u и grad u :

29.u x2 y2 z2 в точке М(1, 1, 2).

30.u 4 x2 y2 z2 в точке М(3, 2, 1).

31. u

x2 y2 z2 в точке М( 1, 2, 0).

32.u xyz в точке М(3, 1, 2).

Найти частные производные второго порядка:

33. z	x2	. 34.	z sin x cos y.	35. z x y	xy	.
1	2 y				x y
			101

36. z xe y .

Проверить, что

2 z

для функций:

x y

y x

37.

. 38.

z ln(x 2y).

39.

40.

z arctg

y 2

1 y

41.

z ex cos y. Показать, что

2 z

2 z 0.

Найти экстремумы функций:

42.

z x2

xy 4x 5y.

43.

z y2

x2 xy 2x 6y.

z xy(1 x y).

z y

x 6 y.

44.

45.

46.

z ex / 2 (x y2 ).

47.

z x3 y3 3xy.

48.

z 3x 6 y x2 xy y2.

49.

z x3 8y3 6xy 1.

50.

z 2xy 4x 2y.

51.

z 2x3 xy2 5x2 y2.

52.

z sin x sin y sin(x y),

0 x / 2,

0 y / 2.

Ответы

2xy 3 3x2 y;

3x2 y 2 x3 .

2 y

;

x y 2

y 2

;

2x sin y;

x2 cos y.

y 2

x y

ye xy ;

xe xy .

ye x 2 y

xye x 2 y ;

xe x 2 y 2xye x 2 y .

102

cos 23 cos 2 cos , 1)

7.zx

8.zx

9.zx

10.xz

e x

;

x ln y

x ln y y

;

3 x

e xy (1 xy);

x2e xy .

13.

2e2t (2e2t sin 2 t) e2t sin 2t.

1 2(x 1)2

e(1 x)

14.

.15.

;

y2 (1 x)2

16.	z	2xy	2	2x	2	y	1		;	z
16.	u	2xy		2x		y	v		;	v
	u						v			v
17.	dz ( y2dx 2xydy)cos xy
								x
19.	dz y x ln ydx									dy .
19.	dz y x ln ydx									dy .
								y
								y


21.	z		e x cos e y sin			;
21.	l		e x	e y		;
	l		e x	e y
1) 1			2) 1
1) 1		3;	2) 1		3; 3) 2.

		u
2xy 2	2x2 y			.
			2
		v

2.		18.	dz					dx 10 ydy			.
2.		18.	dz								.
									x 5y2
		z			11
20.		z			11		2.
20.		l		2			2.
		l		2
1						z				2(cos		sin ),
	. 22.
	. 22.
2						l M
23.		16/3.

l M

25.2, 4 .

29. 2, -2, 4 ,

						2	; 2)			2	.


				4, 4 .	14			5
26. 3, 0 .			27.	4, 4 .	28.			0, e .
				30. 6, 4, 2 ,
	grad u	2	6.	30. 6, 4, 2 ,					grad u			2 14.

	1		2				1.	32. 2;6; 3 ,		7.
31.		;		;0	,	grad u			grad u


	5		5			103
						103

33.

2 z

;

2 z

;

2 z

8x2

2 y

x y

(1 2 y)2

y 2

2 y)3

34.

2 z

sin x cos y,

2 z

cos x sin y,

2 z

sin x cos y.

x y

y x

y 2

35.2 zx2

36.2 zx2

42. zmin

44. zmax

2 y 2

;

2 z

2xy

;

2 z

2x2

y)3

x y

y)3

y 2

(x y)3

2 z

xe y ;

2 z

e y .

y 2

x y

при x 1,

y 2 . 43. Экстремума нет.

1/ 27 при

x y 1 3 .

45.

zmax 12 при x y 4 .

46.zmin 2 / e при x 2 , y 0 .

47.zmax 1 при x 1, y 1. 48. Экстремума нет.

49.zmin 0 при x 1, y 1 2. 50. Экстремума нет.

51.zmin 0 при x 0, y 0 .

52.zmax 33/ 2 при x y / 3.

104

6. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Литература: [5, гл. 13, §§ 1 8, 16-24, 29-30].

6.1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия и определения

Определение. Дифференциальным уравнением называет-

ся уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию у= f(x) и ее производные y , y ,..., y(n) .

Символически дифференциальное уравнение можно за-

писать в виде: F(x, y, y , y ,..., y (n) )	0.
Если искомая функция у= f(x)	есть функция одной пе-

ременной, то уравнение называется обыкновенным.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

	Так, например, уравнение	y 2xy 2 7 0 есть уравне-
ние первого порядка.
	Решением или интегралом	дифференциального уравне-

ния называется всякая функция у= f(x), которая, будучи подставлена в уравнение, превращает его в тождество.

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет

вид

F(x, y, y ) 0.

Если это уравнение можно разрешить относительно y ,

то его можно записать в виде у = f(x, у). В этом случае говорят, что уравнение разрешено относительно производной.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция у= (х, С), удовлетворяющая дифференциальному уравнению при любом конкретном значении постоянной С и каково бы ни было начальное условие у= у0 при х= х0, можно найти такое значение С = С0, что функция у= (х, С0) удовлетворяет данному начальному условию и является единственной.

105

В процессе отыскания общего решения часто получается соотношение вида Ф (х, у, С) = 0 не разрешенное относительно у, которое называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Частным решением называется любая функция у= (х, С0), которая получается из общего решения у= (х, С), если произвольной постоянной С придать определенное значение. Соотношение Ф (х, у, С0)=0 называется в этом случае част-

ным интегралом..

Условие, что при х= х0 функция у должна равняться заданному числу у0, называется начальным условием. Оно часто

записывается в виде y x x0 y0 .

С геометрической точки зрения общий интеграл представляет собой семейство кривых на координатной плоскости, зависящее от одной произвольной постоянной С. Эти кривые называются интегральными кривыми данного дифференциального уравнения. Частному интегралу соответствует одна единственная кривая этого семейства, проходящая через заданную точку (х0; у0) плоскости.

6.1.1. Уравнения с разделяющимися переменными

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

dy	f1 (x) f 2 ( y),	(6.1)
dx

где правая часть есть произведение функции, зависящей только от х, на функцию, зависящую только от у. Преобразуем его

следующим образом, (предполагая, что				f 2 ( y) 0) ,
1		dy f1	(x)dx. .	(6.2)

	f 2 ( y)

Считая у функцией от х, равенство (6.2) можно рассматривать, как равенство двух дифференциалов, а неопределенные интегралы от них будут отличаться только на постоянную величину. Интегрируя левую часть по у, а правую по х, имеем

106

f 21( y) dy f1 (x)dx C .

Дифференциальное уравнение (6.2) называется уравнением с разделенными переменными, а приводящееся к нему уравнение (6.1) – уравнением с разделяющимися переменными.

Пример.

Дано уравнение

Разделим перемен-

ные

Интегрируя, находим

C, т.е.

или

C / x

;

отсюда получаем общее

решение: у = С/x.

Пример.

Дано уравнение (1 x) ydx (1 y)xdy 0. Разде-

ляя переменные, находим

1 x

1 y

dy 0,

1 dx

1 dy 0,

x ln

y C

x y C ;

интегрируя, получаем ln

или ln

последнее соотношение есть общий интеграл уравнения.

6.1.2. Однородные уравнения первого порядка

Определение. Функция f( x, y) называется однородной функцией n-го порядка относительно переменных х и у, если

при любом справедливо тождество f( x, y) = n f( x, y). Пример. Функция f (x, y)= 3 x 3 y 3 - однородная функ-

ция первого порядка, так как

f( x, y) = 3( x)3 ( y)3 3 x 3 y 3 = f ( x, y).

Уравнение первого порядка

dy	f ( x, y)	(6.3)
dx

называется однородным относительно х и у, если функция

f (x, y) есть однородная функция нулевого порядка относительно х и у.

107

Для решения однородного уравнения производится под-

становка u x xy , т.е. y = ux. Дифференцируя последнее ра-

венство, получаем dydx u dudx x . Подставляя выражение про-

изводной в уравнение (6.3), получаем

u dudx x f (1,u) .

Это уравнение с разделяющимися переменными.

	du	x f (1, u) u, или			du		dx	.
		x f (1, u) u, или		f (1, u) u				.
	dx			f (1, u) u			x
Интегрируя, находим
			du		dx	C.

			f (1, u) u		x

Подставляя после интегрирования вместо u отношение y/x, получим интеграл уравнения (6.3).

Пример. Дано уравнение	dy	xy	.
	dx	x 2 y 2

Решение. Справа стоит однородная функция нулевого порядка, следовательно, имеем однородное уравнение. Делаем

замену y/x=u, тогда y = ux;

x ;

;

u 2

. Разделяя переменные, получим

(1 u 2 )du

;

u 2

. Отсюда, интегрируя, находим

, или

uxC

. Подставляя

2u 2

y/x=u,

получим общий интеграл исходного уравнения:

x 2

2 y 2

108

6.1.3. Линейные уравнения первого порядка

Определение. Линейным уравнением первого порядка

называется уравнение линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид

dy	P(x) y Q(x) ,	(6.4)
dx

где P(x) и Q(x) - заданные непрерывные функции или посто-

янные.

Решение линейного уравнения (6.4) будем искать в виде произведения двух функций от х:

у= u (x) v (x) . (6.5)

Одну из этих функций можно взять произвольной, другая определяется на основании уравнения (6.4). Дифференцируя обе части равенства (6.5), находим

Подставляя полученное выражение производной в урав-

нение (6.4), будем иметь

Puv Q

или

Q .

(6.6)

Выберем функцию v такой, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль

Pv 0 .

(6.7)

Разделяя переменные в полученном уравнении относи-

тельно v, находим

Pdx .

Интегрируя,

получим

Pdx ,

или

v x C1e Pdx .

Так как достаточно какого-нибудь отличного от нуля решения уравнения (6.7), то за функцию v(x) можно взять

109

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1611 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20222.46 Mб7Учебное пособие 1848.pdf
#
30.04.20222.47 Mб1Учебное пособие 1849.pdf
#
30.04.2022316.27 Кб2Учебное пособие 185.pdf
#
30.04.20222.47 Mб10Учебное пособие 1850.pdf
#
30.04.20222.48 Mб3Учебное пособие 1851.pdf
#
30.04.20222.48 Mб3Учебное пособие 1852.pdf
#
30.04.20222.49 Mб9Учебное пособие 1853.pdf
#
30.04.20222.49 Mб4Учебное пособие 1854.pdf
#
30.04.20222.49 Mб3Учебное пособие 1855.pdf
#
30.04.20222.5 Mб6Учебное пособие 1856.pdf
#
30.04.20222.51 Mб7Учебное пособие 1857.pdf